2.2.1 直线的倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.了解直线的倾斜角和直线斜率的概念. 2.掌握直线的倾斜角与直线斜率之间的关系. 3.理解直线的方向向量和法向量. 4.重点提升数学运算和直观想象素养. 自主预习 新知导学 一、直线的倾斜角与斜率 1.若直线l1,l2(不重合)与x轴的夹角相等,则一定有l1∥l2吗? 提示:不一定. 2.给定直线l(与x轴不垂直),在l上任取四点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),S(x4,y4),式子 有何关系? 提示:相等. 3.(1)直线的倾斜角 一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°~180°. (2)直线的斜率 如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,当y1=y2时(此时必有x1≠x2), θ=0°; 当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°; 当x1≠x2,且y1≠y2时,可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形,如图①和图②所示,此时 ,而且,这个式子在x1≠x2且y1=y2时也成立. 图① 图② (3)直线的倾斜角与斜率的关系 一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.  二、直线的方向向量和法向量 1.一条直线有多少个方向向量?它们是什么关系? 提示:无数.共线. 2.若向量a=(x,y),b=(-y,x),则a与b是什么关系? 提示:垂直. 3.(1)直线的方向向量 一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作a∥l. 当直线l的倾斜角为θ时,m=(cos θ,sin θ)是直线l的一个方向向量;当直线l的斜率k存在时,n=(1,k)也是直线l的一个方向向量.  一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为90°;当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而k= ,倾斜角θ满足tan θ= . (2)直线的法向量 一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作v⊥l. 4.若直线l的倾斜角为150°,则l的斜率为　　　　　,它的一个方向向量a=　　　　　;它的一个法向量v=　　　　　.  【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任何直线都有唯一一个倾斜角.(　　) (2)与x轴平行的直线的倾斜角是0°或180°.(　　) (3)有些直线无斜率.(　　) (4)若直线l的倾斜角是θ,则它的斜率为tan θ.(　　) (5)若a=(m,n)是直线l的法向量,则b=(-n,m)就是l的一个方向向量.(　　) √ × √ × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 直线的倾斜角 【例1】 已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合, 求直线l转动前的倾斜角是多少. 分析:画示意图→标记α→找出倾斜角与α的关系→求倾斜角 探究一 探究二 探究三 思想方法 解: 由题意画出示意图如图所示. 由图可知,当α为钝角时,直线l转动前的倾斜角为α-90°;当α为锐角时,直线l转动前的倾斜角为α+90°;当α为直角时,直线l转动前的倾斜角为0°.综上, 直线l转动前的倾斜角为 探究一 探究二 探究三 思想方法 求直线的倾斜角,应根据定义求解.关键是根据题意画示意图,找准直线的倾斜角,必要时还应分类讨论. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1, 那么l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α 探究一 探究二 探究三 思想方法 解析:根据题意,画出图形,如图所示. 由图可知,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°; 当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. 答案:D 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? (2)因为直线l的倾斜角为90°,所以l的斜率不存在,即m+1=2m,故m=1. 探究一 探究二 探究三 思想方法 在本例条件下,若直线l的倾斜角为锐角,求实数m的取值范围. 解:因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的斜率大于0,即 >0,解得1<m<2. 探究一 探究二 探究三 思想方法 求直线的斜率的方法 (1)判断直线上两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则利用斜率公式 (其中x1≠x2)进行计算. (2)若直线的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,直线的斜率k=tan θ. (3)若直线的一个方向向量为a=(u,v)(u≠0),则直线的斜率 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 求过点A(0,2)和点B(m,-2)的直线的斜率. 解:当m=0时,直线的斜率不存在. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 直线的方向向量和法向量 【例3】 已知P(-4,2),Q(-1,6)是直线l上的两点. (1)求直线l的一个方向向量和一个法向量; (2)求直线l的倾斜角. 分析: 就是直线l的一个方向向量,与 垂直的非零向量都是直线l的法向量,可根据k=tan θ求倾斜角θ. 解:(1)∵P(-4,2),Q(-1,6), ∴向量 =(3,4)是l的一个方向向量. ∴向量a=(-4,3)是l的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上两点,则a=(x2-x1,y2-y1)就是直线l的一个方向向量,b=(y1-y2,x2-x1)就是直线l的一个法向量. 2.若直线l的斜率为k,则a=(1,k)就是直线l的一个方向向量,b=(-k,1)就是直线l的一个法向量. 3.若直线l的倾斜角为θ,则a=(cos θ,sin θ)就是直线l的一个方向向量, b=(-sin θ,cos θ)就是直线l的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 已知点P(-1,m),Q(4,4)是直线l上两点,且u=(-2,2)是直线l的一个法向量,求实数m的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 用数形结合思想求直线斜率的取值范围 【典例】 已知平面直角坐标系内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1). (1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角; (2)若D为△ABC的边AB上的动点,求直线CD的斜率k的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:(1)由斜率公式,得 故直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°. (2)如图,当点D在线段AB上移动时,直线CD绕点C旋转, 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD的 斜率k由kCA增大到kCB,故k的取值范围为 探究一 探究二 探究三 思想方法 在解决此类问题时,常常利用数形结合思想,使问题变得更加直观.在解题时,注意直线的倾斜角与斜率的关系,根据倾斜角大小的变化,求出斜率的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2). (1)求直线PM与PN的斜率; (2)求直线l的斜率kl的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.斜率不存在的直线一定是(　　) A.过原点的直线 B.垂直于x轴的直线 C.垂直于y轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线 答案:B 2.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于(　　) 解析:由题意可知,tan 45°= =1, 解得y=-1. 答案:C 3.(多选题)下列关于斜率和倾斜角的说法正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的斜率和倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为- C.倾斜角为0的直线只有一条,即x轴 D.若一条直线的倾斜角为α,则sin α∈[0,1] 答案:AD 4.光线从点A(-2, )射到x轴上的点B后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2 ),则光线BC所在直线的倾斜角为　　　　　.  答案:60° 5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为　　　　　.  答案:k1<k3<k2 6.已知直线l的倾斜角为135°,试求出直线l的一个方向向量和一个法向量. tan θ= 4.若P(1,2+),Q(0,2)是直线l上的两点,则直线l的斜率为;倾斜角为60°. 答案:- D. 解:(1)由题意,得=1,解得m=. k= k=. 当m≠0时,直线的斜率k==-. (2)设直线l的倾斜角为θ,则k=tan θ=,∴θ=arctan. 解:由题意,得=(5,4-m). ∵⊥u, ∴·u=-2×5+2×(4-m)=0,解得m=-1. kAB==0,kBC=, kAC=. . 解:(1)由题意可知,直线PM的斜率kPM==-4,直线PN的斜率kPN=. (2)如图,直线l相当于绕点P在直线PM与PN之间旋转,l'是过点P,且与x轴垂直的直线.由图可知,当直线l绕点P在直线PM与PN之间旋转时,kl≥或kl≤-4. 故kl的取值范围为(-∞,-4]∪. A.- B. C.-1 D.1 解析:∵点A关于x轴的对称点A'的坐标为(-2,-),∴BC所在直线的斜率k=, ∴BC所在直线的倾斜角为60°. 解:由题意可知,a=(cos 135°,sin 135°)=是l的一个方向向量,则b=是l的一个法向量. $$