第2章 有理数及其运算能力提升测试卷-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 2．下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 6．2，5，10，17，26， ,观察这组数的规律，横线处应该填（    ） A．28 B．31 C．37 D．43 7．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 9．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 10．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 11．若a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，则的值为（      ） A． B． C．0 D．1 12．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 14．在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 ． 15．若，，且，那么的值是 ． 16．〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 17．已知，为有理数且满足，则 ． 18．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 21．（8分）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 22．（8分）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 23．（10分）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（单位：t）（“+”表示进库，“－”表示出库）： (1)经过这7天，仓库里的货品是_________（选填“增多了”或“减少了”） (2)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这7天要付多少元装卸费？ 24．（10分）小红爸爸上星期五买进某公司股票股，每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？ (2)本周内每股最高是多少？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 25．（10分）阅读材料：求的值． 解：设将等式两边同时乘以2， 得：， 将两式作差，得：， 即， 即， 仿照此法计算： ． 运用上面的运算方法计算： ． 26．（12分）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数、倒数，先求出，再根据相反数和倒数的定义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， ∴的相反数的倒数是， 故选：A． 2．下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 【详解】解：A、，，不是相反数，故A不符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，是相反数，故C符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：C． 3．在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的判断，掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念判断即可解答，整数和分数统称有理数，无限不循环小数不是有理数． 【详解】解：，5，，是有理数，共4个． 故选：D． 4．下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义，根据绝对值的性质和相反数的定义，有理数的乘方的定义对各选项进行计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A.，，两组值不相等； B. ，，两组值不相等； C. ，，两组值相等； D.，两组值不相等； 故选C． 5．若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，利用绝对值的定义确定、的取值，再计算的值． 【详解】，， ，， ， ， ，， 或6， 故选：D． 6．2，5，10，17，26， ,观察这组数的规律，横线处应该填（    ） A．28 B．31 C．37 D．43 【答案】C 【分析】本题考查数字之间的变化规律，先根据给出的数字找到规律，再根据规律求解即可． 【详解】解：，，，，， 接下来的数为， 故选：C． 7．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案．正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】根据数轴可知：，，则： 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断正确，符合题意； 故选：． 8．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 9．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 10．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，先根据同底数幂乘法的逆用化为，然后根据积的乘方的逆用得，最后利用乘法运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 11．若a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，则的值为（      ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，可得，则，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值是解题的关键． 12．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，， ，每三个一循环，根据即可得出结果． 【详解】解：，，，， 这列数是，，，，， ，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 2． 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 14．在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题关键． 根据C地海拔＝B地海拔，其中B地海拔＝A地海拔． 【详解】解： ＝﹣18+15， ， 则C地的海拔为； 故答案为：． 15．若，，且，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 则或， 故答案为：或． 16．〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 【答案】 【分析】本题考查小数的运算，先将三个数分别求出结果，然后再进行计算，即可求得这三个数的和是多少，依此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：. 17．已知，为有理数且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得，代入计算即可． 本题考查了绝对值，有理数的乘方，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故． 故答案为：． 18．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积是解题关键． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方和化简绝对值，再算有理数的加减混合运算： （2）先算乘方，再算有理数的乘除，最后运算有理数的加减混合运算． 本题考查了含有理数的混合运算、化简绝对值，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（8分）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的意义，数轴的概念，关键是掌握有理数的大小比较方法，绝对值的意义，数轴的三要素． （1）由数轴可知，，，再比较大小即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，，再取绝对值符号合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， 故答案为： （2）解：由数轴可知，，， ，，， ． 21．（8分）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)这30筐白菜总计超过6千克． (2)出售这30筐白菜可卖约元． 【分析】此题考查了正、负数的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）分别用与标准质量的差值乘以筐数，然后求和即可； （2）根据总价=单价×数量即可． 【详解】（1）解： （千克）， ∴这30筐白菜总计超过6千克． （2）解：（元） 答：出售这30筐白菜可卖约元． 22．（8分）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 23．（10分）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（单位：t）（“+”表示进库，“－”表示出库）： (1)经过这7天，仓库里的货品是_________（选填“增多了”或“减少了”） (2)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这7天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2) (3)910元 【分析】本题主要考查了有理数加法和有理数减法以及有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． （1）把所给的记录相加，如果结果为正，那么增多了， 如果结果为负，那么减少了； （2）用570减去（1）中计算的结果即可得到答案； （3）算出进出货装卸的总吨数，然后用装卸单价乘以总吨数即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴经过这7天，仓库里的货品是减少了， 故答案为：减少了； （2）解：吨， ∴7天前仓库里有货品吨； （3）解：， 元， ∴这7天要付910元装卸费． 24．（10分）小红爸爸上星期五买进某公司股票股，每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？ (2)本周内每股最高是多少？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 【答案】(1)元； (2)每股最高是元，每股最低元； (3)亏损元． 【分析】（）根据表格中的数据列式计算即可求解； （）求出每天的股价，进而即可判断求解； （）分别求出购进股票的费用和卖出股票的收入即可判断求解； 本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：星期三收盘时，每股是元； （2）解：星期一的股价：元； 星期二的股价：元； 星期三的股价：元； 星期四的股价：元； 星期五的股价：元； ∴本周内每股最高是元，每股最低元； （3）解：购进股票的费用为：元， 卖出股票的收入为：元， ∵， ∴亏损元． 25．（10分）阅读材料：求的值． 解：设将等式两边同时乘以2， 得：， 将两式作差，得：， 即， 即， 仿照此法计算： ． 运用上面的运算方法计算： ． 【答案】；． 【分析】本题考查有理数的乘方，设，将等式两边同时乘以2得到另一等式，两式相减即可得到的值；设，两边同时乘以3得另一等式，两式相减即可得到2倍的的值，进而得出答案． 【详解】解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得：，即， 则； 设①， 两边同时乘以3得：②， 得：，即 即． 故答案为：，． 26．（12分）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$