2.2.2 直线的方程（第2课时 直线的两点式方程和一般式方程）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的方程　 第2课时　直线的两点式方程和一般式方程 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.掌握直线的两点式方程和一般式方程. 2.了解直线的一般式方程和其他形式方程的关系. 3.重点提升数学运算和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、直线的两点式方程 1.已知直线l上两点的坐标,能否求出直线方程? 提示:能. 2.当x2-x1≠0,且y2-y1≠0时, ,这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程. 3.两点式方程能表示所有直线吗? 提示:不能.它不能表示与坐标轴垂直的直线. 4.过P(-1,2),Q(3,1)两点的直线的方程是　　　　　　　　　　. 二、直线的截距式方程 1.已知直线l经过点P(a,0),Q(0,b)(ab≠0),能否根据两点式方程求出直线l的方程? 提示:能. 2.若直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且ab≠0,则直线的方程为 此方程称为直线的截距式方程. 3.哪些直线无截距式方程? 提示:与坐标轴垂直的直线和过原点的直线. 4.在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线的方程是(　　) 答案:A 三、直线的一般式方程 1.方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)是否表示直线? 提示:是. 2.是否任何直线的方程均可化为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的形式? 提示:是. 3.方程Ax+By+C=0,其中A,B,C都是实常数,且A与B不同时为零(即A2+B2≠0),称为直线的一般式方程. 4.过点(0,-2),斜率为2的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　.  答案:2x-y-2=0 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两点式方程不能表示过原点的直线.(　　) (2)只要已知直线在x轴、y轴上的截距,就可以用截距式方程求直线方程. (　　) (3)有些直线既可以用两点式方程,也可以用截距式方程求直线方程.(　　) (4)任何直线都有一般式方程.(　　) × × √ √ 合作探究 释疑解惑 探究一 直线的两点式方程 【例1】 已知△ABC的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)边BC所在直线的方程; (2)边BC上的中线所在直线的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出其方程,注意两点式方程的局限性.在没有特殊要求的条件下,求出的直线方程一般化为一般式方程的形式. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知△ABC的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),若直线AB与y轴交于点E,直线BC与x轴交于点F,求直线EF的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 直线的截距式方程 【例2】 已知直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 将本例中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程. 解:设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b. 若a=b,则a=b=1,此时直线l的方程为x+y-1=0; 若a=-b,则a=-7,b=7,此时直线l的方程为x-y+7=0. ②当a=b=0时,直线l过原点,且过点(-3,4),此时直线l的方程为4x+3y=0. 综上所述,直线l的方程为x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用截距式求直线的方程时,一定要注意直线在x轴、y轴上的截距都存在,且都不为零. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 已知直线l经过点P(6,-2),在x轴、y轴上的截距均不为0,且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 直线方程的一般式 【例3】 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值: (1)直线l的斜率为-1; (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.在直线的一般式方程中,令x=0,解得y的值,即为直线在y轴上的截距,令y=0,解得x的值,即为直线在x轴上的截距.当然也可将一般式方程化为截距式方程,进而得到直线在x轴、y轴上的截距. 2.将一般式方程化为斜截式方程,进而讨论直线的斜率与倾斜角以及直线在y轴上的截距等. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R). (1)若方程表示一条直线,求实数m的取值范围; (2)若方程表示的直线的斜率不存在,求实数m的值,并求出此时的直线方程; (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为-3,求实数m的值. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 忽视截距为0的情形而致误 【典例】 求过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:忽略了直线过原点的情况,需分情况讨论. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 使用直线的截距式方程时,应注意其局限性,它不能表示与坐标轴垂直的直线或过原点的直线. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 求经过点A(-3,-4),且在坐标轴上的截距是互为相反数的直线l的方程. 此时直线l的方程为x-y-1=0. 当直线l在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为y=kx.因为l过点A(-3,-4),所以-4=-3k, 故直线l的方程为x-y-1=0或4x-3y=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.下列说法正确的是(　　) 解析:方程 =k表示过点P(x1,y1),且斜率为k的直线,但除去点P(x1,y1),故A错误;当b≥0时,b=|OB|,当b<0时,b≠|OB|,故B错误;a,b可能为0,故C错误;D正确. 答案:D 2.直线 与x轴、y轴所围成的三角形的周长为(　　) A.6 B.12 C.24 D.60 答案:B 3.过点(2,2),且斜率为2的直线方程的一般式为　　　　　　　　.  答案:2x-y-2=0 4.（多选题）若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,则(　　) A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0 答案:BD 5.已知直线Ax+By+C=0(AB≠0)在两坐标轴上的截距相等,则A,B,C满足的条件为　　　　　.  解析:∵AB≠0, 答案:A=B或C=0 答案:y=-x+ =1, A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解:(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得,化简得2x+y+3=0.故边BC所在直线的方程为2x+y+3=0. (2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为,即D(-1,-1). 又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得,化简得x+3y+4=0.故边BC上的中线所在直线的方程为x+3y+4=0. 解:因为直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点,所以由两点式方程得,即3x+8y+15=0.令x=0,得y=-,所以E. 因为直线BC过B(3,-3),C(0,2)两点, 所以由两点式方程得,即5x+3y-6=0. 令y=0,得x=,所以F. 所以直线EF的方程为,即25x-16y-30=0. 解:设直线l的方程为=1,则a+b=12.① 又直线l过点(-3,4),所以=1.② 由①②解得 故直线l的方程为=1或=1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0. ①当a≠0,b≠0时,l的方程为=1. 因为点(-3,4)在直线l上,所以=1. 解:依题意,设直线l的方程为=1,则=1,解得a=2或a=1. 故直线l的方程为=1或=1, 即2x+3y-6=0或x+2y-2=0. 解:(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2.由题意,得-=-1,解得k=5. (2)(方法一)直线l的方程可化为=1.由题意,得k-3+2=0,解得k=1. (方法二)令x=0,得y=2;令y=0,得x=k-3. 由题意,得k-3+2=0,所以k=1. 解:(1)当x,y的系数不同时为零时,方程表示一条直线.令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3. 令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=. 若方程表示一条直线,则m≠-1. 故实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,+∞). (2)由(1)知,当m=时,方程表示的直线的斜率不存在,此时直线方程为x=. (3)依题意,得=-3,m2-2m-3≠0,解得m=-. 错解:设所求直线方程为=1(a≠0), 将点(-5,2)的坐标代入=1,得a=-. 故所求直线方程为x+2y+1=0. 正解:当直线在x轴、y轴上的截距都是0时,设所求直线方程为y=kx,将点(-5,2)的坐标代入y=kx,得k=-. 此时直线方程为y=-x,即2x+5y=0. 当直线在x轴、y轴上的截距都不是0时,设所求直线方程为=1(a≠0), 将点(-5,2)的坐标代入=1,得a=-. 此时直线方程为x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 解:当直线l在坐标轴上的截距都不为零时,设其方程为=1. 因为l过点A(-3,-4),所以=1,解得a=1. 即k=,此时直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. A.方程=k表示过点P(x1,y1),且斜率为k的直线 B.直线y=kx+b与y轴的交点为B(0,b),其中截距b=|OB|(O为坐标原点) C.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为=1 D.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线 =1 ∴直线Ax+By+C=0在x轴、y轴上的截距分别为-,-,∴-=-,∴A=B或C=0. 6.已知△ABC的顶点A(1,-1),线段BC的中点D,求直线AD的方程. 解:由已知,得直线AD的方程为,即5x-4y-9=0. $$