第2章 有理数及其运算过关测试卷-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

第2章 有理数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D．6 2．据教育部统计，届全国普通高校毕业生规模预计达万人．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中结果最小的是（    ） A． B． C． D． 4．化简（    ） A．3 B． C． D． 5．如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果等于（   ） A．2 B． C．8 D． 7．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 8．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（　　） A．整数包括正整数、负整数 B．分数包括正分数、负分数和0 C．有理数中不是负数就是正数 D．有理数包括整数和分数 10．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 11．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 12．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为，买文具支付8元则记为 ． 14．把202300精确到万位是 ． 15．已知，且，且的值等于 ． 16．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 17．在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 18．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）将下列各数的序号填在相应的集合里． ， ， ， ， ， 正分数集合： ；   负整数集合： ； 自然数集合： ． 20．（6分）把下列数在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． ， 3 ，0， ，，+1 21．（9分）计算： (1)； (2)； (3) ． 22．（12分）计算： (1)； (2)． (3)； (4). 23．（8分）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以1.5元/的价格购进脐橙，又按3.5元/出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 24．（10分）某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 25．（10分）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1) ________； (2)找出所有符合条件的整数x，使得； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (4)若时，求x的值． 26．（11分）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：的相反数是6， 故选：D． 2．据教育部统计，届全国普通高校毕业生规模预计达万人．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：万， 故选：． 3．下列各式中结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、有理数的大小比较，熟练掌握绝对值、相反数、有理数的大小关系是解决本题的关键． 根据绝对值、相反数、有理数的大小关系解决此题． 【详解】解： 根据有理数的大小关系， ， 最小的数为， 故选：C． 4．化简（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，根据绝对值定义直接求绝对值即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解∶∵零上记作， ∴零下记作， 故选∶ A． 6．计算的结果等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 依据有理数的加法法则计算即可. 【详解】解：． 故选：A 7．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 8．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，由数轴判断出有理数的符号和绝对值的大小是解题的关键． 观察数轴可知，，且，利用加法法则依次对选项进行判断即可得出结果． 【详解】解：由在数轴上的位置可知，，且， A、， ，故选项不符合题意； B、，且， ，故选项不符合题意； C、，且， ，故选项不符合题意； D、， ， ，故选项不符合题意； 故选：D． 9．下列说法正确的是（　　） A．整数包括正整数、负整数 B．分数包括正分数、负分数和0 C．有理数中不是负数就是正数 D．有理数包括整数和分数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数、分数、有理数的概念，逐一判断即可． 【详解】解：整数包括正整数、负整数和零，故A说法错误，不符合题意； 0不是分数，故B说法错误，不符合题意； 有理数不是负数，可能是正数也可能是0，故C说法错误，不符合题意； 整数和分数统称有理数，故D说法正确，符合题意． 故选：D． 10．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：，， 原式． 故选：C． 11．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据八进制换算成十进制的方法即可作答． 【详解】解：由题意可知，八进制数2024换算成十进制数是， 故选：A 12．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为，买文具支付8元则记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的定义，根据正数和负数的定义进行计算．掌握正数和负数的定义是关键． 【详解】解：收到16元记为， 支付8元则记为． 故答案为：． 14．把202300精确到万位是 ． 【答案】200000 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 把千位上的数字2进行四舍五入即可． 【详解】把202300精确到万位是200000． 故答案为：200000． 15．已知，且，且的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵ ∴或；或， 又∵， ∴当，时，， 当，时， 故答案为：或． 16．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 17．在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，依照题目给出的范例，正确理解“”是计算关键，“”是阶乘的符号，“”表示从1到n的n个连续自然数的乘积．此题先用自定义变成常规式子，再按照运算顺序计算． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 18．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    【答案】 【分析】首先根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）将下列各数的序号填在相应的集合里． ， ， ， ， ， 正分数集合： ；   负整数集合： ； 自然数集合： ． 【答案】，；；， 【分析】本题考查了正分数、负整数、自然数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、负整数、自然数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，， 则正分数集合：，；   负整数集合：； 自然数集合：，； 故答案为：，；；，． 20．（6分）把下列数在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． ， 3 ，0， ，，+1 【答案】数轴见详解， 【分析】根据题意，将各数表示在数轴上，然后根据数轴右边的数大于左边的数，用“”将它们连接起来即可求解．本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ． 21．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 22．（12分）计算： (1)； (2)． (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数加法运算律、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）运用加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法结合律进行简便运算即可； （3）运用乘法分配律进行简便运算即可； （4）运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 23．（8分）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以1.5元/的价格购进脐橙，又按3.5元/出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 【答案】(1)607 (2)30 (3)2840元 【分析】本题考查正负数的实际应用，（1）根据题意，把前三天的销售量相加即可； （2）由表格可得销售量最多的一天是星期六，销售量最少的一天是星期日，再利用这两天与计划量的差值相减即可求解； （3）先根据表格求得本周的销售量，再乘以每千克的利润求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：607； （2）解：由题意得，， 故答案为：30； （3）解：由题意得， （元） 答：电商本周一共赚了2840元． 24．（10分）某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 【答案】(1)应付车费元 (2)王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据小明家到外婆家，相距（不足1千米按1千米计算）千米，结合表格中的相关数据列式计算即可； （2）分两种情况：从学校到教育局，然后再从教育局到学校，按照单程计算出需要的花费；按照往返计算出需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：应付车费元； （2）解：按照单程： （元）， 按照往返： （元）， ， 答：王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元。 25．（10分）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1) ________； (2)找出所有符合条件的整数x，使得； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (4)若时，求x的值． 【答案】(1)10 (2) (3)最小值为3 (4)或7 【分析】本题考查数轴和绝对值．理解并灵活运用“两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离”是解题的关键． （1）表示7与-3的两点之间的距离，据此解答即可； （2）根据表示x与-4的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5可知，x表示的点位于-4表示的点与1表示的点之间，据此作答即可； （3）根据表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示的点位于3表示的点与6表示的点之间时，有最小值，最小值为3表示的点与6表示的点之间的距离； （4）根据两点间的距离求解即可． 【详解】（1）∵表示7与的两点之间的距离， ∴． 故答案为：10； （2）∵的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5． ∴（x为整数）， ∴． （3）对于任何有理数x，有最小值． ∵的意义是：表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和． ∴当时，取最小值，最小值为3． （4）的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和是9， ∵， ， ， ∴x的值为或7． 26．（11分）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 【答案】(1)30，，36 (2)6或 (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36． （2）点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或． 解法2 设点C表示的数为，点表示的数为30，点表示的数为， 当点在点的右侧时，则，， ， ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则，， ， ∴， 解得； 故点在数轴上表示的数为6或． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$