2.5.1 椭圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.5.1　椭圆的标准方程 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.掌握椭圆的定义及其标准方程的推导过程. 2.会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程. 3.重点提升数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、椭圆的定义 1.已知F1,F2是两个定点,若动点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|,则点P的轨迹是什么? 提示:线段F1F2. 2.如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.椭圆可以通过用平面截圆锥面得到,因此椭圆是一种圆锥曲线. 3.下列说法正确的是(　　) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 答案:C 二、椭圆的标准方程 1.已知F1,F2为定点,用什么方法可以求出满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹方程? 提示:坐标法. 2.以F1,F2为焦点,焦距为2c的椭圆的标准方程. 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹必是椭圆.(　　) (2)椭圆可以由平面截圆锥面得到.(　　) (3)椭圆的标准方程是 (a>b>0).(　　) × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 利用椭圆的定义求标准方程 【例1】 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B,且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. 解:设圆P的半径为r. ∵圆P过点B,∴|PB|=r. 又圆P与圆A内切,圆A的半径为10, ∴两圆的圆心距|PA|=10-r.∴|PA|+|PB|=10>6=|AB|. ∴点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆. ∴2a=10,2c=|AB|=6,∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,关键是根据已知条件,将动点满足的条件转化成动点到两定点的距离之和等于定长.求解此类问题时,若题中没有建立平面直角坐标系,则需先建立适当的平面直角坐标系,有时还需排除特殊点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程. 解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|, ∵|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,|AC|=2. ∴|MC|+|MA|>|AC|, ∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点分别为C,A. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 利用待定系数法求椭圆的标准方程 【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点为(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0); 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2.当不能明确焦点在哪个坐标轴上时,通常要分类讨论.此时可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),避免分类讨论,根据已知条件求出m,n即可. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 椭圆的定义与标准方程的应用 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n, 由题意知,a2=100,b2=64, 则c2=a2-b2=36,故a=10,c=6. 根据椭圆的定义,有m+n=20. 在△F1PF2中,由余弦定理, 得m2+n2-2mncos =144, ∴m2+n2-mn=144, ∴(m+n)2-3mn=144, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)由(1)知,|PF1|+|PF2|=20, 当且仅当|PF1|=|PF2|=10时取等号. ∴|PF1||PF2|的最大值为100. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在椭圆中,由椭圆上的点及两个焦点所组成的三角形引出的问题很多.在处理这些问题时,经常利用椭圆定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决,还经常用到配方法、解方程及把|PF1||PF2|看成一个整体等来处理此类问题. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 设P是椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:由题意可知,|PF1|+|PF2|=2×5=10,|F1F2|=5. 在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 故|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=102-3|PF1||PF2|=52,所以 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 忽略椭圆的标准方程中a≠b的条件而致误 解得3<k<5. 故k的取值范围是(3,5). 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:求解过程中,没有注意到椭圆的标准方程中a≠b这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆,而表示圆. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 故k的取值范围是(3,4)∪(4,5). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 已知关于x,y的方程 表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围为　　　　　.  解析:∵焦点在x轴上, 解得7<k<10. 故k的取值范围为(7,10). 答案:(7,10) 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.椭圆 的焦点坐标是(　　) A.(0,±2) B.(0,±3) C.(±3,0) D.(±2,0) 解析:∵a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4,∴c=±2, ∴焦点坐标为(0,±2). 答案:A 2.已知椭圆 +y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:D 3.如图,已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦,且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方.则下列结论一定成立的是(　　) A. B.若|AF||BF|=p2,则k= C. D.四边形ACBD面积最小值为16p2 答案:AC 4.已知椭圆的方程为 ,焦点在x轴上,则实数t的取值范围为　　　　　　　　.  解析:由题意可知,0<t2<9,解得-3<t<0或0<t<3. 答案:(-3,0)∪(0,3) 5.到点F1(1,0)和F2(-1,0)的距离之和为2的动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案:y=0,x∈[-1,1] 6.已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 解:如图,以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,得|AB|+|AC|=10>6, 故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且2c=6,2a=10, 故c=3,a=5,b2=52-32=16. 当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形, 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1 (a>b>0) =1 (a>b>0) 焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a,b,c的关系 c2=a2-b2 3.椭圆=1的焦点在　　　　　轴上,焦距为　　　　　; 椭圆=1的焦点在　　　　　轴上,焦点坐标为　　　　　　　　.  答案:x　8　y　(0,),(0,-) =1 ∴圆心P的轨迹方程为=1. ∴2a=5,2c=2,∴a=,c=1. ∴b2=a2-c2=-1=. ∴点M的轨迹方程为=1. (2)经过点A(-,0),B(0,). 解:(1)由题意可知,椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0). 将点(5,0)代入上式解得a=5, 又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9. 故椭圆的标准方程为=1. (2)由题意可知,椭圆的焦点在x轴上, 故设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0). ∵椭圆经过点A(-,0),B(0,), ∴=1,=1,∴a2=15,b2=5. 故椭圆的标准方程为=1. 将例2(2)变为:求经过点P(-2,1),Q(,-2)的椭圆的标准方程. 解:设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n), ∵点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上, ∴解得 故椭圆的标准方程为=1. 1.当能明确焦点在哪个坐标轴上时,直接设出椭圆的标准方程为=1或=1,其中a>b>0.根据已知条件求出a,b即可. 【变式训练2】 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过点P,Q的椭圆的标准方程. 解:(方法一)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为=1 (a>b>0).依题意有 解得 因为a>b,所以方程组无解. 当椭圆的焦点在y轴上时,设它的标准方程为=1(a>b>0).依题意得 解得 故所求椭圆的标准方程为=1. (方法二)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).依题意得解得 故所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,即=1. 【例3】 已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点. (1)若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积; (2)求|PF1||PF2|的最大值. 分析:(1)先在△F1PF2中,利用余弦定理及椭圆的定义求出|PF1||PF2|的值,再利用|PF1||PF2|·sin∠F1PF2得出结果.(2)利用均值不等式结合椭圆的定义,求出|PF1||PF2|的最大值. ∴400-3mn=144,∴mn=. ∴mnsin. ∴|PF1||PF2|≤=100, |PF1|·|PF2|=25.所以|PF1||PF2|sin 60°=×25×. 【典例】 已知关于x,y的方程=1表示椭圆,求k的取值范围. 错解:由题意,得 正解:由题意,得解得3<k<5,且k≠4. 方程=1表示椭圆的条件是方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的条件是方程=1表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 =1 ∴ =1 =1 故点A的轨迹方程为=1(y≠0). $$