专题01 一元二次方程（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（2023秋•贵阳期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．x+xy+1＝0 C．3x+2＝0 D．x2+2x＝1 2．（2023秋•南明区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+y＝0 B．x3﹣2x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．＝1 3．（2023秋•云岩区校级期中）若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 4．（2023秋•红花岗区期中）已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2或3 C．2或﹣3 D．﹣3 一元二次方程的一般形式 1．（2023秋•贵阳期中）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，﹣2，1 C．0，﹣2，﹣1 D．0，﹣2，1 2．（2023秋•水城区期中）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2 一元二次方程根的判别式 1．（2023秋•南明区期中）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2023秋•贵阳期中）已知关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 3．（2023秋•红花岗区期中）下面的四组值中，能使关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根是（　　） A．b＝2，c＝1 B．b＝3，c＝3 C．b＝2，c＝2 D．b＝3，c＝﹣1 4．（2023秋•观山湖区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 5．（2023秋•六盘水期中）对于实数a，b定义新运算：a⊗b＝ab2﹣b，若关于x的方程1⊗x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k＞﹣ B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 6．（2023秋•钟山区期中）新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：＝0 根的情况 　 　． 解一元二次方程 1．（2023秋•花溪区期中）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5 2．（2023秋•绥阳县期中）方程（x+1）2＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根 3．（2023秋•六盘水期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 4．（2023秋•观山湖区校级期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．15 B．7 C．﹣1 D．1 5．（2023秋•盘州市期中）方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 6．（2023秋•绥阳县期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的过程如下． 解：2x2﹣8x＝﹣3．① x2﹣4x＝﹣3．② x2﹣4x+4＝﹣3+4．③ （x﹣2）2＝1．④ x﹣2＝±1．⑤ ∴x1＝3，x2＝1．⑥ （1）上述解方程的过程中，小明从第 　 步开始出现了错误；（填序号） （2）请利用配方法正确的解方程2x2﹣8x+3＝0． 7．（2023秋•南明区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣1＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 8．（2023秋•黔东南州期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）2x2+3x＝1． 9．（2023秋•贵阳期中）解方程： （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）x2﹣2x﹣8＝0； （3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）． 10．（2023秋•钟山区期中）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题2（x+3）2＝x（x+3），小明同学的做法如下： 解：2（x+3）2＝x（x+3） 2（x+3）＝x…第一步 2x+6＝x…第二步 2x﹣x＝﹣6…第三步 x＝﹣6…第四步 （1）上面的运算过程中从第 　 　步开始出现了错误； （2）请写出正确的解题过程． 由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2023秋•六盘水期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210 2．（2023秋•红花岗区校级期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 3．（2023秋•盘州市期中）如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600 4．（2023秋•南明区期中）2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”，该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份全县接待游客42万人次，7月份接待游客人数达到133.91万人次．设这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．42（1﹣x）2＝133.91 B．42（1+x）2＝133.91 C．133.91（1﹣x）2＝42 D．133.91（1+x）2＝42 5．（2023秋•贵阳期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x+1）＝210 D．x（x﹣1）＝210 利用一元二次方程的解求字母或式子 1．（2023秋•红花岗区期中）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．（2023秋•绥阳县期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　 　． 3．（2023秋•贵阳期中）已知n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，代数式n（n﹣1）+2的值是 　 　． 4．（2023秋•黔东南州期中）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则﹣a2﹣2a的值是 　 　． 5．（2023秋•黔东南州期中）如果关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中a﹣b+c＝0，那么方程必有一个根是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 6．（2023秋•钟山区期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 根与系数的关系及其求值 1．（2023秋•红花岗区期中）已知x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根，则x1•x2的值是 　 ． 2．（2023秋•黔东南州期中）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（　　） A．a＝﹣3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．，b＝﹣1 D．，b＝1 3．（2023秋•黔东南州期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则的值为 　 　． 4．（2023秋•绥阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值． 5．（2023秋•钟山区期中）已知：关于x的方程x2+kx﹣1＝0， （1）求证：无论k为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）若k＝2，且方程的两个根分别是α与β，求的值． 6．（2023秋•红花岗区期中）【概念理解】如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1．则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）【初步运用】解方程x2﹣5x+6＝0，并判断此方程是否是邻根方程； （2）【能力提升】关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0 （m是常数）是邻根方程，求m的值． 一元二次方程的实际应用 1．（2023秋•红花岗区期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 2．（2023秋•思南县校级期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 3．（2023秋•绥阳县期中）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为 　 　元，平均每天的销售量为 　 　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 4．（2023秋•贵阳期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件． （1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 　 　件（用含x的代数式表示）； （2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ 5．（2023秋•南明区期中）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套． （1）当每套徽章盈利38元时，每天可多销售多少套？ （2）商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 6．（2023秋•南明区期中）如图所示，某农业大学科技园建立了一个矩形饲养室ABCD，饲养室的一面靠墙，墙长为15m，另外三边用长为32m的栅栏围成．若要使饲养室的面积达到120m2．请问，AB的长应是多少m？ 7．（2023秋•碧江区 校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 　　 40 销售量（件） 200 　 　 　 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 8．（2023秋•观山湖区校级期中）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为a m． （1）设AD边的长为x m，则AB边的长为 　 　，矩形仓库的面积为 　 　；（用含x的代数式表示） （2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长； （3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由． 配方法的实际应用 1．（2023秋•花溪区期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 2．（2023春•石阡县期中）多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　 ． 3．（2023秋•贵阳期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求x2﹣12x+37的最小值； 解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1； 因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0； 所以（x﹣6）2+1≥1； 所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空： x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+　 　＝（x﹣　 　）2+2； （2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值； （3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（2023秋•贵阳期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．x+xy+1＝0 C．3x+2＝0 D．x2+2x＝1 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2023秋•南明区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+y＝0 B．x3﹣2x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．＝1 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：x2﹣2x+y＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项A不符合题意； x3﹣2x+1＝0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故选项C符合题意； ＝1是分式方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2023秋•云岩区校级期中）若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2，且m+2≠0， 解得：m＝2， 故选：B． 4．（2023秋•红花岗区期中）已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2或3 C．2或﹣3 D．﹣3 【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4解方程可得m的值，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4， 得（m﹣2）×1+m2＝4， 整理，得m2+m﹣6＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣3， ∵（m﹣2）x2+m2＝4是一元二次方程， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣3， 故选：D． 一元二次方程的一般形式 1．（2023秋•贵阳期中）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，﹣2，1 C．0，﹣2，﹣1 D．0，﹣2，1 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【解答】解：方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、﹣2、1． 故选：B． 2．（2023秋•水城区期中）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定二次项系数和一次项系数． 【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化为一般形式为：3x2﹣4x﹣2＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4． 故选：C． 一元二次方程根的判别式 1．（2023秋•南明区期中）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×（﹣2）＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2．（2023秋•贵阳期中）已知关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，求出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×m＝0， 解得：m＝9， 故选：C． 3．（2023秋•红花岗区期中）下面的四组值中，能使关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根是（　　） A．b＝2，c＝1 B．b＝3，c＝3 C．b＝2，c＝2 D．b＝3，c＝﹣1 【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，据此即可判断． 【解答】解：∵这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， ∵a＝1， ∴b2＞4c， 故A、B、C不合题意，D符合题意． 故选：D． 4．（2023秋•观山湖区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， 即：9+4k≥0， 解得：k≥﹣， ∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0， 则k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选：D． 5．（2023秋•六盘水期中）对于实数a，b定义新运算：a⊗b＝ab2﹣b，若关于x的方程1⊗x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k＞﹣ B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 【分析】先利用新定义得到x2﹣x＝k，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，再解不等式即可． 【解答】解：∵1⊗x＝k， ∴x2﹣x＝k， 方程化为一般式为x2﹣x﹣k＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0， 解得k＞﹣． 故选：A． 6．（2023秋•钟山区期中）新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：＝0 根的情况 　没有实数根　． 【分析】先根据新概念，把关于x的二阶行列式化成一元二次方程，利用根的判别式判定方程根的情况即可． 【解答】解：∵＝ad﹣bc， ∴＝0， 2（x﹣9）﹣x（x﹣2）＝0， 2x﹣18﹣x2+2x＝0， ﹣x2+4x﹣18＝0， x2﹣4x+18＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝8， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴方程没有实数根， 故答案为：没有实数根． 解一元二次方程 1．（2023秋•花溪区期中）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5 【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣6）2＝25， x﹣6＝5或x﹣6＝﹣5， 故选：A． 2．（2023秋•绥阳县期中）方程（x+1）2＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：由于（x+1）2＝0， ∴x+1＝0， ∴x1＝x2＝﹣1 故选：B． 3．（2023秋•六盘水期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 4．（2023秋•观山湖区校级期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．15 B．7 C．﹣1 D．1 【分析】先配方，确定a、b，再计算a+b的值得结论． 【解答】解：x2﹣8x+5＝0， 移项，得x2﹣8x＝﹣5， 配方，得x2﹣8x+16＝﹣5+16， ∴（x﹣4）2＝11． ∴a＝﹣4，b＝11． ∴a+b＝﹣4+11＝7． 故选：B． 5．（2023秋•盘州市期中）方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【分析】先利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故选：C． 6．（2023秋•绥阳县期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的过程如下． 解：2x2﹣8x＝﹣3．① x2﹣4x＝﹣3．② x2﹣4x+4＝﹣3+4．③ （x﹣2）2＝1．④ x﹣2＝±1．⑤ ∴x1＝3，x2＝1．⑥ （1）上述解方程的过程中，小明从第 　②　步开始出现了错误；（填序号） （2）请利用配方法正确的解方程2x2﹣8x+3＝0． 【分析】（1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）上述过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）2x2﹣8x+3＝0， 移项，得2x2﹣8x＝﹣3， x2﹣4x＝﹣， 配方，得x2﹣4x+4＝﹣+4，即（x﹣2）2＝， x﹣2＝±， x1＝2+，x2＝2﹣． 7．（2023秋•南明区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣1＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）利用平方差公式分解因式解方程； （2）利用公式法解方程； 【解答】解：（1）x2﹣1＝0； （x﹣1）（x+1）＝0． ∴x1＝1，x2＝﹣1； （2）x2﹣3x+1＝0． ∵a＝1，b＝﹣3，c＝1 Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ． 8．（2023秋•黔东南州期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）2x2+3x＝1． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣15＝0， ∴（x+3）（x﹣5）＝0， 则x+2＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣3； （2）2x2+3x＝1 移项得2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1， Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，， ． 9．（2023秋•贵阳期中）解方程： （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）x2﹣2x﹣8＝0； （3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解可得． （3）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣36＝0， 因式分解，得（x﹣5﹣6）（x﹣5+6）＝0， ∴x﹣5﹣6＝0或x﹣5+6＝0， 所以x1＝11，x2＝﹣1； （2）x2﹣2x﹣8＝0， 因式分解，得（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣2； （3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）， 移项，得（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0， 因式分解，得（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝3． 10．（2023秋•钟山区期中）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题2（x+3）2＝x（x+3），小明同学的做法如下： 解：2（x+3）2＝x（x+3） 2（x+3）＝x…第一步 2x+6＝x…第二步 2x﹣x＝﹣6…第三步 x＝﹣6…第四步 （1）上面的运算过程中从第 　一　步开始出现了错误； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）当x+3＝0时，方程两边不能同时除以（x+3）； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）∵当x+3＝0时，方程两边不能同时除以（x+3）， ∴上面的运算过程中从第一步开始出现了错误； 故答案为：一； （2）2（x+3）2＝x（x+3）， 移项得：2（x+3）2﹣x（x+3）＝0， 因式分解得：（x+3）（2x+6﹣x）＝0， ∴x+3＝0或2x+6﹣x＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣6． 由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2023秋•六盘水期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210 【分析】根据”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“可得出相应的方程． 【解答】解：根据题意得： 3（x﹣1）x＝6210． 故选：D． 2．（2023秋•红花岗区校级期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设剪去的小正方形边长是x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm， 依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32． 故选：D． 3．（2023秋•盘州市期中）如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米， ∴可列方程为（32﹣2x）（20﹣x）＝600， 故选：C． 4．（2023秋•南明区期中）2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”，该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份全县接待游客42万人次，7月份接待游客人数达到133.91万人次．设这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．42（1﹣x）2＝133.91 B．42（1+x）2＝133.91 C．133.91（1﹣x）2＝42 D．133.91（1+x）2＝42 【分析】利用7月份接待游客人数＝5月份接待游客人数×（1+这两个月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得42（1+x）2＝133.91， 故选：B． 5．（2023秋•贵阳期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x+1）＝210 D．x（x﹣1）＝210 【分析】若全组有x名同学，根据生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，可列方程求解． 【解答】解：设全组有x名同学，每位同学将送出x﹣1件， ∴x（x﹣1）＝210， 故选：B． 利用一元二次方程的解求字母或式子 1．（2023秋•红花岗区期中）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】将x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0得到关于m的方程求解即可． 【解答】解：将x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0，得 4﹣2m+5＝0， 解得：m＝． 故选：C． 2．（2023秋•绥阳县期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　﹣1　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0， ∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， ∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0， ∴m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故答案为：﹣1． 3．（2023秋•贵阳期中）已知n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，代数式n（n﹣1）+2的值是 　3　． 【分析】把x＝n代入一元二次方程得到n2﹣5n+4＝0，然后利用代数式变形可得到代数式n2﹣5n的值． 【解答】解：∵n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴n2﹣n﹣1＝0， ∴n2﹣n＝1， ∴n（n﹣1）+2＝n2﹣n+2＝1+2＝3， 故答案为：3． 4．（2023秋•黔东南州期中）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则﹣a2﹣2a的值是 　﹣3　． 【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入﹣a2﹣2a，即可得出答案． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根， ∴a2+2a﹣3＝0， ∴a2+2a＝3， ∴﹣a2﹣2a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 5．（2023秋•黔东南州期中）如果关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中a﹣b+c＝0，那么方程必有一个根是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据题意知，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，由此可以判定x＝﹣1是原方程的一个根． 【解答】解：∵a﹣b+c＝0，且当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1是原方程的一个根． 故选：B． 6．（2023秋•钟山区期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】根据表格数据即可求解． 【解答】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 根与系数的关系及其求值 1．（2023秋•红花岗区期中）已知x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根，则x1•x2的值是 　﹣4　． 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：∵x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根， ∴x1•x2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 2．（2023秋•黔东南州期中）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（　　） A．a＝﹣3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．，b＝﹣1 D．，b＝1 【分析】先根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，而x1+x2＝3，x1x2＝1，那么﹣2a＝3，b＝1，解即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b， ∵x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴﹣2a＝3，b＝1， 即a＝﹣，b＝1， 故选：D． 3．（2023秋•黔东南州期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则的值为 　﹣2　． 【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝2，mn＝﹣1，将其代入＝中，即可求出结论． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝2，mn＝﹣1， ∴＝＝＝﹣2． 故答案为：﹣2． 4．（2023秋•绥阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值． 【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝m2+4，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，由于x1+x2+2x1x2＝1，所以﹣（m+2）+2m＝1，然后解关于m的方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m ＝m2+4m+4﹣4m ＝m2+4＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m， ∵x1+x2+2x1x2＝1， ∴﹣（m+2）+2m＝1， 解得m＝3， 即m的值为3． 5．（2023秋•钟山区期中）已知：关于x的方程x2+kx﹣1＝0， （1）求证：无论k为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）若k＝2，且方程的两个根分别是α与β，求的值． 【分析】（1）根据根的判别式＞0，即可得证； （2）根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2，αβ＝﹣1，化简所求式并代入可解答． 【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0， ∴无论k为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）解：当k＝2时，方程为：x2+2x﹣1＝0， ∵方程x2+2x﹣1＝0的两个根分别是α与β， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣1， ∴+＝＝＝2． 6．（2023秋•红花岗区期中）【概念理解】如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1．则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）【初步运用】解方程x2﹣5x+6＝0，并判断此方程是否是邻根方程； （2）【能力提升】关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0 （m是常数）是邻根方程，求m的值． 【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝3，再根据“邻根方程”的定义得到m﹣3＝1或3﹣m＝1，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0得x1＝3，x2＝2， ∵3比2大1， ∴方程是“邻根方程”； （2）∵x2﹣（m+3）x+3m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣3）＝0， ∴x﹣m＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝m，x2＝3， ∵方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴3﹣m＝1或m﹣3＝1． 解得m＝2或4． 一元二次方程的实际应用 1．（2023秋•红花岗区期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 2．（2023秋•思南县校级期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）件；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x）件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 3．（2023秋•绥阳县期中）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为 　（40﹣x）　元，平均每天的销售量为 　（20+2x）　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价x元，即可得出降价后每件玩具的利润及销量； （2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：（1）∵每件玩具降价x元， ∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件． 故答案为：（40﹣x）；（20+2x）． （2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴x＝20． 答：每件玩具应降价20元． 4．（2023秋•贵阳期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件． （1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 　（80+40x）　件（用含x的代数式表示）； （2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？ 【分析】（1）利用商店每天的平均销售量＝80+20×每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品的定价为a元，则每件商品的销售利润为（a﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40a）件，利用总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）（80+40x）件． 故答案为：（80+40x）． （2）设每件商品的定价为a元，则每件商品的销售利润为（a﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40a）件， 依题意得：（a﹣15）（1080﹣40a）＝1280， 解得：a1＝19，a2＝23． 当a1＝23时，1080﹣40×23＝160＜200舍去， 答：每件商品的定价应为19元． 5．（2023秋•南明区期中）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套． （1）当每套徽章盈利38元时，每天可多销售多少套？ （2）商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？ 【分析】（1）根据销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．列式计算即可； （2）设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元，根据盈利＝每件盈利×销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）（40﹣38）×2＝4（套）， 答：当每套徽章盈利38元时，每天可多销售4套； （2）设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得：x1＝20，x2＝10（不符合题意，舍去）， 答：每套吉祥物徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元． 6．（2023秋•南明区期中）如图所示，某农业大学科技园建立了一个矩形饲养室ABCD，饲养室的一面靠墙，墙长为15m，另外三边用长为32m的栅栏围成．若要使饲养室的面积达到120m2．请问，AB的长应是多少m？ 【分析】设AB的长应是x m，则BC的长为（32﹣2x）m，根据饲养室的面积达到120m2．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设AB的长应是x m，则BC的长为（32﹣2x）m， 根据题意得：x（32﹣2x）＝120， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， 当AB＝6时，BC＝32﹣2×6＝20＞15，不符合题意，舍去； 当AB＝10时，BC＝32﹣2×10＝12＜15，符合题意； 答：AB的长应是为10m． 7．（2023秋•碧江区 校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 　80﹣x　 40 销售量（件） 200 　200+20x　 　400﹣20x　 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可； （2）利用“获利12000元”，即销售额﹣进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍． 【解答】解：（1）由题意可得： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 80﹣x 40 销售量（件） 200 200+20x 400﹣20x 故答案为：80﹣x，200+20x，400﹣20x； （2）根据题意，得 80×200+（80﹣x）（200+20x）+40（400﹣20x）﹣50×800＝12000 整理得10x2﹣300x+200＝0， 即x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， x＝20时，400﹣20x＝0， 故当x＝10， 答：第二个月的单价应是70元． 8．（2023秋•观山湖区校级期中）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为a m． （1）设AD边的长为x m，则AB边的长为 　（60﹣3x）m　，矩形仓库的面积为 　x（60﹣3x）m2　；（用含x的代数式表示） （2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长； （3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由． 【分析】（1）根据图形可表示出AB的长，由矩形面积公式可表示出仓库面积； （2）由围成总面积为225m的仓库可解得x的值，再检验即可得到答案； （3）根据围成总面积为400m2的仓库列方程，判断方程解的情况即可． 【解答】解：（1）根据题意得：3x+AB＝60， ∴AB＝（60﹣3x）m， 矩形仓库的面积为x（60﹣3x）m2； 故答案为：（60﹣3x）m，x（60﹣3x）m2； （2）若a＝50，能围成总面积为225m的仓库，理由如下： 根据题意得：x（60﹣3x）＝225， 解得x＝5或x＝15， 当x＝5时，60﹣3x＝60﹣3×5＝45＜50， 当x＝15时，60﹣3x＝60﹣3×15＝15＜50， ∴AB的长为45m或15m； （3）不能围成总面积为400m2的仓库，理由如下： 根据题意得：x（60﹣3x）＝400， 整理得：3x2﹣60x+400＝0， Δ＝（﹣60）2﹣4×3×400＝﹣1200＜0， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为400m2的仓库． 配方法的实际应用 1．（2023秋•花溪区期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【分析】由于2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“则先将（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0变形为（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，由于2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“则2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，所以2a+b＝0，6﹣a＝1，可得a＝5，b＝﹣10，然后代入﹣ax2+bx+2019即可解决． 【解答】解：由（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0， ∴（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0， 即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0， ∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“， ∴2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”， ∴2a+b＝0，6﹣a＝1， 解得：a＝5，b＝﹣10， 则﹣ax2+bx+2019 ＝﹣5x2﹣10x+2019 ＝﹣5（x2﹣2x+1）+5+2019 ＝﹣5（x﹣1）2+2024≤2024， 当x＝1时，﹣ax2+bx+2019取最大值2024， 故选：A． 2．（2023春•石阡县期中）多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　18　． 【分析】先配方，再利用平方的非负性解决问题． 【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣6b+9+18 ＝（a﹣b）2+（b﹣3）2+18 ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣3）2≥0． ∴原式≥0+0+18． ∴原式≥18． 故答案为：18． 3．（2023秋•贵阳期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求x2﹣12x+37的最小值； 解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1； 因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0； 所以（x﹣6）2+1≥1； 所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空： x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+　2　＝（x﹣　4　）2+2； （2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值； （3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，进而分析计算可以得解； （2）依据题意，由配方法进行变形即可得解； （3）依据题意，分别求出S1与S2，然后作差即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+2＝（x﹣4）2+2． 故答案为：2；4． （2）由题意得，x2+16x﹣5＝x2+16x+64﹣69＝（x+8）2﹣69． ∵（x+8）2≥0， ∴（x+8）2﹣69≥﹣69． ∴x2+16x﹣5≥﹣69． ∴x2+16x﹣5的最小值为﹣69． （3）由题意得，S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+4a+15a+10＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a， ∴S1﹣S2＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1． ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1≥1＞0． ∴S1﹣S2＞0． ∴S1＞S2． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$