2.4 曲线与方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.4　曲线与方程 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.结合已学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系. 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程. 4.重点提升数学运算和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、曲线的方程与方程的曲线 1.在平面直角坐标系中,第一象限的角平分线上的点是否都满足方程|y|=x? 提示:是. 2.满足方程|y|=x的点都在第一象限的角平分线上吗? 提示:不是.还有的点在第四象限的角平分线上. 3.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解; (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程. 4.如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,那么(　　) A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上 B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解 D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上 答案:D 二、两条曲线的交点 1.若x0,y0既满足方程F(x,y)=0,又满足方程G(x,y)=0,则点P(x0,y0)是否一定是曲线C1:F(x,y)=0与C2:G(x,y)=0的公共点?反之成立吗? 提示:是.成立. 2.求两条曲线C1:F(x,y)=0与C2:G(x,y)=0的交点的坐标,实际上是求方程组 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)方程y=x2表示的曲线是一条抛物线.(　　) (2)第三象限的角平分线对应的方程为y=x.(　　) (3)若曲线C的方程为F(x,y)=0,则曲线C上的点的坐标一定满足F(x,y)=0.(　　) (4)若以F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线M上,则M的方程就是F(x,y)=0.(　　) √ × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 曲线的交点问题 【例1】 已知曲线C1:y=2x-3,曲线C2:xy=2,求曲线C1与C2的交点的坐标. 分析:联立曲线C1与C2的方程组成方程组,方程组的解对应的点就是曲线C1与C2的交点. 探究一 探究二 规范解答 若曲线C1:y=2x+b与C2:xy=2交于A,B两点,且|AB|=5,试求实数b的值. 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 求两条曲线的交点,实质上就是解两条曲线方程联立所得的方程组,以方程组的解为坐标的点就是两条曲线的交点. 探究一 探究二 规范解答 【变式训练1】 给出下列曲线: 其中与直线y=-2x-3有交点的是(　　) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 探究一 探究二 规范解答 答案:D 探究一 探究二 规范解答 探究二 求轨迹方程 【例2】 设两定点A,B之间的距离为8,求到A,B两点的距离的平方和为50的动点P的轨迹方程. 分析:建立适当的平面直角坐标系,设P(x,y),将动点P满足的条件用式子表示后化简即可. 解:以AB所在的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-4,0),B(4,0). 设P(x,y),由题意,得|PA|2+|PB|2=50, 即(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=50,化简得x2+y2=9.故可以检验,动点P的轨迹方程为x2+y2=9. 探究一 探究二 规范解答 若所求轨迹方程问题中没有建立平面直角坐标系,则需先建立适当的平面直角坐标系.通常用以下方法建系: (1)若条件中只出现一个定点,则常以定点为原点建系; (2)若已知两个定点,则常以两个定点的中点为原点,两个定点所在的直线为x轴建系; (3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建系.由于建立的平面直角坐标系不同,因此同一曲线在不同的平面直角坐标系中的方程也不同. 探究一 探究二 规范解答 【变式训练2】 已知线段AB,且|AB|=2a,动点C满足AC⊥BC,求动点C的轨迹方程. 解:以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-a,0),B(a,0).设C(x,y), 即(x+a)(x-a)+y2=0,即x2+y2=a2. 又点C不能与点A,B重合,故y≠0. 故可以检验,动点C的轨迹方程为x2+y2=a2(y≠0). 探究一 探究二 规范解答 规范解答 用代入法求曲线方程 【典例】 已知在△ABC中,A(-2,0),B(0,-2),顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心G的轨迹方程. 审题策略:由于点A,B已经确定,因此重心G随点C的变化而变化.设G(x,y),C(x1,y1),找到点G与点C的坐标之间的关系,分别用x,y表示出x1,y1,代入点C的轨迹方程,化简得到重心G的轨迹方程. 探究一 探究二 规范解答 规范展示:设△ABC的重心G的坐标为(x,y),顶点C的坐标为(x1,y1). ∵点C在曲线y=3x2-1上, ∴3y+2=3(3x+2)2-1,化简得y=9x2+12x+3. ∴可以检验,△ABC的重心G的轨迹方程为y=9x2+12x+3. 探究一 探究二 规范解答 答题模板:第1步:设已知动点的坐标为(x1,y1),所求动点的坐标为(x,y). 第2步:根据题意,找出两动点的坐标之间的关系,分别用x,y表示出x1,y1. 第3步:将已知动点的坐标代入其所在曲线的方程,化简并检验所求动点的轨迹方程. 探究一 探究二 规范解答 1.未能正确找出两动点的坐标之间的关系. 2.忽略了x,y的取值范围. 探究一 探究二 规范解答 【变式训练】 已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点O作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程. 探究一 探究二 规范解答 随堂练习 1.已知曲线C的方程为y=x(1≤x≤5),则下列四点在曲线C上的是(　　) 答案:D 2.方程|x|=|2y|表示的图形是(　　) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.有公共端点的两条射线 D.一个点 解析:由|x|=|2y|,得x=2y或x=-2y.故选B. 答案:B 3.已知点Q是直线3x+4y+8=0上的动点,点A(0,-1),则线段AQ的中点P的轨迹方程为(　　) A.3x+4y+12=0 B.3x+4y+6=0 C.3x-4y+6=0 D.3x+4y=0 答案:AC 4.直线x-y=0与曲线xy=1的交点个数为　　　　　.  故交点的坐标为(1,1)或(-1,-1),交点个数为2. 答案:2 5.若对任意在曲线f(x,y)=0上的点(x0,y0),都有点(y0,x0)在曲线f(x,y)=0上,则曲线f(x,y)=0关于　　　　　对称.  答案:直线y=x 6.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),O为坐标原点,P(x,y)满足 求点P的轨迹方程. 的解. 解:由解得 故曲线C1与C2的交点的坐标为,(2,1). 解:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得2x2+bx-2=0. 由题意,得x1+x2=-,x1x2=-1,Δ=b2+16>0. 由|AB|= = ==5,解得b=±2. ①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1. 解析:联立得方程组无解,无交点. 联立得5x2+12x+6=0,由Δ>0,知方程组有两个解,有交点. 联立得9x2+24x+16=0,由Δ=0,知方程组有一个解,有交点. 联立得7x2+24x+20=0,由Δ>0,知方程组有两个解,有交点. 故选D. ∵AC⊥BC,∴=0, ∵A(-2,0),B(0,-2),∴ ∴ 解:设P(x1,y1),Q(x,y),则由题意,得即 因为点P在圆C上, 所以+(y1-3)2=9,所以4x2+4=9, 即x2+.又点P不与点O重合, 所以y≠0.所以可以检验OP的中点Q的轨迹方程为x2+(y≠0). A.(0,0) B. C.(1,5) D.(4,4) 解析:由 =4, 解:由题意知,=(x,y),=(1,2),则=x+2y. ∵=4,∴x+2y=4,即x+2y-4=0. ∴可以检验,点P的轨迹方程为x+2y-4=0. $$