2.3.3 直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.3.3　直线与圆的位置关系 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.理解直线与圆的三种位置关系. 2.会判断直线与圆的位置关系. 3.能解决直线与圆的位置关系的综合问题. 4.重点提升数学运算和直观想象素养. 自主预习 新知导学 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有哪几种? 提示:相离、相切、相交. 2.根据直线与圆的交点的个数能否判断直线与圆的位置关系? 提示:能. 3.已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线Ax+By+C=0,则 4.直线x+y-1=0与圆x2+y2=1的位置关系是　　　　　.  答案:相交 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若由直线方程和圆的方程组成的方程组有解,则直线与圆相交.(　　) (2)只要求得圆的半径及圆心到直线的距离,就能判断直线与圆的位置关系. (　　) (3)圆截直线所得的线段最长等于圆的半径.(　　) × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 判断直线与圆的位置关系 【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(方法一)由已知,得y=mx-m-1,代入圆的方程,整理得 (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,Δ=4m(3m+4). (1)当且仅当m>0或m<- 时,Δ>0,方程有两个不相等的实数解,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当且仅当m=0或m=- 时,Δ=0,方程有两个相等的实数解,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当且仅当- <m<0时,Δ<0,方程没有实数解,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (方法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 故圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 (1)当且仅当d<2,即m>0或m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当且仅当d=2,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当且仅当d>2,即- <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:将直线方程与圆的方程联立组成方程组,消元得到一元二次方程,利用一元二次方程的判别式Δ判断. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时, (1)直线l平分圆C; (2)直线l与圆C相切; (3)直线l与圆C有两个公共点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 圆的切线问题 【例2】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程. 分析:设出切线方程,根据切线的性质,确定相应的参数. 解:因为(2-1)2+(4+3)2=50>1,所以点M在圆外.当直线斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0. 所以直线方程为24x-7y-20=0.当直线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 本例中,将点M的坐标改为(1,-4),求切线方程. 解:因为(1-1)2+(-4+3)2=1,所以点M在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 过一点求圆的切线方程的方法 (1)求圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程: 先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为- ,由点斜式可得切线方程.若切线斜率为零或不存在,则由图形可直接得到切线方程y=y0或x=x0. (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),根据圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得到切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为此解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求切线方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 求过点(1,-7),且与圆x2+y2=25相切的直线方程. 解:由题意知,切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y+7=k(x-1),即 故所求切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 求弦长问题 【例3】 已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0,且倾斜角为α的直线与圆交于点A,B. (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)∵α=135°, ∴kAB=tan 135°=-1. ∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.作OC⊥AB于点C,如图. ∵圆心为(0,0), 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求直线与圆相交被圆截得的弦长 (1)几何法:如图,弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有 (2)代数法:设直线与圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),可利用直线和圆的方程联立,消元求得关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求得x1+x2和x1x2,用它来表示|x1-x2|,|x1-x2|= ·|x1-x2|,其中k为直线斜率. 求弦长时,几何法比代数法要简单一些. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知直线l经过点P(5,5),且与圆O:x2+y2=25相交,截得弦长为4 ,求直线l的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因忽视斜率不存在的情况而致误 【典例】 求过点(0,7),且与圆x2+y2-6x-6y+9=0相切的直线方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:给出点与圆的信息进行求解时,应先判断点的位置,过圆外一点作圆的切线应该有两条,上述解法忽略了斜率不存在的情况,从而导致解题错误. 正解:当直线斜率存在时,由错解知,切线方程为7x+24y-168=0. 当直线斜率不存在时,直线x=0显然与圆相切. 故所求切线方程为7x+24y-168=0或x=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.先判断点的位置,从而确定切线的条数,避免漏解. 2.先讨论斜率不存在的情况,再求斜率存在的情况. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 过点(1,1)作圆x2+y2=1的切线,则切线方程为　　　　　　　　　.  答案:x=1或y=1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=9的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案:A 2.若圆x2+y2-4x+2y+m=0与y轴相切,则m的值为(　　) A.1 B.3 C.-3 D.7 答案:A 3.(多选题)已知点M(a,b)(ab≠0)是圆O:x2+y2=r2(r>0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则(　　) A.l∥g B.l⊥g C.l与圆O相交 D.l与圆O相离 答案:AD 4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  解析:∵圆心为(-1,2), ∴直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0. 答案:x-y+5=0 5.从点P(m,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为　　　　　.  解析:要使切线长最短,只需点P到圆心的距离最短.设圆心为C,则 6.求过点P(-1,2),且与圆O:x2+y2=5相切的切线方程. 解:由题意可知,点P在圆O上. ∵P(-1,2),圆心O(0,0), 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方向 几何法:设圆心到直线的距离d= d < r d = r d > r 代数法:由 得到一元二次方程及判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 图形 d=. 解:(1)因为直线l平分圆C,所以圆心C(1,1)在直线y=x+m上,故有m=0. (2)因为直线l与圆C相切,所以圆心C到直线l的距离等于圆C的半径,所以=2,即m=±2. 故当m=±2时,直线l与圆C相切. (3)若直线l与圆C有两个公共点, 则 <2,即-2<m<2. 故当-2<m<2时,直线l与圆C有两个公共点. 因为直线与圆相切,所以=1,解得k=, kx-y-k-7=0,故=5,解得k=或k=-. ∴|OC|=. ∵圆的半径r=2,∴|BC|=, ∴|AB|=2|BC|=. ∵=-2,∴kAB=. ∴直线AB的方程为y-2=(x+1), 即x-2y+5=0. |AB|=2. ,则|AB|= 解:由题意可知,直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0,则圆心O到l的距离为. 又圆O的半径为5,l被圆O截得的弦长为4, 所以+(2)2=52, 解得k=或k=2. 故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0. 错解:设切线方程为y=kx+7, 联立消元得(k2+1)x2+(8k-6)x+16=0. 由题意知,Δ=(8k-6)2-64(k2+1)=-4(24k+7)=0,解得k=-. 故所求切线方程为y=-x+7,即7x+24y-168=0. 解析:圆心到直线的距离为d=<3,故直线与圆相交. 解析:由题意可知,圆的圆心为(2,-1),半径为. ∵圆与y轴相切,∴=2,∴m=1. ∴kl=-=1. |PC|=,当m=-2时,|PC|min=5,此时切线长为=2. 答案:2 ∴kOP=-2.∴切线的斜率k=. ∴切线方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0. $$