专题03 一元二次函数与一元二次不等式（3大基础题+3大提升题-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题03 一元二次函数与一元二次不等式 一元二次函数 1．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足： ①是矩形且； ②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）． (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)为何值时，最小，并求的最小值． 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 7．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 一元二次不等式及其解法 1．（23-24高一上·广东珠海·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 2．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 4．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为0，求a的值． 6．（23-24高一上·吉林·期中）已知关于的不等式． (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围． 一元二次不等式的应用 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东烟台·期中）若函数的图象恒在图象的上方，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 5．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知，不等式恒成立，则的取值范围为 . 6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 7．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 一元二次方程根的分布问题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 分式不等式 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）下列不等式中解集为的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）对于分式不等式有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为，然后将对应方程的所有根标注在数轴上，形成，，，，五个区间，其中最右边的区间使得的值为正值，并且可得x在从右向左的各个区间内取值时的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间、、、的长度均为，若满足的x构成的区间的长度和为2，则实数t的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 6．（23-24高一上·四川泸州·期中）若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式：． 一元二次不等式的实际应用 1．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 3．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 4．（23-24高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 5．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次函数与一元二次不等式 一元二次函数 1．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故选：C. 3．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上，时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足： ①是矩形且； ②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）． (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)为何值时，最小，并求的最小值． 【答案】(1)，； (2)m时，取最小值，最小值是． 【详解】（1）因为， 所以点的横坐标为， 设，将点代入，得，因此点的纵坐标是， 又边的长为， 所以， 由得，，所以定义域为； （2）， 当且仅当即m时，上式取等号， 即m时，取最小值，最小值是． 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， ∵，∴① 又， ∴对称轴为， ② 由①②，，， ∴； （2）由题知，最大值在或取得， ，， 当，即，解得； 当，即； 综上，. 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则，故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． （3）， 当时，在R上递增，符合题意； 当时，则，此时函数在上递增，在上递减， 则或或，解得； 当时，，则函数在上递增，在上递减， 则或或，解得， 综上所述，的取值范围为或或. 7．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1)； (2)作图见解析，． 【详解】（1）二次函数满足， 则有，解得， 所以. （2）函数的定义域为，函数图象如图所示，    由函数图象可知，函数的值域为 一元二次不等式及其解法 1．（23-24高一上·广东珠海·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】∵不等式可化为，解得， ∴不等式的解集是. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】由已知，①错误； 关于x的不等式的解集为．即函数图像与直线的两个交点的横坐标分别为，它们的距离为6，②正确； 由上讨论知，因此把的图象向右平行个单位得函数的图象，从而直线与函数的图象的两个交点间距离也是6，③正确； 由③的分析知，是确定的值，与的大小无关， ④错． 故答案为：②③． 3．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】或 【详解】若关于的不等式的解集是，则2为方程的根，且， 可得且，即且， 则关于的不等式即为，且， 可得，解得或， 所以关于的不等式的解集是或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】，即，解集是， 所以，且是方程的两个实数根， 于是由韦达定理可得， 解得不符合题意，舍去）． 故答案为：． 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为0，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． （2）因为的对称轴为， 当即时，在上单调递增， 此时，解得或， 又因为，所以不存在这样的a； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，此时满足，所以成立； 当即时，在上单调递减， 此时，解得或， 又因为，所以不存在这样的a； 综上：在上的最小值为0时，． 6．（23-24高一上·吉林·期中）已知关于的不等式． (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得，1是关于的方程的两根，且， 则，， 解得． （2）不等式可化为， 因为，所以关于的方程的两根为1，， 且， 因为关于的不等式的解集为：， 解集中恰有8个质数， 所以， 解得，即的取值范围为． 一元二次不等式的应用 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 2．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高一上·山东烟台·期中）若函数的图象恒在图象的上方，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象恒在图象的上方， 则恒成立，即恒成立， 因为，所以，解得， 故选：A. 4．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 5．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，不等式恒成立, 即与轴没有交点， 即， 则，解得，则的取值范围为. 故答案为： 6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 7．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 一元二次方程根的分布问题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 2．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 3．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根， 所以， 解得. （2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为方程在有两个不等实数根， 由图知满足的条件为： 解得：    （2）由得出 ①若时，即或，方程有两个相等的实数根为， 此时原不等式解集为； ②若时，即，方程无实数根. 此时原不等式解集为; ③若时，即或， 方程有两个不相等的实数根分别为，或， 此时原不等式解集为， 综上所述： ①当或，不等式解集为. ②当或，不等式解集为. ③当，不等式的解集为． 分式不等式 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得是方程两根，且，则， 则，所以不等式，即，所以， 故选：D. 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 解得，所以不等式的解集为. 故选：D 3．（23-24高一上·北京·期中）下列不等式中解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，得，解得， 所以不等式的解集为，故A不符； 对于B，由，得，解得或， 所以不等式的解集为或，故B不符； 对于C，由，解得， 所以不等式的解集为，故C符合； 对于D，由，解得或， 所以不等式的解集为或，故D不符. 故选：C. 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）对于分式不等式有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为，然后将对应方程的所有根标注在数轴上，形成，，，，五个区间，其中最右边的区间使得的值为正值，并且可得x在从右向左的各个区间内取值时的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间、、、的长度均为，若满足的x构成的区间的长度和为2，则实数t的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【详解】等价于且，且． 当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，A正确； 当时满足条件的x构成的区间为，长度为1，不符合题意，B不正确； 当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，C正确； 当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，D正确． 故选：ACD． 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【答案】 【详解】由的解集是， 可得，且和是的两根， 则且，即且， 解得，所以． 故答案为：. 6．（23-24高一上·四川泸州·期中）若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】因为函数，使不等式成立， 所以在上有解，所以 ， 因为，所以， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数a的取值范围为， 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】因为，则，即，等价于， 当时，，解得； 当时，解得； 当时，， ①当，则，不等式解集为； ②当，则，不等式解集为； ③当，则，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 一元二次不等式的实际应用 1．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 3．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 4．（23-24高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)大于千米/小时且小于千米/小时． 【详解】（1）依题意，由于， 所以 当且仅当，即时，上式等号成立， 此时（千辆/时）． 当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得， 整理得，即， 解得． 所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时． 5．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 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