专题02 勾股定理压轴题专项训练（2种压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题02 勾股定理压轴题专项训练（2种压轴题） 将军饮马最值问题 1．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 3．（22-23八年级下·四川成都·期中）问题探究：如图1，在中，，，，为中点，连接，为上一动点，为上一动点，则的最大值为 ． 拓展应用：如图2，在等腰中，，，作，点是线段上一点，且，连接，点是线段上一动点，将线段沿直线翻折，点的对应点'恰好落在线段上，点是上一动点，连接，．则的最大值为 ．      4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，点，的对应点分别是，． (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，若，点是边的中点，试说明四边形是平行四边形； (3)若，连接，．在旋转的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由． 5．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． 勾股定理与全等三角形综合 1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为 ． 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知中， 以和为边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ． 3．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 4．（21-22八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时， ． 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为边上一点，连接，将沿折叠至所在平面内，得到，与交于点，连接，若，，，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？ (1)特例初探： 如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；    (2)规律探究： 如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；    (3)拓展应用： 已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，．求：的面积．    7．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 9．（20-21八年级上·四川成都·期中）已知，在等腰直角中，，，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角，其中，，边AB与D交于点F，点G是BC上一点． （1）如图1，若，连接． ①若，，求的长． ②求证：． （2）如图2，若，交的延长线于点，连接，请猜想线段，，的之间数量关系，并证明． （3）在（2）的条件下，，，，点H为线段AC上一点，一动点M从点G出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，再以每秒个单位的速度延折线H－A－P运动到P点后停止，求点M在整个运动过程中用时最少为多少秒？ 10．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）已知，是过点的直线，，于点，如图（1）．易证，过程如下： 过点作于点，与交于点 ∵，，∴． ∵四边形内角和为，∴． ∵,∴． 又∵，∴，∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴．又∵， ∴，∴． （1）当绕旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，、、满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明． （2）在绕点旋转过程中，当，时，求的值． 11．（23-24八年级上·山东济南·期中）定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M、N是线段的勾股分割点，，，若，，则_________； （2）如图，在等腰直角中，，，M，、N为直线上两点，满足． ①如图2，点M、N在线段上，求证：点M、N是线段的勾股分割点； 小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程； ②如图3，若点M在线段上，点N在线段的延长线上，，，求的长． 12．（22-23八年级上·广东深圳·期中）已知和都是等腰直角三角形，．    (1)【发现问题】 如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______； (2)【探索证明】 如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长． (3)【学于致用】 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求AE的长． 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理压轴题专项训练（2种压轴题） 将军饮马最值问题 1．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解 【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴的最小值为的长度， 在中，，， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题． 过点B作，使得，连接，，先证明，得到，则，当点A、Q、M三点共线时，，利用勾股定理求出的长度，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，使得，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点A、Q、M三点共线时，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 3．（22-23八年级下·四川成都·期中）问题探究：如图1，在中，，，，为中点，连接，为上一动点，为上一动点，则的最大值为 ． 拓展应用：如图2，在等腰中，，，作，点是线段上一点，且，连接，点是线段上一动点，将线段沿直线翻折，点的对应点'恰好落在线段上，点是上一动点，连接，．则的最大值为 ．      【答案】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号， 即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号，即可求解； （2）延长交于点，则，等面积法求得，勾股定理求得，根据等腰三角形，三线合一得出，进而求得，同（1）可得，则点与点重合, 取得最大值，即的长即为所求． 【详解】解：如图所示，      在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵ ∴当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号， 即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号， 此时 故答案为：． （2）∵在等腰中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 如图所示，    延长交于点，则， ∵，， ∴ ∴，∴ 同（1）可得，则点与点重合, 取得最大值 此时当点与点重合，点与点重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，点，的对应点分别是，． (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，若，点是边的中点，试说明四边形是平行四边形； (3)若，连接，．在旋转的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积存在最大值，最大值为． 【分析】此题是四边形综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质推出，根据角的和差求解即可； （2）根据直角三角形的性质得出，结合旋转的性质推出，延长交于点，根据三角形外角性质推出，则，根据平行四边形的判定定理即可得解； （3）当点，，共线时，的面积取最大值，根据旋转的性质及含角的直角三角形的性质推出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， 绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， ； （2）证明：点是边的中点， ， ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， 如图2，延长交于点， 则， ， 四边形为平行四边形； （3）存在，理由如下： 线段为定值，当点到距离最大时，的面积取最大值，如图3，当点，，共线时，的面积取最大值． ，， ， ， ， ， 在旋转过程中，的面积存在最大值，最大值为． 5．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用． （1）构造边长为1的正方形，P为边上的动点，设，则，，，，延长至点，使，当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，，即可求得 的最小值； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，，设，则，，，点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，过点D作交于点G，，进而求出的最小值； （3），设，点E在上，，过点D作于点F，由勾股定理可知：，，，证明四边形是矩形， ，分情况讨论，若点D不在线段上则，若点D在线段上，则，进而求得的最大值． 【详解】（1）已知图中，构造边长为1的正方形，P为边上的动点， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段，上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 在中，， ∴ ∴的最小值等于， 故答案为：； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段， 上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 过点D作交于点G， 在中，， ∴， ∴的最小值等于； （3）， 设，点E在上，，过点D作于点F，如图： 则，由勾股定理可知： ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 若点D不在线段上， 则， ∴， 若点D在线段上，如图， 则，即， 综上所述，， ∴的最大值为． 勾股定理与全等三角形综合 1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，过点作，交于点，证明，易得，进而可得，再证明，进而可得，然后在中和在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，过点作，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知中， 以和为边向外作等边 和等边 若 过作 垂足为点， 如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理；根据等边三角的性质勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，延长交于点，得出平分，在中得出，进而在中，勾股定理求得，根据在中，，在中，，设，则，勾股定理建立方程，解方程得出，进而即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 在中，－， ， 是等边三角形， ， 如图，延长交于点， 又 平分 ， 在中， 在中， 在中， 在中， 设，则 解得： 故答案为：． 3．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，第一步利用三角形内角和定理先证明，同理可证明：，再根据折叠有，，再根据“三线合一”的性质有，，最后根据勾股定理有，，，问题随之得解． 【详解】延长交于点F，如图， ∵为中线，， ∴，点E为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，同理可证明：， 根据折叠可知：，， ∴在等腰中，，， ∵，点E为中点， ∴在等腰中， ， ∵，， ∴根据勾股定理有：，，， ∵，，，， ∴，，， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题． 过点B作，使得，连接，，先证明，得到，则，当点A、Q、M三点共线时，，利用勾股定理求出的长度，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，使得，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点A、Q、M三点共线时，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 5．（21-22八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时， ． 【答案】 【分析】过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出∆BAD≅∆ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，继续证明∆CPN≅∆CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P， ∵Rt∆ABC中，AB=AC， ∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴∠PCN=∠ACB=∠ECN， ∵AM⊥BD， ∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°， ∴∠ABD=∠CAP， 在∆BAD与∆ACP中， ， ∴∆BAD≅∆ACP， ∴AD=CP，∠CEN=∠P， ∴AD=EC， ∴CE=CP， ∵CN=CN， ∴∆CPN≅∆CEN， ∴∠P=∠NEC， ∴∠EDF=∠DEF， ∵∠ABD=30°， ∴∠ADB=60°， ∵∠DEF=∠EDF=60°， ∴EF=DE，∠P=60°， ∴CP=CE=， ∴AE=AC-CE= ∵AD=， ∴CD=AC-CD= ∴EF=AC-AE-CD=， ∵BC=， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键． 6．（22-23八年级下·四川成都·期中）问题探究：如图1，在中，，，，为中点，连接，为上一动点，为上一动点，则的最大值为 ． 拓展应用：如图2，在等腰中，，，作，点是线段上一点，且，连接，点是线段上一动点，将线段沿直线翻折，点的对应点'恰好落在线段上，点是上一动点，连接，．则的最大值为 ．      【答案】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号， 即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号，即可求解； （2）延长交于点，则，等面积法求得，勾股定理求得，根据等腰三角形，三线合一得出，进而求得，同（1）可得，则点与点重合, 取得最大值，即的长即为所求． 【详解】解：如图所示，      在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵ ∴当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号， 即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号， 此时 故答案为：． （2）∵在等腰中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 如图所示，    延长交于点，则， ∵，， ∴ ∴，∴ 同（1）可得，则点与点重合, 取得最大值 此时当点与点重合，点与点重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为边上一点，连接，将沿折叠至所在平面内，得到，与交于点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，过B作于H，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠至所在平面内，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过B作于H， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 8.（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？ (1)特例初探： 如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；    (2)规律探究： 如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；    (3)拓展应用： 已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，． 求：的面积．    【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据，点N与点A重合，结合，得到，由为等腰直角三角形，得到，即可证明结论； （2）过点M作，垂足为，根据等腰直角三角形及平行线的性质，证明四边形是正方形，得到，再证明，即可得出结论； （3）分别过点作交直线与点，证明，是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理得到，即，求解出，，则，根据即可解答． 【详解】（1）， 证明：，点N与点A重合，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ； （2）解：如图，过点M作，垂足为，   ， ， ， ， 四边形是矩形， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，分别过点作交直线与点，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，，，， ，即， ， （负值舍去），则， ，，， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 9．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程；（2），理由见解答过程；（3） 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 连接，如图： ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图： ∵为的中点， ∴， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 11．（20-21八年级上·四川成都·期中）已知，在等腰直角中，，，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角，其中，，边AB与D交于点F，点G是BC上一点． （1）如图1，若，连接． ①若，，求的长． ②求证：． （2）如图2，若，交的延长线于点，连接，请猜想线段，，的之间数量关系，并证明． （3）在（2）的条件下，，，，点H为线段AC上一点，一动点M从点G出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，再以每秒个单位的速度延折线H－A－P运动到P点后停止，求点M在整个运动过程中用时最少为多少秒？ 【答案】（1）①2；②证明见解析；（2），证明见解析；（3）秒 【分析】（1）①过作于．根据△BED为等腰直角三角形，，可得BD的长，设FN=x，在Rt△FBN与Rt△FDN中，根据特殊角三角函数即可求出BF的长； ②在上截取，连接，证明可得BM=BG，∠EBM=∠DBG，再证明可得MF=FG，进而可得DG=EF-FG； （2）在上截取，连接，证明可得BG=BN，，再证明可得PG=PN，进而可得线段PG，DG，PE之间的数量关系； （3）过点作，作的延长线于，交于点，当、、三点共线且时，取得最小值 【详解】解：（1）①：过作于． ，．． ，． ．． ，，． ，． ， ．． ②在上截取，连接． ，， ， ．在和中， ，． ，． ． ．． 在和中，， ，． ． 即． （2）在上截取，连接 ，．． 在和中， ，， ，． ． ，． 在和中， ，． ，， 即． （3）如图3，设的运动时间为． 则， 由（2）得：， ，，， ，为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 过点作，作的延长线于，交于点， 是等腰直角三角形， ，， 与均为等腰直角三角形， ，， ， 当、、三点共线且时，取得最小值， 此时，， （秒）， 即在整个运动过程中用时最少为秒． 【点睛】本题考查了三角形的综合，灵活运用全等三角形的判定是解决本题的关键． 12．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）已知，是过点的直线，，于点，如图（1）．易证，过程如下： 过点作于点，与交于点 ∵，，∴． ∵四边形内角和为，∴． ∵,∴． 又∵，∴，∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴．又∵， ∴，∴． （1）当绕旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，、、满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明． （2）在绕点旋转过程中，当，时，求的值． 【答案】（1）图（2）中的结论：，图（3）中的结论：，证明见解析；（2）或． 【分析】（1）如图（2）：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得；如图（3）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明 △ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，可得．根据，即可得到答案； （2）分两种情况讨论，如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，从而可得答案；如图（2）：过D作DH⊥CB交CB延长线于H，同理可得答案． 【详解】解：（1）如图（2）：．理由如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴，， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（ASA）， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图（3）：．理由如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB， ∠BCD=90°+∠ACB， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）MN在绕点A旋转过程中，如图（1）， 由（1）得：△ACE≌△DCB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴∠AEC=45°=∠CBD， 过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形． ， ∴BH=DH=1． 直角△CDH中，∠DCH=30°， ∴CD=2DH=2，． ∴； 如图（2）：过D作DH⊥CB交CB延长线于H． 同理可得，为等腰直角三角形， 由 ； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质；勾股定理的应用，掌握以上知识是解决问题的关键． 13.（23-24八年级上·山东济南·期中）定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M、N是线段的勾股分割点，，，若，，则_________； （2）如图，在等腰直角中，，，M，、N为直线上两点，满足． ①如图2，点M、N在线段上，求证：点M、N是线段的勾股分割点； 小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程； ②如图3，若点M在线段上，点N在线段的延长线上，，，求的长． 【答案】（1）；（2）①点M、N是线段的勾股分割点，过程见解析；② 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）①将绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP、MP，根据旋转的性质得到CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，证明△MCN≌△MCP，推出MN=PM，利用勾股定理得到，由此得到结论； ②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，则AE=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠MAE=90°，证明△MCE≌△MCN，推出ME=MN，根据勾股定理得到，即，将数值代入即可求出答案． 【详解】解：（1）∵以、、为边的三角形是一个直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， ∴∠BAC=∠ABC=45°， 将绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP、MP， ∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN， ∴∠MAP=90°， ∵，∠NCP=90°， ∴∠MCP=， ∵CM=CM，CP=CN， ∴△MCN≌△MCP， ∴MN=PM， ∵， ∴； ∴点M、N是线段的勾股分割点； ②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，则AE=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°， ∴∠MAE=90°， ∵∠ACE+∠ECB=90°， ∴∠BCN+∠ECB=90°，即∠ECN=90°， ∵， ∴∠ECM=45°=∠MCN， ∵CM=CM，CE=CN， ∴△MCE≌△MCN， ∴ME=MN， ∵，即， ∴， 解得． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，直角三角形的判定，正确掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．（2）解题的关键是利用旋转的性质正确引出辅助线，构造直角三角形． 14．（22-23八年级上·广东深圳·期中）已知和都是等腰直角三角形，．    (1)【发现问题】 如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______； (2)【探索证明】 如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长． (3)【学于致用】 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求AE的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得； （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点，连接，，，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）如图    和都是等腰直角三角形， ． （2）如图      和都是等腰直角三角形， , ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接，，，    则,， 又 在与中 在中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1)3 (2)2或3 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论. 【详解】（1）如图中，在上截取， 中，， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 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