专题02 二次函数（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题02 二次函数 二次函数的定义及其三种形式 1．（2023秋•从江县校级期中）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3 2．（2023秋•花溪区校级期中）函数的图象是抛物线，则m＝　 　． 3．（2023秋•花溪区校级期中）将二次函数y＝x2﹣8x+6化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+4）2﹣10 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x﹣4）2+6 D．y＝（x﹣4）2﹣10 二次函数的图像与性质 1．（2023秋•黔东南州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣1的图象开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（2023秋•从江县校级期中）函数y＝ax2+c与y＝ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•绥阳县期中）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 4．（2023秋•从江县校级期中）抛物线y＝2x2﹣4x+5的顶点坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 5．（2023秋•花溪区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 6．（2023秋•从江县校级期中）对于二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x≥2时，y随x增大而减小 7．（2023秋•花溪区校级期中）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2 二次函数的几何变换 1．（2023秋•红花岗区期中）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　） A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1 2．（2023秋•绥阳县期中）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（　　） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 3．（2023秋•从江县校级期中）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2 4．（2023秋•花溪区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为 　． 5．（2023秋•黔东南州期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+1经过点（2，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点（0，0），求n的值． 待定系数法求函数解析式 1．（2023秋•花溪区校级期中）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3）， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 2．（2023秋•绥阳县期中）二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣3 m ﹣3 … （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标为 　 　，当x＞1时，y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）； （3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围． 二次函数与坐标轴交点问题 1．（2023秋•黔东南州期中）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023秋•花溪区校级期中）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞1且m≠0 D．m＜1且m≠0 3．（2023秋•绥阳县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2 4．（2023秋•花溪区校级期中）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 5．（2023秋•从江县校级期中）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6.16＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 6．（2023秋•黔东南州期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 7．（2023秋•盘州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形AOBC的周长为a，则△ABC的周长为 　 　（用含a的代数式表示）． 8．（2023秋•花溪区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线BC的函数关系式； （3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标． 二次函数图像与系数的关系 1（ac，b）所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•绥阳县期中）已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤3 D．m＞﹣1 3．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤ 4．（2023•南明区校级模拟）函数与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝﹣1；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023•红花岗区校级四模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二次函数图像上的点的特征 1．（2023秋•盘州市期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x1＞x2＞1，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2 2．（2023秋•从江县校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 3．（2023秋•黔东南州期中）在平面直角坐标系中有E、F、G、H四个点，其中恰好有三个点在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是（　　） A．E、F、G B．E、F、H C．E、G、H D．F、G、H 二次函数的最值 1．（2023秋•红花岗区校级月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（　　） A．﹣1和6 B．2和6 C．﹣1和3 D．2和3 2．（2023秋•从江县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　） A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm 3．（2023•红花岗区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 　 　． 4．（2023秋•从江县校级期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5）． （1）求b，c的值； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值； （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请直接写出m的值． 5．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差； （3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值． 二次函数的应用 1．（2023秋•红花岗区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（　　） A．m B．2m C．2m D．2m 2．（2023秋•从江县校级期中）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（　　） A．21元 B．22元 C．23元 D．24元 3．（2023秋•从江县校级期中）如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为 　 　m2． 4．（2023秋•绥阳县期中）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由． 5．（2023秋•从江县校级期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 6．（2023秋•从江县校级期中）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 二次函数的综合题 1．（2023秋•红花岗区期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y＝ax2﹣x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）如图2，两墙AB，CD的高度是 　 米，抛物线的顶点坐标为 　 　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当时，求m的取值范围． 2．（2023秋•红花岗区期中）已知抛物线C1表示的二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5． （1）抛物线C1的对称轴是 　 　，a的值是 　 　； （2）当0≤x≤t时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值； （3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线C2，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1和抛物线C2分别交于点M，N，当PM＝QN时，直接写出点P的坐标． 3．（2023秋•花溪区校级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）． （1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　； （2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值； （3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023秋•花溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 二次函数的定义及其三种形式 1．（2023秋•从江县校级期中）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3 【分析】根据二次函数的定义分别判断即可． 【解答】解：A、y＝x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意； B、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝k2x+3不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•花溪区校级期中）函数的图象是抛物线，则m＝　﹣1　． 【分析】根据二次函数的定义列式求解即可． 【解答】解：根据二次函数的定义，m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝±1且m≠1， 所以，m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 3．（2023秋•花溪区校级期中）将二次函数y＝x2﹣8x+6化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+4）2﹣10 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x﹣4）2+6 D．y＝（x﹣4）2﹣10 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣8x+6 ＝x2﹣8x+16﹣10 ＝（x﹣4）2﹣10， 故选：D． 二次函数的图像与性质 1．（2023秋•黔东南州期中）二次函数y＝x2﹣x﹣1的图象开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【分析】当a＞0时，开口向上，由此解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣1中，a＝1＞0， ∴其图象开口向上， 故选：A． 2．（2023秋•从江县校级期中）函数y＝ax2+c与y＝ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＜0，c＞0，由直线可知，a＜0，c＞0，且与抛物线交于y轴同一点，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＜0，c＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＜0，c＜0，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2023秋•绥阳县期中）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）． 故选：A． 4．（2023秋•从江县校级期中）抛物线y＝2x2﹣4x+5的顶点坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标． 【解答】解：x＝﹣＝1， 把x＝1代入得：y＝2﹣4+5＝3． 则顶点的坐标是（1，3）． 故选：A． 5．（2023秋•花溪区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， 当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3， 故选：D． 6．（2023秋•从江县校级期中）对于二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x≥2时，y随x增大而减小 【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣5）， ∴当x≥2时，y随x的增大而增大， 故选项B符合题意， 故选：B． 7．（2023秋•花溪区校级期中）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2 【分析】根据二次函数对称轴为直线x＝﹣求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x+2中a＝1，b＝2， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1． 故选：A． 二次函数的几何变换 1．（2023秋•红花岗区期中）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　） A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1 【分析】直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+1﹣2，即y＝（x﹣3）2﹣1． 故选：D． 2．（2023秋•绥阳县期中）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（　　） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【分析】二次函数图象向右平移1个单位，自变量x变为x﹣1． 【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）2的图象是由y＝﹣3x2向右平移1个单位得到的， 故选：B． 3．（2023秋•从江县校级期中）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+2）2+2； 再向下平移4个单位为：y＝（x+2）2+2﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2． 故选：D． 4．（2023秋•花溪区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为 　y＝﹣x2﹣4x+5　． 【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，即可得抛物线解析式． 【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）． 由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）． ∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）． ∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5． 故答案为：y＝﹣x2﹣4x+5． 5．（2023秋•黔东南州期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+1经过点（2，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点（0，0），求n的值． 【分析】（1）把点（2，3）代入y＝﹣x2+bx+1可求出b，从而得解； （2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点（0，0）代入可求出n的值． 【解答】解：（1）把点（2，3）代入y＝﹣x2+bx+1得：﹣4+2b+1＝3， 解得b＝3， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+1； （2）抛物线向下平移n个单位后得：y＝﹣x2+3x+1﹣n， 把点（0，0）代入y＝﹣x2+3x+1﹣n得：1﹣n＝0， 解得：n＝1， 即n的值为1． 待定系数法求函数解析式 1．（2023秋•花溪区校级期中）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3）， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程． 【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得： a＝﹣，所以抛物线的解析式为：； （2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1． 2．（2023秋•绥阳县期中）二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣3 m ﹣3 … （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标为 　（1，﹣4）　，当x＞1时，y随x的增大而 　增大　（填“增大”或“减小”）； （3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围． 【分析】（1）把表格中的（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c即可； （2）把（1）中所求的抛物线解析式化成顶点式的函数解析式，求出顶点坐标，在根据二次函数的性质，进行解答即可； （3）求出自变量x分别是﹣1和2时的函数值y，求出y的取值范围即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得： ， 解之得：， ∴该函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵该函数解析式为： y＝x2﹣2x﹣3， y＝x2﹣2x+1﹣4， y＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4）， ∵a＝1＞0， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， 故答案为：（1，﹣4），增大； （3）∵当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝﹣3，x＝1时，y＝﹣4， ∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为：﹣4＜y＜0． 二次函数与坐标轴交点问题 1．（2023秋•黔东南州期中）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】令y＝0，求一元二次方程的解可判断抛物线与x轴的交点个数． 【解答】解：令y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣4， 解得x1＝x2＝2， ∴抛物线与x轴交点为（2，0）． 故选：B． 2．（2023秋•花溪区校级期中）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m＞1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式Δ＞0可求出m的取值范围，此题得解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点， ∴方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≠0， ∴Δ＝22﹣4m＞0， ∴m＜1． ∴m＜1且m≠0． 故选：D． 3．（2023秋•绥阳县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2 【分析】根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可知， 当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2， 故选：A． 4．（2023秋•花溪区校级期中）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解． 【解答】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x+3， ∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点， ∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根， 当x＝﹣1时，y＝6； 当x＝4时，y＝11； 函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2； ∴2≤t＜11． 故选：A． 5．（2023秋•从江县校级期中）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6.16＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可． 【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19． 故选：C． 6．（2023秋•黔东南州期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得． 【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5． 故选：C． 7．（2023秋•盘州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形AOBC的周长为a，则△ABC的周长为 　a﹣4　（用含a的代数式表示）． 【分析】把求四边形AOBC的周长转化为求（△ABC的周长+OB）的值，从而可得答案． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣2，抛物线经过原点、与x轴负半轴交于点B， ∴OB＝4， ∵由抛物线的对称性知AB＝AO， ∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB＝△ABC的周长+OB＝a． ∴△ABC的周长为a﹣4； 故答案为：a﹣4． 8．（2023秋•花溪区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线BC的函数关系式； （3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标． 【分析】（1）令y＝0得﹣x2+3x+4＝0解得方程的解即为A、B两点坐标； （2）令x＝0，解得抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标，设直线BC的函数关系式y＝kx+b，解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式； （3）求得抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出PD，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标． 【解答】解：（1）由﹣x2+3x+4＝0解得x＝﹣1或x＝4， 所以A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）； （2）抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为（0，4），由（1）得，B（4，0）， 设直线BC的函数关系式y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+4； （3）抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴为x＝， 对称轴与直线BC的交点记为D，则D点坐标为（，）． ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴设点P的坐标为（，m）， ∴PD＝|m﹣|， ∴S△PBC＝OB•PD＝4． ∴×4×|m﹣|＝4， ∴m＝或m＝． ∴点P的坐标为（，）或（，）． 二次函数图像与系数的关系 1（ac，b）所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴y＝﹣＞0，且a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴点P（ac，b）在第二象限． 故选：B． 2．（2023秋•绥阳县期中）已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤3 D．m＞﹣1 【分析】根据y＝x2+（1﹣m）x+1可知a＝1＞0，则开口向上，对称轴为x＝；若x＞1时，y随x的增大而增大，所以＜1，求解即可． 【解答】解：由y＝x2+（1﹣m）x+1， ∵a＝1＞0，对称轴x＝， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴x＝≤1， 解得：m≤3， 故选：C． 3．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤ 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x＝﹣1即可得到，2a﹣b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论⑤；函数的最值即可判断结论⑥． 【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②正确； ∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线过点（1，0）， ∴a+b+c＝0，故③正确； ∴b＝2a，a+b+c＝0， ∴3a+c＝0，故④错误； ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误； ∵函数最小值为a﹣b+c， ∴当x0≠﹣1时，则ax+bx0+c＞a﹣b+c，即ax+bx0＞a﹣b， ∴一定存在实数x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立，故⑥正确； 故选：C． 4．（2023•南明区校级模拟）函数与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝﹣1；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用判别式的意义对①进行判断；利用x＝1，y＝1可对②进行判断；利用x＝3，y＝3对③进行判断；根据1＜x＜3时，x2+bx+c＜x可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴没有公共点， ∴Δ＝b2﹣4c＜0，所以①错误； ∵x＝1，y＝1， ∴1+b+c＝1， 即b+c＝0，所以②错误； ∵x＝3，y＝3， ∴9+3b+c＝3， ∴3b+c+6＝0，所以③正确； ∵1＜x＜3时，x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，所以④正确． 故选：B． 5．（2023•红花岗区校级四模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0， ∴①说法错误， ∵﹣＝1， ∴2a＝﹣b， ∴2a+b＝0， ∴②说法错误， 由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0）， ∵当x＝﹣1时，y＜0， ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∴③说法错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∴④说法正确； 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b， ∴⑤说法正确， ∴正确的为④⑤， 故选：B． 二次函数图像上的点的特征 1．（2023秋•盘州市期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x1＞x2＞1，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2 【分析】根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5的对称轴为直线x＝1， ∵a＝﹣1＜0， ∴x＜1时y随x的增大而减小， ∵x1＞x2＞1， ∴y1＜y2． 故选：D． 2．（2023秋•从江县校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点，且﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 3．（2023秋•黔东南州期中）在平面直角坐标系中有E、F、G、H四个点，其中恰好有三个点在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是（　　） A．E、F、G B．E、F、H C．E、G、H D．F、G、H 【分析】根据抛G、H的横坐标相同，可以判定G、H不会同时在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据a＜0可知抛物线开口向下，可以判定E、F、H在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上． 【解答】解：由四点的位置可知，G、H的横坐标相同，故G、H不会同时在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）， ∴抛物线开口向下， ∴在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是E、F、H， 故选：B． 二次函数的最值 1．（2023秋•红花岗区校级月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（　　） A．﹣1和6 B．2和6 C．﹣1和3 D．2和3 【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最大值4、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤4时，函数的最小值为0可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最大值0；②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值0，③若1＜h＜4，当x＝h时，y取得最大值4，不合题意；据此列出关于h的方程求解即可． 【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最大值0， 可得：﹣（1﹣h）2+4＝0， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； ②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值0， 可得：﹣（4﹣h）2+4＝0， 解得：h＝6或h＝2（舍）． ③若1＜h＜4，当x＝h时，y取得最大值4，不合题意； 综上，h的值为﹣1或6， 故选：A． 2．（2023秋•从江县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　） A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm 【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论． 【解答】解：∵AP＝CQ＝t， ∴CP＝6﹣t， ∴PQ＝＝＝， ∵0≤t≤2， ∴当t＝2时，PQ的值最小， ∴线段PQ的最小值是2， 故选：C． 3．（2023•红花岗区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 　16　． 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（8﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】提示，如图，过点P作PM⊥AD于点M． ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM． 设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x． ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝8﹣x， ∴AF＝2（8﹣x）． ∵S△APF＝AF•PM， ∴S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16， ∴当x＝4时，S△APF有最大值，且最大值为16． 故答案为：16． 4．（2023秋•从江县校级期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5）． （1）求b，c的值； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值； （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请直接写出m的值． 【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可； （2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可； （3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣2，5）代入y＝﹣x2+bx+c， 得b＝﹣6，c＝﹣3． （2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6， 又∵﹣4≤x≤0， ∴当x＝﹣3时，y有最大值为6． （3）①当﹣3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为﹣3， 当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣3m﹣3， ∴﹣m2﹣3m﹣3+（﹣3）＝2， ∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）． ∴m＝﹣2； ②当m≤﹣3时， 当x＝﹣3时y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为﹣4， ∴﹣（m+3）2+6＝﹣4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝﹣2或． 5．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差； （3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值． 【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值； （2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差； （3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值． 【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）， ∴c＝3，y＝x2+bx+3， 将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6， ∴b＝﹣6，c＝3； （2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 当0≤x≤4时， ①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6； ②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3； 3﹣（﹣6）＝9， ∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9； （3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， ①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3， 仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3； （k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4， ∵k≤3， ∴k＝4不符合题意； ②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6， 当x＝k﹣4取得最大值，即3﹣（k﹣4）≥k﹣3时，k≤5，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3， （k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8， 解得：k＝7±2， ∵3≤k≤5，7+2＞7， ∴k＝7+2不符合题意； ∴k＝7﹣2； 当x＝k取得最大值，即3﹣（k﹣4）≤k﹣3时，k≥5，此时y＝k2﹣6k+3， k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2， ∵5≤k≤7，5＜3+2＜7，3﹣2＜5， ∴k＝3+2符合题意，k＝3﹣2不符合题意， ∴k＝3+2； ③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7， 仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3； k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6， ∵k≥7， ∴k＝6不符合题意； 综上所述，k的值为7﹣2或3+2． 二次函数的应用 1．（2023秋•红花岗区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（　　） A．m B．2m C．2m D．2m 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：如图： 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， ∵若水面上升1m ∴y＝1 ∴1＝﹣0.5x2+2 ∴x＝ ∴水面宽为2m 故选：C． 2．（2023秋•从江县校级期中）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（　　） A．21元 B．22元 C．23元 D．24元 【分析】根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 【解答】解：设定价为x元，每天的销售利润为y． 根据题意得：y＝（x﹣15）[8+2（25﹣x）]＝﹣2x2+88x﹣870， ∴y＝﹣2x2+88x﹣870＝﹣2（x﹣22）2+98， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝22时，y最大值＝98． 故选：B． 3．（2023秋•从江县校级期中）如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为 　32　m2． 【分析】设与墙垂直的一边长为x m，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【解答】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m， ∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0， ∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2， 故答案为：32． 4．（2023秋•绥阳县期中）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由． 【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入解析式，解方程即可得出结论； （2）将y＝4﹣1.5代入抛物线，求出x的值，即可得出点C，D的坐标，进而求出CD的长，跟5比较即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，A（12，0），P（6，4）， 设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣6）2+4， 将A（12，0）代入y＝a（x﹣6）2+4，得0＝a（12﹣6）2+4， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4； （2）不需要采取紧急措施，理由如下： 由题意可知，点C，D的纵坐标为y＝4﹣1.5＝2.5， 将y＝2.5代入y＝﹣（x﹣6）2+4， ∴2.5＝﹣（x﹣6）2+4， 解得x＝6±， ∴CD＝6+﹣（6﹣）＝3， ∵3＞5， ∴不需要采取紧急措施． 5．（2023秋•从江县校级期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+； （2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m． 【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得： 0.7＝25a+3.2， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+， 答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+； （2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6， 解得x＝1或x＝9， ∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m）， 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m． 6．（2023秋•从江县校级期中）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”得出函数解析式并配方成顶点式，即可得函数最值； （2）根据题意得出关于x的方程，解之可得x的值，根据“销售价不高于每千克28元”取舍即可． 【解答】解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200， ∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元； （2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150， 解得：x＝35或x＝25， ∵这种产品的销售价不高于每千克28元， ∴x＝25， 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 二次函数的综合题 1．（2023秋•红花岗区期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y＝ax2﹣x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）如图2，两墙AB，CD的高度是 　3　米，抛物线的顶点坐标为 　（3，1.4）　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当时，求m的取值范围． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当x＝3时，y＝（x﹣2）2+2＝2.25，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：y＝（x﹣3﹣m）2+n，将点C的坐标代入上式得：3＝（8﹣3﹣m）2+n，得到n＝﹣m2+m﹣，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝4， 则x＝4＝﹣＝﹣， 解得：a＝0.1； 则抛物线的表达式为：y＝0.1x﹣0.8x+3， 则点A（0，3），即AB＝CD＝3（米）， 当x＝4时，y＝0.1x2﹣0.8x+3＝1.4， 即顶点坐标为：（4，1.4）， 故答案为：3，（4，1.4）； （2）设抛物线的表达式为：y＝a′（x﹣2）2+2， 将点A的坐标代入上式得：3＝a′（0﹣2）2+2， 解得：a′＝， 则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2， 当x＝3时，y＝（x﹣2）2+2＝2.25（米）， 即点M到地面的距离为2.25米； （3）由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称， 则抛物线的顶点的横坐标为：（m+8）＝4+m， 则抛物线的表达式为：y＝（x﹣4﹣m）2+n， 将点C的坐标代入上式得：3＝（8﹣4﹣m）2+n， 整理得：n＝﹣m2+m﹣； 当n＝2时，即2＝﹣m2+m﹣， 解得：m＝8﹣2（不合题意的值已舍去）； 当n＝时， 同理可得：m＝8﹣， 故m的取值范围为：8﹣2≤m≤8﹣． 2．（2023秋•红花岗区期中）已知抛物线C1表示的二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5． （1）抛物线C1的对称轴是 　直线x＝﹣1　，a的值是 　﹣1　； （2）当0≤x≤t时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值； （3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线C2，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1和抛物线C2分别交于点M，N，当PM＝QN时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即可求解； （2）当0≤x≤t时，则x＝0，y＝4＝m，x＝t，y＝﹣t2﹣2t+4＝n，进而求解； （3）求出PM＝|﹣m2﹣2m+4﹣0|＝|m2+2m﹣4|，NQ＝|﹣2m﹣4+m2﹣2m﹣2|，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax+4＝a﹣2a+4＝5， 解得：a＝﹣1， 故答案为：直线x＝﹣1，﹣1； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4， 当0≤x≤t时，则x＝0，y＝4＝m，x＝t，y＝﹣t2﹣2t+4＝n， 则m﹣n＝4﹣（﹣t2﹣2t+4）＝6， 解得：t＝﹣1+（负值已舍去）； （3）y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5， 则C2：y＝﹣（x+1﹣2）2+5﹣2＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2， 设点P（m，0），则点Q（m，﹣2m﹣4），则点M（m，﹣m2﹣2m+4）、N（m，﹣m2+2m+2）， 则PM＝|﹣m2﹣2m+4﹣0|＝|m2+2m﹣4|， 则NQ＝|﹣2m﹣4+m2﹣2m﹣2|＝|m2﹣4m﹣6|＝PM＝|m2+2m﹣4|， 解得：m＝﹣或， 即点P的坐标为：（﹣，0）或（，0）． 3．（2023秋•花溪区校级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）． （1）填空：点A的坐标为 　（1，0）　，点D的坐标为 　（2，﹣1）　，抛物线的解析式为 　y＝x2﹣4x+3　； （2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值； （3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝2求出b的值，再将点B（3，0）代入y＝x2+bx+c即可求出函数的解析式； （2）分三种情况求函数在给定范围的最小值：当m+2＜2时，（m+2）2﹣4（m+2）+3＝；当m＞2时，m2﹣4m+3＝；当0≤m≤2时，与题意不符； （3）求出AC＝，AC的中点为E（，），设P（2，t），因为△PAC是以AC为斜边的直角三角形，则PE＝AC，列出方程即可求出t的值． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+c， ∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点， ∴9﹣12+c＝0， ∴c＝3， ∴y＝x2﹣4x+3， 令y＝0，x2﹣4x+3＝0， ∴x＝3或x＝1， ∴A（1，0）， ∵D是抛物线的顶点， ∴D（2，﹣1）， 故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3； （2）当m+2＜2时，即m＜0， 此时当x＝m+2时，y有最小值， 则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝， 解得m＝， ∴m＝﹣； 当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值， 则m2﹣4m+3＝， 解得m＝或m＝， ∴m＝； 当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符； 综上所述：m的值为或﹣； （3）存在，理由如下： A（1，0），C（0，3）， ∴AC＝， 设AC的中点为E，则E（，）， 设P（2，t）， ∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形， ∴PE＝AC， ∴＝， ∴t＝2或t＝1， ∴P（2，2）或P（2，1）， ∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）． 4．（2023秋•花溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围． 【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答； （2）令y＝0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2， ∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0， 整理得，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$