专题03 实数（5种基础题型+3种提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题03 实数（5种基础题型+3种提升题型） 平方根与算术平方根 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（22-23七年级下·云南怒江·期中）的算术平方根是 ；的平方根 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为 ． 5．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知的两边满足条件，第三边上的高，则的面积为 ． 6．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 7．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则是的 倍． 8．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）已知字母a、b满足，则的值为 ． 9．（22-23七年级下·云南红河·阶段练习）阅读理解： ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 立方根 1．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 3．（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）已知的平方根是，的立方根是4，求的算术平方根． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知x为有理数，且，求的值． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 无理数与实数 1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级下·安徽·单元测试）有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数； ③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 5．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 二次根式概念 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 4．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·全国·单元测试）若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 二次根式计算 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 2．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）计算： (1)计算： (2) (3) (4) 复合二次根式化简 1．a，b为有理数，且，则 ． 2．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 分母有理化 1．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 2．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 3．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 新定义问题 1．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 2．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 3．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若（a、b为正整数） ，记．例如：，29就是一个“平方和数”，则．判断61是否是“平方和数” （填是或否）；若T是一个“平方和数”，且，T的值为 ． 4．若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数（5种基础题型+3种提升题型） 平方根与算术平方根 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的意义分别进行判断即可． 【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，说法正确；③ 的平方根记为，原说法错误； ④ 表示的平方根，说法正确．综上可知正确的是②④，共2个， 故选：B 2．（22-23七年级下·云南怒江·期中）的算术平方根是 ；的平方根 【答案】 2 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平方根和算术平方根的定义．根据算术平方根和平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是2； 的平方根； 故答案为：2，． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：． ． 故答案为：6（答案不唯一）． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性，利用非负性可得，再整体代入求值即可． 【详解】由题可知， ， 得； 故答案为：． 5．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知的两边满足条件，第三边上的高，则的面积为 ． 【答案】150 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，勾股定理的应用，利用非负数的性质先求解，，再画图，利用勾股定理求解，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， 如图，    ∵是高，，， ∴，， ∴， ∴△ABC的面积是． 故答案为：150． 6．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 7．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则是的 倍． 【答案】100 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答． 【详解】解：，， 是8.73的10倍， 是的100倍． 故答案为：100． 8．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）已知字母a、b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性求参数及裂项相消法求值，熟练掌握算术平方根的非负性及裂项相消法求值是解决问题的关键．根据算术平方根的非负性求出、，将、代入式子后，再利用裂项法对代数式进行化简，即可得解． 【详解】解： ，，， ，， 解得，， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·云南红河·阶段练习）阅读理解： ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)3；(2)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算，对于（1），根据阅读内容解答即可； 对于（2），先根据小数部分的理解求出a，b，可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）∵， ∴的小数部分为， ∴的小数部分为， ∴． ∵小数部分为， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5，，解得：． ∵的平方根是，，解得：． 是的整数部分，而，， ，的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 立方根 1．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)，；(2)8，4 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可； （2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是 ∴，，∴，； （2）解：当，时，， ∴的算术平方根为，立方根为． 3．（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）已知的平方根是，的立方根是4，求的算术平方根． 【答案】10 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，解答时需要紧扣定义即可． 本题首先根据平方根以及立方根的定义求出，，最后按照算术平方根定义求解本题． 【详解】由已知得：，，∴，， ∴，∴100的算术平方根为10， ∴的算术平方根是10． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知x为有理数，且，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．根据立方根的意义可得，从而可得：，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：， ，解得：， ， 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义求出，进而求出，再根据立方根的定义求出，然后求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：一个正数的平方根是与， ，解得， ，，， ∵的立方根是，， ， 的算术平方根． 无理数与实数 1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽·单元测试）有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，无理数，根据有理数与无理数的定义一一判断即可． 【详解】解：①是有理数， 正确， ②是分数，错误，是无理数． ③…（两个之间依次增加一个）是无理数，正确， ④是无理数，正确， 综上：①③④正确， 故选：B 3．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数； ③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的关键． 根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：，故该项不正确； ②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确； ③无理数都是无限小数，故该项正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，故该项正确； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确； 故正确的个数有2个； 故选：A 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 二次根式概念 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 先化简，再去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据数轴确定，结合，化简计算即可． 本题考查了数轴，绝对值，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选D． 4．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 5．（21-22九年级上·全国·单元测试）若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且 ∴， ∴， 故选：D． 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴代数式的值为24．故答案为：24． 二次根式计算 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的化简和二次根式的加减运算，如果被开方数中的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替移到根号外面；如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再将因式开方后移到根号外面，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面．（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先利用平方差公式进行分解，再根据二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的性质进行化简即可； （4）先根据完全平方公式对分母进行变形，再根据二次根式的性质进行化简即可； （5）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可； （6）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 2．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （3）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案； （4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）计算： (1)计算： (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式乘除法则计算即可； （3）根据乘法公式展开后计算即可； （4）先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 复合二次根式化简 1．a，b为有理数，且，则 ． 【答案】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到． 【详解】解： a，b为有理数 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 2．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 【答案】(1)， (2)12或28 (3)①，②，③ 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)；(2)；(3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 分母有理化 1．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 2．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 3．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵，∴， ∴，， ∵， ， 又∵，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 新定义问题 1．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 2．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 7807 9507 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 3．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若（a、b为正整数） ，记．例如：，29就是一个“平方和数”，则．判断61是否是“平方和数” （填是或否）；若T是一个“平方和数”，且，T的值为 ． 【答案】 是 17或29或45或65或89 【分析】本题主要考查了新定义，根据“平方和数”的定义进行判断61是否是“平方和数”；根据“平方和数”的定义可得，从而可得，分别给a、b取正整数并且S为两位数求解即可． 【详解】解：∵， ∴61是“平方和数”； 解：设，则， ， ， ， ， ， ， 即或， a、b为正整数，T为两位数， 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上，T的值为：17或29或45或65或89． 故答案为：是；17或29或45或65或89． 4．若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是 ． 【答案】 2040 【分析】本题考查了对题干“谷雨数”与“惊蛰数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“谷雨数”；设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，再结合a，b取值范围和能被10整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040； 设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2； “谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2， 则， ； ， ； 则， ， ， ， 能被10整除， 为整数， 即是的因数， 由题意可知，，（千位上最大的数字是9）， 当取得最小值时，也就是说最小， ， 当时，； 当时，； 即当时，有，时，最小值为； 当时，有，时，最小值为； 故当，时，有最小值，此时的值为：． 故答案为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$