第3章 勾股定理知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第3章 勾股定理知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 03 题型归纳 题型一　勾股树(数)问题 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 题型二　用勾股定理解三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业），． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，，则 ． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，于点． （1） ， ； （2）若的周长为12，则的长为 ，的长为 ； （3）若，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，平分． （1）若中的一个内角是，则 ； （2）若，则 ， ； （3）若，，则 ， ； （4）如图②，于点，若，则 ； （5）若的一边长为8，周长为28，则的长度为 ． 题型三　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四　判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求：(1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 题型五　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 题型六　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型七　勾股定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将他从A处摆动后的坐板记为． (1)当时，求到的距离； (2)当距地面最近时，求到地面的距离（结果精确到0.1，）． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 2．（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 03 题型归纳 题型一　勾股树(数)问题 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，2，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，3，4，6不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，7，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键． 根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、0.6，0.8，1，都是小数，不是正整数，不符合题意； D、且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数．根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； B、不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型二　用勾股定理解三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业），． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 70 12 10 9.6 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答． （2）运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答． （4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：70； （2）∵ ∴， 故答案为：12 （3）∵，是边上的中线， ∴ ∴ 故答案为：10； （4）∵，， ∴ ∵于点 ∴ 则 ∴ 则的长为 故答案为： 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，过作于，求解，证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，于点． （1） ， ； （2）若的周长为12，则的长为 ，的长为 ； （3）若，则的面积为 ． 【答案】 60 30 4 2 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质作答即可． 【详解】解：（1）∵等边，， ∴，， 故答案为：60；30； （2）∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4；2； （3）∵等边，， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，平分． （1）若中的一个内角是，则 ； （2）若，则 ， ； （3）若，，则 ， ； （4）如图②，于点，若，则 ； （5）若的一边长为8，周长为28，则的长度为 ． 【答案】 或 40 50 3 4 40 8或10 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等边对等角求解即可； （2）根据等边对等角求解即可； （3）根据三线合一求出，再根据勾股定理求出； （4）根据等边对等角求解即可； （5）根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵中的一个内角是， ∴或或， 当时， 当时由可得， ∴或； 故答案为：或； （2）若，则， 由可得， ∵平分， ∴， 故答案为：40，50； （3）∵，平分， ∴，， ∴, 故答案为：3，4； （4）∵，，， ∴, ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （5）∵的一边长为8，周长为28， ∴当腰长为8时，，，构成三角形； 当底长为8时，，，，构成三角形； ∴的长度为8或10． 题型三　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴； 故选B． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则第一个图中，， ， ，故第一个图符合题意； 第二个图中，三个三角形是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质，斜边的高就是斜边的中线，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一关，则三个等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半， ∴， ， ， ， ，故第二个图符合题意； 第三个图中，，，， ， ，故第三个图符合题意； 这3个图形中面积关系满足的有3个， 故选：D． 题型四　判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．①根据三角形内角和定理求解即可；②根据勾股定理逆定理证明即可；③根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】①， ， ， ， 是直角三角形； ②， ， ， 是直角三角形，且； ③，， ， ，即， 不是直角三角形； 综上，是直角三角形的有①②， 故答案为：①②． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解，构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：如图，取格点，连接， 由网格得： ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握相关的知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2），，， ， ， ，， ， 是直角三角形． 题型五　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 【答案】30 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据该三角形三边关系，确定为直角三角形，并确定两条直角边，从而计算面积 ． 【详解】解：在中，，， ， 是直角三角形，且两直角边为， 故答案为：30． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 题型六　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 【答案】(1)等腰直角，直角梯 (2)或 (3)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【知识点】等腰三角形的定义、运用完全平方公式进行运算、勾股定理的证明方法、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，等腰直角三角形的判定，梯形的判定，面积法证明勾股定理，是解决问题的关键． （1）根据两个直角三角板同样大，得到，， ，推出 ，得到，得到为等腰直角三角形；根据 ，得到，根据当时，，得到四边形是矩形，得到四边形不一定是矩形，是直角梯形； (2)设四边形的面积为S，方法一：根据梯形的面积公式，有；方法二：根据四边形是由3个三角形组成得到，； (3)由(2)知，，化简即得．得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】（1）∵两个直角三角板同样大， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∵ ， ∴， 当时，, ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形为直角梯形； 故答案为：等腰直角，直角梯 （2）设四边形的面积为S， 方法一： ∵四边形为直角梯形， ∴ ； 方法二： ； （3）由(2)知， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 巩固训练 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． （1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把圆柱形玻璃杯表面展开，转化为平面图形，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，如图，    则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：如图，延点A所在直线将圆柱剪开，过点C作，垂足为P，    由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 题型七　勾股定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)； 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理； （1）证明即可得到答案； （2）根据勾股定理求出，再加减线段即可得到答案； 【详解】（1）解：猜想此时与的位置关系为：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，（）， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将他从A处摆动后的坐板记为． (1)当时，求到的距离； (2)当距地面最近时，求到地面的距离（结果精确到0.1，）． 【答案】(1)到的距离是 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图2，作，垂足为， ， ； 在中，； 又， ， ； 在和中， ， ； 且，， ； ， ， 即到的距离是． （2）解：由（1）知： ， 作，垂足为． ， ， ， 即到地面的距离是． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高 (2)梯子底端向后滑动的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可； （2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：本题题意得：， ， 梯子的顶端点距离地面有高； （2）解：由（1）知， 根据题意得：， ， ， ， 梯子底端向后滑动的距离为 3．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析； (2)元． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 2．（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、垂线段最短 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可； （1）判断是否成立即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． （2）解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1),理由见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【详解】（1）,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； （2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$