专题02 不等式（2大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题02 不等式 不等式性质 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 4．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 基本不等式 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 3．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东梅州·期中）若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 6．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 7．（23-24高一上·山西阳泉·期中）已知为正数，且，则的最小值为 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 基本不等式的恒成立问题 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 对勾函数求最值 1．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列命题中，是假命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 基本（均值）不等式的应用 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．    A．2 B．4 C．6 D．8 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 6．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 7．（23-24高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 不等式性质 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 3．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 4．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以. 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 基本不等式 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C 3．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 5．（23-24高一上·广东梅州·期中）若直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（　　） A． B．1 C．2 D．6 【答案】C 【详解】如图所示：    在中，， 而直角三角形周长， 由勾股定理可知， 若要使最大， 只需即最大即可， 又，等号成立当且仅当， 所以，，， 等号成立当且仅当， 此时，其面积为. 故选：C. 6．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 故答案为：①4；②1. 7．（23-24高一上·山西阳泉·期中）已知为正数，且，则的最小值为 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 基本不等式的恒成立问题 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【详解】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 对勾函数求最值 1．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列命题中，是假命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，又在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以恒成立，故B正确； 对于C：当，时，故C 错误； 对于D：因为， 所以， 当且仅当，即、时取等号，故D正确； 故选：AC 3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 【答案】 5 6 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，函数最小值为6. 故答案为：5，6 基本（均值）不等式的应用 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，①，②，③，④，且， 由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立， 由①②得，，所以⑤， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由②③得，，所以⑥， 又，当且仅当时等号成立， 由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，. 故选：D. 3．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为， 则，则， 此时三角形框架的周长， 当且仅当时，等号成立， 由于，所以. 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】，设， 将代入上式得， 所以， 则， 当且仅当时等号成立. 故选：C 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 6．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1) (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； （2）当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 7．（23-24高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4m，14400元 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$