2.3.4 圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.3.4　圆与圆的位置关系 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能够判定所给两圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决有关问题. 4.重点提升数学运算和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系细分有哪些情况? 提示:外离、外切、相交、内切、内含. 2.当两圆的方程联立组成的方程组无解时,两圆一定外离吗? 提示:不一定.也可能内含. 3.判断圆与圆的位置关系 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: (2)代数法:设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 4.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　　) A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 答案:B 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若两圆有一个公共点,则两圆相切.(　　) (2)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆可能内含.(　　) (3)当两圆相交时,将两圆的方程相减可得到两圆圆心所在直线的方程.(　) √ √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 判断圆与圆的位置关系 【例1】 当实数a为何值时,两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0外切、相交、外离? 解:由C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0,得(x-a)2+(y+2)2=9,则圆C1的圆心为 C1(a,-2),r1=3; 由C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,得(x+1)2+(y-a)2=4,则圆C2的圆心为 C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. 当d=r1+r2,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2; 当1<d<5,即1<2a2+6a+5<25时,两圆相交,解得a∈(-5,-2)∪(-1,2); 当d>r1+r2,即2a2+6a+5>25时,两圆外离,解得a∈(-∞,-5)∪(2,+∞). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围步骤如下: (1)根据圆的方程,写出圆心坐标和半径; (2)计算两圆的圆心距d; (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可借助图形,数形结合. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0,其中a>0.试求当实数a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 解:由题意可知,圆C1的圆心为C1(a,1),半径r1=4,圆C2的圆心为C2(2a,1),半径r2=1, (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 与两圆相切有关的问题 【例2】 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+ y=0相切于点M(3,- )的圆的方程. 分析:设出圆的标准方程,利用待定系数法求解. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 因为所求圆与圆x2+y2-2x=0外切, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 本例变为:求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- )的圆的方程. 解:因为圆心在x轴上,所以可设圆心坐标为(a,0),半径为r(r>0), 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求解两圆相切问题应注意以下两点 (1)定性,即必须准确把握两圆是内切还是外切,若仅知两圆相切,则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论. (2)转化思想,即将两圆相切问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1),且半径为1的圆的方程. 由①③,解得a=3,b=-1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上可知,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 与两圆相交有关的问题 【例3】 求圆心在直线x-y-4=0上,且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程. 分析: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 故圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1),B(3,3). 线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (方法二)同方法一求得A(-1,-1),B(3,3),设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 用代数法求过两圆交点的圆的方程时,可先求出两圆的交点,再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长;也可由题意先设出所求圆的方程,再根据条件建立方程组,求出参数,最后求出圆的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0与圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因考虑问题不全面致误 【典例】 求半径为4,且与圆x2+y2-4x-2y-4=0和直线y=0都相切的圆的方程. 错解:由题意,知所求圆与直线y=0相切,且半径为4,可设圆心O1为(a,4), 则所求圆的方程为(x-a)2+(y-4)2=16. 圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心O2为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|O1O2|=3+4=7, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:忽视了圆心在直线y=0下方的情况,导致漏解.另外,当两圆相切时,应分两圆外切与内切进行讨论. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 正解:因为所求圆与直线y=0相切,且半径为4,所以设圆心O1为(a,4)或(a,-4). 圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心O2为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|O1O2|=3+4=7或|O1O2|=4-3=1. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 当已知两圆相切时,要有分内切与外切两种情况讨论的意识.有时可根据题意作出图形,由图判断两圆是内切还是外切,避免漏解. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 求与y轴相切,且与圆x2+y2-4x=0也相切的圆P的圆心的轨迹方程. 解:由已知,得圆x2+y2-4x=0的圆心为(2,0),半径为2. 设圆心P(x,y), ①如图,当圆P与定圆外切时,|PA|=|PN|+|AB|, 当x>0时,y2=8x;当x<0时,y=0. ②当圆P与定圆内切时,x>0,此时|PA|=||PO|-|AO||, 综上可知,圆P的圆心的轨迹方程为y2=8x(x>0)和y=0(x≠0,x≠2). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=m2(m>0)外离,则实数m的取值范围是(　　) A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.(0,2) D.(0,2] 答案:C 2.已知两圆的半径分别为方程x2-7x+12=0的两个根,若圆心距为8,则两圆的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.内切 D.相交 答案:A 3.两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的交点所在直线方程为　　　　　　　　.  答案:x-2y+6=0 4.(多选题)已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的值可以是(　　) A.5 B.1 C.3-5 D.3+5 答案:AC 5.若圆O1:x2+y2=4与O2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则实数a=　　　　　.  解析:两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1.由两圆内切可得,|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1. 答案:±1 6.求经过原点,且与直线y=1及圆(x-2)2+(y-1)2=1相切的圆的方程. 解:由题意可知,两圆一定外切. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 联立方程得 则|C1C2|==a. 所以=r+1.① 由圆与直线x+y=0相切于点M(3,-), 得 由①②③,解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 又因为所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-), 所以 解得 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4. 解:设所求圆的圆心坐标为(a,b), 则=1.① (1)若两圆外切,则有=1+2=3.② 由①②,解得a=5,b=-1,故所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. (2)若两圆内切,则有=2-1=1.③ 解:(方法一)由 解得 由解得故所求圆的圆心为(3,-1),半径长为=4. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 由解得 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解:联立两圆的方程,得 解得 故两圆的交点坐标分别为(-1,2),(5,-6). 因为圆C以公共弦为直径,所以圆心C是公共弦的中点(2,-2),半径长为=5. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 即=7,解得a=2±2. 故所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16. (1)当圆心为(a,4)时,=7或=1, 解得a=2±2. 故所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16. (2)当圆心为(a,-4)时,=7或=1, 解得a=2±2. 故所求圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16. 综上可知,所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16或(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16. 即=|x|+2. 即=|x-2|,即y=0(x≠2). 解析:由题意知,>m+1,解得0<m<2. 则解得 故所求圆的方程为. $$