2.3.1 圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.3.1　圆的标准方程 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能判断点与圆的位置关系. 4.重点提升数学运算和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、圆的标准方程 1.若点M(x,y)在以A(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆上,则实数x,y应满足什么条件? 2.以点C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,此方程称为圆的标准方程. 3.若圆的方程是(x-1)2+y2=m2(m≠0),则该圆的半径是什么? 提示:|m|. 4.(1)以点(0,-2)为圆心,半径为 的圆的标准方程为　　　　　　　　　　;  (2)若圆C的方程是(x+1)2+(y-1)2=4,则圆C的圆心为　　　　　,半径为　　　　　.  答案:(1)x2+(y+2)2=2　(2)(-1,1)　2 二、点与圆的位置关系 1.点P与☉C的位置关系有几种?如何判断点与圆的位置关系? 提示:三种.可通过点P到圆心的距离与半径r的大小关系判断. 2.若点P(x0,y0),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 点P在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; 点P在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2 ; 点P在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2 . 3.已知☉O:x2+y2=3,点A(1,1), ,D(0,2),则在圆O内的点有　　　　　;在圆O上的点有　　　　　;在圆O外的点有　　　　　.  答案:A　B　C,D 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若圆心的位置和圆的半径确定,则圆就唯一确定.(　　) (2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(　　) (3)圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心坐标是(2,3),半径是9.(　　) (4)若点P(m,n)在圆x2+y2=1外,则m2+n2>1.(　　) √ × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 求圆的标准方程 【例1】 已知☉C的圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5),求☉C的标准方程. 解:(方法一)设☉C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 探究一 探究二 思想方法 (方法二)∵圆心C在直线x-2y-3=0上, ∴可设圆心C的坐标为(2a+3,a). ∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|, 探究一 探究二 思想方法 ∴弦AB的垂直平分线的斜率k=-2, ∴弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0. 又圆心C是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点, 探究一 探究二 思想方法 用待定系数法求圆的标准方程的步骤 (1)根据题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (2)根据已知条件建立关于a,b,r2的方程组. (3)解此方程组,求得a,b,r2的值. (4)将求得的值代回所设方程,即得所求圆的标准方程. 探究一 探究二 思想方法 【变式训练1】 求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3,-2)的圆的标准方程. 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 探究二 点与圆的位置关系 【例2】 已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外. 分析:利用中点坐标公式求出圆心的坐标,用两点之间的距离公式求出半径,从而得到圆的方程.借助圆的方程判断点与圆的位置关系. 探究一 探究二 思想方法 解:设圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则由C为线段P1P2的中点,得 故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5. 由于(5-4)2+(3-6)2=10>5,因此点M在圆外. 由于(3-4)2+(4-6)2=5,因此点N在圆上. 由于(3-4)2+(5-6)2=2<5,因此点P在圆内. 探究一 探究二 思想方法 判断点与圆的位置关系的常用方法 (1)利用点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断. (2)把点的坐标(x0,y0)代入圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2中等号的左边,通过比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小关系来判断. 探究一 探究二 思想方法 【变式训练2】 已知点(-1,-1)在圆(x+a)2+(y-a)2=4内,则a的取值范围是(　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0) 解析:由题意,得(-1+a)2+(-1-a)2<4, 即a2<1, 解得-1<a<1. 答案:A 探究一 探究二 思想方法 思想方法 利用数形结合思想求与圆有关的最值问题 【典例】 已知x,y∈R,且(x-2)2+y2=3,求x2+y2的最值. 解:(x-2)2+y2=3表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆, x2+y2表示圆上的点与原点之间距离的平方.作出图形,如图. 探究一 探究二 思想方法 解决此类问题,利用代数式的几何意义,借助平面几何知识,利用数形结合求解.常见的代数式如 可看作点(x,y)和点(a,b)连线的斜率,(x-a)2+(y-b)2可看作点(x,y)到点(a,b)的距离的平方等. 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 随堂练习 1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.点P在圆外 B.点P在圆内 C.点P在圆上 D.不确定 解析:∵m2+52>24,∴点P在圆外. 答案:A 2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 答案:A 3.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离为,则圆C的方程为(　　) A.(x-)2+y2=5 B.(x+)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 答案:CD 4.经过圆C:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心,且斜率为2的直线方程为　　　　　　　.  解析:由题意可知,圆心C为(-1,2),故直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0. 答案:2x-y+4=0 5.若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1外,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  6.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a; (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求a的取值范围. 提示:根据圆的定义知=r. B(,-1),C() 由已知,得 解得 故☉C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. ∴=, 解得a=-2. ∴圆心C(-1,-2),半径r=. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法三)∵线段AB的中点的坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB=, 由 ∴圆心C的坐标为(-1,-2), ☉C的半径r=. 故☉C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解:(方法一)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 由已知,得 解得 故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=5. (方法二)因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点, 所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 易知AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4), 令y=0,得x=4.故圆心的坐标为(4,0). 所以圆的半径r=. 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5. a==4,b==6,故圆心为C(4,6). 由两点之间的距离公式,得半径r=|CP1|=. 由图可知(x2+y2)max=|OB|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OA|2=(2-)2=7-4. : 【变式训练】 (1)已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值. (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围. 解:(1)由已知,得点P(x,y)在圆x2+(y+4)2=4上,圆心C(0,-4),半径r=2. 设A(-1,-1),则|PA|=. 因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外. 而|AC|=,借助图形(图略),可知的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2. (2)由题意知 解得0≤a<1,即a的取值范围是[0,1). 解析:∵点P在圆外,∴(5a+1-1)2+(12a)2>1,解得a>或a<-. 答案: 解:(1)∵点M(6,9)在圆N上, ∴(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10. 又a>0,∴a=. (2)由题意可知,圆心N为(5,6). ∵|PN|=, |QN|==3, ∴|PN|>|QN|,∴点P在圆N外,点Q在圆N内, ∴3<a<.故a的取值范围为(3,). $$