2.3.3 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系，详解几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）两种判定方法，衔接直线与圆的方程知识，为后续学习奠定基础。 该资料以日出日落情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过表格对比与多解法例题发展数学思维，即时练与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升解题能力。

2．3.3　直线与圆的位置关系 新课导入 学习目标 在海天交于一线的天际，一轮红日先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，再跃出海面，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切与相离． 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系． 3.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用． 思考1　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片，你认为直线与圆有哪些位置关系？ [提示]　相交、相切与相离． 思考2　在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？ [提示]　可以研究直线方程和圆的方程所组成的方程组解的个数或者研究圆心到直线的距离与半径的关系． [知识梳理] 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 判断方法 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 [即时练] 1．已知直线l：x＋y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y－3＝0，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且过圆心 解析：选C.方法一：联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得2x2＋6x＋9＝0. 因为Δ＝62－4×2×9＝－36<0， 所以直线l与圆C相离，没有公共点． 方法二：将圆C的方程通过配方化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝8，可知它的圆心C的坐标为(1，2)，半径r＝2.圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝＝>2，所以直线l与圆C相离，没有公共点． 2．“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则圆心(0，0)到直线的距离满足<1，故a2＋b2>1，由于a2＋b2>1能推出a2＋b2≥1，但a2＋b2≥1不能推出a2＋b2>1，故“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的充分不必要条件． 3．若过点(0，2)且与圆x2－2x＋y2－2y＋m＝0相切的直线只有一条，则m＝_____________. 解析：由题意可得点(0，2)在圆上，所以22－2×2＋m＝0，解得m＝0. 答案：0 4．若直线l：x＋y－m＝0与曲线C：y＝只有一个公共点，则实数m的取值范围是________． 解析：由曲线C：y＝，整理可得x2＋y2＝9(y≥0)，则曲线C为圆心O(0，0)，半径r＝3的圆的上半部分，如图， 由图可得直线l1与圆相切，则＝3，解得m＝±3，由图可得直线l1的方程为x＋y－3＝0；由图可得直线l2过点(3，0)，可得方程x＋y－3＝0；由图可得直线l3过点(－3，0)，可得方程x＋y＋3＝0. 由图可得m∈[－3，3)∪{3}． 答案：[－3，3)∪{3} 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． [例1] (对接教材例2)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程． 【解】　方法一(几何法)：因为(2－1)2＋(3＋2)2>1， 所以点P在圆外． ①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切， 所以＝1，所以k＝. 所以直线l的方程为y－3＝(x－2)， 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 方法二(代数法)：①若直线l的斜率存在， 设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去y得 (x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1， 整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0， 所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0， 解得k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 母题探究1　若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程． 解：因为(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，所以点P在圆上． 所以过P(2，－2)的切线方程为x＝2， 即直线l的方程为x＝2. 母题探究2　在本例条件下，求此切线长． 解：点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为＝， 所以切线长为＝5. (1)求过已知点的圆的切线的方法：①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． (2)圆的切线长的求法：过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质．设切线长为l，点到圆心的距离为d，半径为r，运用勾股定理可得l＝. [跟踪训练1] (1)(2026·河西期中)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2经过点P(3，－1)，则圆在点P处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＝0 C．x－y＝0 D．x－y－4＝0 解析：选D.设圆心C(1，1)，则kCP＝＝－1，设切线斜率为k1，则k1·kCP＝－1，得k1＝1，故切线方程为y＋1＝1×(x－3)，即x－y－4＝0. (2)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4及圆C外一点M(－4，－1)，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则△MNC的面积为____________． 解析：圆C的圆心为C(2，1)，半径r＝2， 由于过点M作圆C的一条切线，切点为N，故CN⊥MN，所以|MN|＝＝＝6，所以△MNC的面积为×2×6＝6. 答案： 6 [例2] 已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y－m＝0. (1)求实数m的取值范围； (2)若圆C与直线l：x＋y＋3＝0交于M，N两点，且|MN|＝2，求m的值． 【解】　(1)方程x2＋y2－2x＋4y－m＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5＋m， 因为此方程表示圆， 所以5＋m＞0，即m＞－5， 故实数m的取值范围是(－5，＋∞). (2)由(1)可得圆心C(1，－2)，半径r＝， 如图，过点C作CA⊥MN于点A，则|MA|＝|MN|＝， 圆心C(1，－2)到直线l：x＋y＋3＝0的距离为d＝|CA|＝＝， 由图可得r2＝d2＋|MA|2，即5＋m＝()2＋()2，解得m＝2. 求解直线被圆截得的弦长问题时，方法有以下两种： (1)几何法：因为半径r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以常利用d2＋＝r2求解． (2)代数法：当直线斜率为k时，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系即可求得弦AB的长为|AB|＝·|x1－x2|＝　·. [跟踪训练2] (1)在x，y轴上的截距分别为4，－3的直线l被圆C：x2＋y2－10x－4y＋19＝0截得的弦长为(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：选B.由题意得，直线l的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，又由C：x2＋y2－10x－4y＋19＝0，可化为(x－5)2＋(y－2)2＝10， 可得圆C的圆心为(5，2)，半径为，则圆心到直线l的距离d＝＝1， 所以直线l被圆C截得的弦长为 2＝6.故选B. (2)已知圆x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0截直线x＋y＋3＝0所得弦长为，则实数a的值为________． 解析：圆x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0 的标准方程为(x－1)2＋(y－a)2＝4，所以圆心为(1，a) ，半径r＝2，因为弦长为，所以圆心到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝ ， 由点到直线的距离公式得，d＝＝，所以a＝－3 或a＝－5. 答案：－3 或－5 1．(教材P116练习AT4改编)已知直线x－y－6＝0与以直线x－3y－1＝0和x＋y＋3＝0的交点为圆心的圆C相切，则圆C的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝25 B．(x－2)2＋(y－1)2＝ C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝ D．(x－2)2＋(y－1)2＝25 解析：选C.联立解得所以圆C的圆心为(－2，－1)，由直线x－y－6＝0与圆C相切，得圆C的半径为r＝，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝. 2．(多选)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置可能为(　　) 解析：选ABD.直线mx－y＋1＝0过定点(0，1)，显然点(0，1)在圆x2＋y2＝2内， 因此直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2必相交，C错误；而直线mx－y＋1＝0表示平面内过点(0，1)的斜率存在的任意直线，因此选项A，B，D都可能． 3．若直线3x－4y＋a＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相交，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，由圆(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心(2，1)到直线3x－4y＋a＝0的距离d＝<2，解得－12<a<8. 答案：(－12，8) 4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2＋y2－2x＋2ay＋3＝0，M上存在两点关于直线x＋y＋1＝0对称． (1)求M的半径； (2)过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2，求l的方程． 解：(1)圆M：x2＋y2－2x＋2ay＋3＝0，即(x－1)2＋(y＋a)2＝a2－2(a2－2＞0)，则圆心为M(1，－a)，半径r＝，因为M上存在两点关于直线x＋y＋1＝0对称，所以点M(1，－a)在直线x＋y＋1＝0上，所以1－a＋1＝0，解得a＝2，所以M的半径r＝. (2)由(1)可得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，圆心为M(1，－2)，因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为2，所以圆心M(1，－2)到直线的距离d＝＝1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝0，此时圆心M(1，－2)到直线l的距离d＝1，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，则d＝＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.综上可得，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0. 1．已学习：直线与圆的位置关系、圆的切线问题及弦长问题． 2．须贯通：判断直线与圆的位置关系的方法有代数法与几何法，其中几何法较为简捷． 3．应注意：根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线的斜率不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $