第3章 勾股定理（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第3章 勾股定理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 3．下列结论中，错误的有（    ） A．在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； B．的三边长分别为，，，若，则是直角三角形； C．在中，若，则是直角三角形； D．若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形； 4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 5．如图，中，平分交于于点E，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 8．在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 10．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 11．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 12．如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为 ． 13．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为 ． 14．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 15．如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形． 16．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 18．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，    (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 19．如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作出的平分线，与相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)上述尺规作图中的点D到所在直线的距离为______． 20．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 22．已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 23．水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点，其中，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否为从花卉基地到东沟最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原来的路少多少米． 24．定义：如图，点M、N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． (1)已知M、N把线段AB分割成、、，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 25．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． (1)线段______； (2)当秒时，求的面积； (3)当点时，______； 26．在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 27．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，证明，得到，根据勾股定理得到，即可．解题的关键是证明． 【详解】解：如图，由题意，得：，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴b的面积为16； 故选：C． 3．下列结论中，错误的有（    ） A．在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； B．的三边长分别为，，，若，则是直角三角形； C．在中，若，则是直角三角形； D．若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形； 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，三角形内角和定理，关键是根据勾股定理和其逆定理解答 【详解】 解：A在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，错误，故本选项符合题意； B、的三边长分别为，，，若，则是直角三角形，正确，故本选项不符合题意； C、在中，若，则，故是直角三角形，正确，故本选项不符合题意； ④若三角形的三边长之比为，设三边为，满足，因此该三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意．故选：A． 4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 5．如图，中，平分交于于点E，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，由勾股定理可得，再证明，再利用等面积法建立方程得，则，再根据勾股定理求解即可．理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，平分交于于点E， ∴， 则， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接，     ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 【答案】4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键，属于基础题． 根据勾股定理直接代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．①根据三角形内角和定理求解即可；②根据勾股定理逆定理证明即可；③根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】①， ， ， ， 是直角三角形； ②， ， ， 是直角三角形，且； ③，， ， ，即， 不是直角三角形； 综上，是直角三角形的有①②， 故答案为：①②． 9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，设折断处离地而高尺，由勾股定理代值列方程即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：设折断处离地而高尺，可列方程得， 故答案为：． 10．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 11．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 12．如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，设，则，，再根据勾股定理列方程解方程即可． 【详解】解：设，则， 的周长为30， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，过点作于点，根据角平分线的性质可得，然后证明，得，再利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：在中，， ，， ， 如图，过点作于点， 为的平分线，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时， 又∵， ∴， ∴学校受影响的时间为秒． 故答案为：． 15．如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，学会分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的等腰三角形有个， 故答案为：． 16．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 【答案】5或11 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示： 则， ， 平分， ， 又， ∴， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两直角边，， ， 由折叠可得：，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 18．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，    (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是利用网格求面积，勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小正方形的面积即可； （2）连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论． 【详解】（1） 解：； （2） 解：连接，    ，，， ∴， ． 19．如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作出的平分线，与相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)上述尺规作图中的点D到所在直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，角平分线的性质等知识，熟知尺规作图的基本操作和角平分线的性质是解题关键． （1）根据尺规作图，作出的平分线，交于点，问题得解． （2）过点作于点，得到，根据利用三角形面积公式得到求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求中的平分线； （2）解：如图，过点作于点， 平分， ， ∵中，，，，． ∴， ， 即 解得， 即点到的距离为． 20．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再证明即可得到； （2）根据勾股定理求得，设，则，，再应用勾股定理即可求解． 本题考查了解平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为． 21．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是； (2)此时踏板离地的垂直高度为． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 22．已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，得出，再利用勾股定理即可得出答案． 此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据证明． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ． 在中，， ， 即， ． 23．水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点，其中，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否为从花卉基地到东沟最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原来的路少多少米． 【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，见解答 (2)新路比原来的路少米 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，在中根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ， ， ∴为直角三角形， ， ∴是从花卉基地到东沟最近的路； （2）设，则． ， ， ∴，即， 解得：． ， ， ， 即新路比原来的路少米． 24．定义：如图，点M、N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． (1)已知M、N把线段AB分割成、、，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)是．理由见解析 (2)8或10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点． （2）当为斜边时，依题意，当为直角边时，则，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴， ∴、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M，N是线段的勾股分割点． （2）解：设，则， 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为直角边时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或。 25．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． (1)线段______； (2)当秒时，求的面积； (3)当点时，______； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）设，则，在中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在上，即可求解； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，当秒时，，且点Q在上， ∴， ∴； （3）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴， 故答案为：； 26．在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【答案】(1)任选一个即可，证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． （1）根据图中面积关系即可得证； （2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证． 【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：； （2）解：，，满足的关系是， ，， ， ． 27．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$