2.6.2 双曲线的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.6.2　双曲线的几何性质 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.了解双曲线的几何性质. 2.掌握双曲线的渐近线和离心率的求解. 3.能够灵活地解答一些与几何性质有关的双曲线问题. 4.重点提升数学运算和直观想象素养. 自主预习 新知导学 双曲线的几何性质 1.根据曲线F的方程 =1(a>0,b>0),你能得到曲线F有哪些性质? 提示:(1)x≤-a或x≥a,y∈R;(2)曲线F关于x轴、y轴、原点对称;(3)曲线F与x轴交于点(±a,0)等. 2.双曲线的简单几何性质 3.已知双曲线16x2-9y2=-144,试求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率. 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)双曲线方程 =1(a>0,b>0)中的x的取值范围为(-∞,-a]∪[a,+∞). (　　) (2)双曲线在无穷远处可与渐近线相交.(　　) (3)双曲线的实轴比虚轴长.(　　) (4)双曲线的离心率e的取值范围为(0,1).(　　) √ × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 双曲线的几何性质 【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 由双曲线的方程求其几何性质时,应先将双曲线方程化为标准形式,再确定标准方程中a,b,c的值,最后确定相应几何性质. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 根据双曲线的几何性质求双曲线的方程 【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点位置不明确时,要注意分类讨论.为了避免讨论,也可设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得双曲线的方程. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P( ,2),求双曲线的方程; 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 求双曲线的离心率 探究一 探究二 探究三 思想方法 解析:(1)根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a. ∵(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab, ∴4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:(1)D　(2)A 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 (1)若双曲线的渐近线方程为y=± x,则离心率为　　　　　.  (2)已知F1,F2是双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1,且垂直于x轴的双曲线的弦.若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为　　　　　.  探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 用函数与方程的思想求解与双曲线几何性质有关的问题 【典例】 设双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为 ,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最短距离是2,求双曲线的方程. 分析:设Q(x,y)为双曲线上任意一点,将|PQ|转化为函数问题求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 其中|y|≥2b.若2b≤4, 则当y=4时,|PQ|min=2. 从而5-b2=4,即b2=1, 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 解析几何中的面积、距离、范围等问题,往往可以转化为函数问题求解,这样能使解题思路更清晰. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.双曲线y2-2x2=1的渐近线方程为(　　) 答案:B 答案:D 答案:ABD 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 =1 (a>0,b>0) =1 (a>0,b>0) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 (±a,0) (0,±a) 轴长 虚轴长=2b,实轴长=2a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 2c 对称性 对称轴为x轴、y轴, 对称中心为原点(0,0) 离心率 e=(e>1) 渐近线 =0 =0 解:方程可化为=1,则a=4,b=3,c=5, 故半实轴长为4,半虚轴长为3,焦点坐标为(0,5),(0,-5),顶点坐标为(0,4),(0,-4),离心率e=. 解:将9y2-4x2=-36化为=1, 则a=3,b=2,c=, 故顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 实轴长为2a=6,虚轴长为2b=4, 离心率e=, 渐近线方程为y=±x=±x. =1 解:由题意知,a2=3,b2=4, 所以a=, b=2,c=. 故双曲线的实轴长为2a=2,虚轴长为2b=4. 顶点坐标为(-,0),(,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 离心率e=, 渐近线方程为y=±x=±x. (1)实轴长为16,离心率为; (2)顶点之间的距离为6,渐近线为y=±x. 解:(1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0). 由题意知,2a=16,,c2=a2+b2, 解得a=8,c=10,b=6. 故双曲线的标准方程为=1或=1. (2)(方法一)当焦点在x轴上时, ∵,a=3,∴b=. ∴双曲线的标准方程为=1. 当焦点在y轴上时,∵,a=3, ∴b=2.∴双曲线的标准方程为=1. 故双曲线的标准方程为=1或=1. (方法二)设双曲线的方程为=λ(λ≠0). 当λ>0时,a2=4λ,2a=2=6,解得λ=. 当λ<0时,a2=-9λ,2a=2=6,解得λ=-1. 故双曲线的标准方程为=1或=1. 例2(2)变为:求过点P(2,3),且渐近线为y=±x的双曲线的方程. 解:由题意,设双曲线的方程为=λ(λ≠0). 将点P(2,3)的坐标代入方程,解得λ=-2. 故双曲线的方程为=-2,即=1. 2.若已知双曲线的渐近线为y=x,则双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).若两条渐近线的方程为Ax±By=0,则双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0).与双曲线=1共渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0). (2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2),求双曲线的方程. 解:(1)设双曲线的方程为=1(a>0,b>0). 由题意知,. ∵双曲线过点P(,2),∴=1. 由解得 故双曲线的方程为=1. (2)设双曲线的方程为=1(a>0,b>0). ∵e=,∴e2==1+, ∴. 由题意,得解得 故双曲线的方程为=1. 【例3】 (1)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.4 D. (2)已知F1,F2是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　　) A. B. C. D.2 又a+b≠0,∴b=4a,∴e=. (2)(方法一)由MF1⊥x轴,可得M,∴|MF1|=. 由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1=. 又tan∠MF2F1=, ∴,∴b2=ac. 又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=或e=-(舍去).故选A. (方法二)由MF1⊥x轴,得M,∴|MF1|=. 由双曲线的定义可得,|MF2|=2a+|MF1|=2a+, ∴sin∠MF2F1=,∴a2=b2, ∴e=.故选A. 求双曲线的离心率的两种方法 (1)直接法:若已知a,c,则可直接利用e=求解.若已知a,b,则可利用e=求解. (2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,则可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助e=,转化为关于e的方程求解. =1 解析:(1)若焦点在x轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则, 故e=. 若焦点在y轴上,同理可得e=. 综上,双曲线的离心率为. (2)设F1(c,0), 由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°, 知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2c. 由双曲线的定义,得2c-2c=2a. 故e==1+. 故双曲线的离心率为1+. 答案:(1)　(2)1+ 解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).因为离心率e=,所以a=2b,所以双曲线的方程为-x2=b2.设Q(x,y)为双曲线上任意一点,依题意,|PQ|=, 故双曲线的方程为-x2=1. 若2b>4,则当y=2b时,|PQ|min=2,从而(2b-4)2+5-b2=4,所以b=或b=(舍去).故双曲线的方程为=1. 故双曲线的方程为-x2=1或=1. 【变式训练】 已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点P,使,则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　.  解析:由题意知|PF1|=|PF2|. 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a, 则|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=. 由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a, 则>c-a,即c2-2ac-a2<0, 故e2-2e-1<0,解得-+1<e<+1. 又e∈(1,+∞),故双曲线的离心率e∈(1,+1). 答案:(1,+1) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 2.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(b>0)经过点(4,),则该双曲线的渐近线方程是(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 解析:∵双曲线=1经过点(4,), ∴=1,解得b=. 又a=2,∴该双曲线的渐近线方程是y=±x. 3.(多选题)已知0<k<a,双曲线C1:=1,双曲线C2:=1,则下列结论不可能成立的是 (　　) A.C1与C2的实轴长相等 B.C1与C2的虚轴长相等 C.C1与C2的焦距相等 D.C1与C2的渐近线相同 4.点M(-1,0)到双曲线x2-=1的渐近线的距离为　　　　　.  解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±3x. 由点到直线的距离公式可知,点M到渐近线的距离为. 答案: 5.若双曲线=1(a>0)的一个焦点是(0,),则该双曲线的渐近线方程是　　　　　.  解析:由双曲线=1(a>0)的一个焦点是(0,),可得a2+9=13,解得a=2. 故双曲线=1的渐近线方程是y=±x. 答案:y=±x 6.已知双曲线C的两个焦点与椭圆=1的两个焦点相同,且双曲线C的一条渐近线为x-y=0,求双曲线C的标准方程. 解:由C的一条渐近线为x-y=0,可设双曲线C的方程为-y2=λ(λ≠0), 则=1(λ>0). 因为椭圆=1的两个焦点为(-6,0),(6,0),所以3λ+λ=36,解得λ=9.故双曲线C的标准方程为=1. $$