《第2章 一元二次方程》 章末检测卷-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第2章 一元二次方程》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2023秋•梁溪区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣3＝（﹣3）2 B．x+3 C．x2+4x+3＝0 D．2x2﹣3y＝x2 2．（2024秋•花都区校级月考）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝x+2化成一般形式得（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x﹣3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣x+1＝0 3．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 4．（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 5．（2024•荔湾区校级开学）已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 6．（2024•青秀区校级开学）某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．25（1+x）2＝182 B．25+25（1+x）+25（1+2x）＝91 C．25（1+2x）＝91 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91 7．（2024春•安庆期末）若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 8．（2024•昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 9．（2024春•平湖市期末）已知关于x的多项式ax2﹣2bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2+b2+3的值可以是（　　） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 10．（2023秋•卫辉市期末）菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．（2024•荔湾区校级开学）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　． 12．（2023秋•东城区期末）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　 　． 13．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　． 14．（2024春•雨花区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　小分支． 15．（2023秋•沈丘县校级月考）若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根为3，﹣6，则二次三项式x2+px+q可分解为 　 　． 16．（2024•马鞍山开学）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2025的最小值是 　 　． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题3分，共12分）（2024•宛城区校级开学）解方程： （1）（2x+3）2＝24； （2）x（x﹣2）＝2﹣x； （3）4x2﹣4x﹣1＝0； （4）7x2﹣23x+6＝0． 18．（7分）（2023秋•西城区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 19．（7分）（2023秋•长寿区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 20．（8分）（2024春•市中区校级期末）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当（x1+x2）﹣x1x2＝4时，求m的值． 21．（8分）（2024•西城区校级开学）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 22．（8分）（2024•柳北区校级开学）阅读与理解：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣9x+20＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 23．（10分）（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 24．（12分）（2024•溆浦县校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 （1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； （2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第2章 一元二次方程》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2023秋•梁溪区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣3＝（﹣3）2 B．x+3 C．x2+4x+3＝0 D．2x2﹣3y＝x2 【分析】根据一元二次方程的定义对题目中给出的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：A．方程x﹣3＝（﹣3）2，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、方程x+3，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程x2+4x+3＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．方程2x2﹣3y＝x2，是二元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．（2024秋•花都区校级月考）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝x+2化成一般形式得（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x﹣3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣x+1＝0 【分析】利用平方差公式展开、移项化成ax2+bx+c＝0的形式即可． 【解答】解：由（x+1）（x﹣1）＝x+2得：x2﹣1＝x+2， 即：x2﹣x﹣3＝0， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键． 3．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1， 而a+1≠0， 所以a＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【解答】解：∵（x+1）2＝16， ∴x+1＝±4， ∴x+1＝4或x+1＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 5．（2024•荔湾区校级开学）已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】当k＝0时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【解答】解：当k＝0时，方程化为2x﹣1＝0， 解得； 当k≠0时，则Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≥﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 6．（2024•青秀区校级开学）某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．25（1+x）2＝182 B．25+25（1+x）+25（1+2x）＝91 C．25（1+2x）＝91 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91 【分析】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，则五月份生产零件25（1+x）个，六月份生产零件25（1+x）2个，根据“第二季度共生产零件91万个”即可列出方程． 【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意， 得25+25（1+x）+25（1+x）2＝91． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024春•安庆期末）若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由x2﹣6x+8＝0得， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边上， 则当2为腰时，2+2＝4，此情况舍去． 当4为腰时，4+2＞4，符合要求， 所以△ABC的周长为4+4+2＝10． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知因式分解法及三角形三边的关系是解题的关键． 8．（2024•昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可． 【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3， 解得：x＝﹣2或﹣6， 即x1＝﹣2，x2＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键． 9．（2024春•平湖市期末）已知关于x的多项式ax2﹣2bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2+b2+3的值可以是（　　） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【分析】先将x＝a代入原式，可整理得a2＝2b﹣1＞0，再代入到a2+b2+3，配方得（b+1）2+1，进而求解即可． 【解答】解：∵当x＝a时，该多项式的值为c﹣a， ∴a3﹣2ab+c＝c﹣a， 整理得a3﹣2ab+a＝0，即a（a2﹣2b+1）＝0 ∵a≠0， ∴a2﹣2b+1＝0，即a2＝2b﹣1＞0， ∴， ∴a2+b2+3＝b2+2b﹣1+3＝（b+1）2+1＞3.25， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 【点评】本题考查了配方法的应用及非负数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2023秋•卫辉市期末）菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【解答】解：由勾股定理可得：AO2+BO2＝25， 又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3 ∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25， 整理得：m2﹣2m﹣15＝0， 解得：m＝﹣3或5． 又∵Δ＞0， ∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m， ∴m＝﹣3， 故选：A． 【点评】此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．（2024•荔湾区校级开学）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出关于m的等式及不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， m2+1＝2，且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 12．（2023秋•东城区期末）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　 　． 【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值． 【解答】解：方程x2+6x﹣1＝0， 移项得：x2+6x＝1， 配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10， 则n＝10． 故答案为：10． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14．（2024春•雨花区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 15．（2023秋•沈丘县校级月考）若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根为3，﹣6，则二次三项式x2+px+q可分解为 　 　． 【分析】根据因式分解法解方程可知，以3，﹣6为根的一元二次方程为（x﹣3）（x+6）＝0，于是可得二次三项式x2+px+q的因式分解结果． 【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两根为3，﹣6， ∴原方程为（x﹣3）（x+6）＝0， ∴二次三项式x2+px+q可因式分解为（x﹣3）（x+6）． 故答案为：（x﹣3）（x+6）． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答本题的关键要明确：对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），令ax2+bx+c＝0，解一元二次方程求得两个根为x1，x2，则二次三项式分解为ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 16．（2024•马鞍山开学）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2025的最小值是 　 ． 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3， ∴， 解得， ∴mx2+nx+2025 ＝5x2﹣10x+2025 ＝5（x﹣1）2+2020， 则代数式mx2+nx+2025的最小值是2020． 故答案为：2020． 【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，单项式乘多项式，掌握题中的新定义是解本题的关键． 3、 解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题3分，共12分）（2024•宛城区校级开学）解方程： （1）（2x+3）2＝24； （2）x（x﹣2）＝2﹣x； （3）4x2﹣4x﹣1＝0； （4）7x2﹣23x+6＝0． 【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）用配方法解方程即可； （4）用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）（2x+3）2＝24， ， ， ∴； （2）x（x﹣2）＝2﹣x， ∴x（x﹣2）+（x﹣2）＝0 （x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2； （3）4x2﹣4x﹣1＝0， ∴4x2﹣4x＝1， 4x2﹣4x+1＝1+1， ∴（2x﹣1）2＝2， ， ， ∴； （4）∵7x2﹣23x+6＝0， ∴Δ＝232﹣4×7×6＝361＞0， ∴， ∴． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣直接开平方法，解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（7分）（2023秋•西城区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝k2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+2，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0中， Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（2k+4）＝k2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝（x﹣2）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+2． ∵方程有一根小于1， ∴k+2＜1，解得：k＜﹣1， ∴k的取值范围为k＜﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式． 19．（7分）（2023秋•长寿区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由方程根的定义，可用m表示出p，代入已知等式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围． 【解答】解： （1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0， 解得m≤2； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴p2﹣2p+m﹣1＝0， ∴p2﹣2p＝1﹣m， ∵（p2﹣2p+3）（m+4）＝7， ∴（1﹣m+3）（m+4）＝7，即m2＝9， 解得m＝3或m＝﹣3， 又由（1）可知m≤2， ∴m＝﹣3． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 20．（8分）（2024春•市中区校级期末）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当（x1+x2）﹣x1x2＝4时，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣3）2，则Δ≥0，于是根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝m+1，x1x2＝2（m﹣1），再利用（x1+x2）﹣x1x2＝4得到m+1﹣2（m﹣1）＝0，然后解一次方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+1）2﹣4×2（m﹣1） ＝m2+2m+1﹣8m+8 ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝m+1，x1x2＝2（m﹣1）， ∵（x1+x2）﹣x1x2＝4， ∴m+1﹣2（m﹣1）＝4， 解得m＝﹣1， 即m的值为﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21．（8分）（2024•西城区校级开学）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【分析】（1）根据可以砌60米长的墙的材料，即总长度是60米，BC＝x米，则AB（60﹣x+2）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可求解； （2）思路同（1），根据实际情况对x的值进行取舍． 【解答】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12， ∴（60﹣12+2）＝25（米）， 答：AB的长为25米； （2）不能围成500平方米的矩形花园，理由如下： 若矩形花园面积为500平方米，则： （60﹣x+2）x＝500， 化简得：x2﹣62x+1000＝0， ∵Δ＝622﹣4000＝﹣156＜0， ∴该方程无解， ∴不能围成500平方米的矩形花园． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据． 22．（8分）（2024•柳北区校级开学）阅读与理解：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣9x+20＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 【分析】（1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可； （2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出m的值即可． 【解答】解：（1）x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝4，x2＝5， ∵5﹣4＝1， 故方程x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”； （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， 解得：x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝﹣1+1＝0，或m＝﹣1﹣1＝﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键正确进行计算． 23．（10分）（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 24．（12分）（2024•溆浦县校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 （1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； （2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【分析】（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，由题意：网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的A、B款纪念币全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出（5﹣2a）个，使A款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个， ， 解得， 答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个； （2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币， 依题意得：15m+20（80﹣m）≤1350， 解得：m≥50． 设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元， 则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960． ∵﹣2＜0， ∴w随m的增大而增小， ∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×50+960＝860（元）， 此时80﹣m＝80﹣50＝30（个）． 即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元； （3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出6+2（25﹣a）＝（56﹣2a）个， 依题意得：（a﹣15）（56﹣2a）＝84， 解得：a1＝21，a2＝22． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$