第22章 相似形 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第22章 相似形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十二章（相似形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 2．若，则（   ） A． B． C．2 D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 4．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形中，分别是边两点，，，，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 7．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 9．如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 10．如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 12．如图，点H，A，B，E在同一直线上，．若，．则 ． 13．如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是 ． 14．如图，在中，，，，点、点分别为边上两点，将边沿翻折，使得点落在边上的点处，再将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处，则的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 16．如图，，，求证：． 17．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 18．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 19．在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 20．如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 21．如图，在中，，，点D以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 22．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十二章（相似形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 2．若，则（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：两边都除以，得 ， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点是位似中心，进而可求解． 【详解】解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是， 故选：C． 4．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 5．如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：（对顶角相等）， A、当时，则与相似，符合题意； B、当时，无法证明与相似，不符合题意； C、当时，无法证明与相似，不符合题意； D、，无法证明与相似，不符合题意； 故选：A． 6．如图，在三角形中，分别是边两点，，，，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，先证明，得出后，再将数值代入即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选B． 7．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理．根据网格中的数据求出钝角等于，钝角的夹边比为，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：观察题图，钝角等于，钝角的夹边比为， 选项A、C和D中，钝角都小于，故排除选项A、C和B； 选项B中，钝角等于，钝角的夹边比为， 故选：B． 8．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案． 【详解】解：，， ， 直线， ， 故选：D 9．如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】作轴交于点，轴，垂足为，设点，则，由平行线分线段成比例定理可知为中位线，得，则，，根据的面积为2列出求出值即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：作轴交于点，轴，垂足为， 设点， 在中，点在轴上，，轴． ， 即C是的中点， ∵，， ∴， ∴H是的中点， 为中位线， ， 则，， 的面积为2， ， 解得：． 故选：B． 10．如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据矩形的性质证明相似三角形，利用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 【答案】240 【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：240． 12．如图，点H，A，B，E在同一直线上，．若，．则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明，得出，求出，然后求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是 ． 【答案】4.8 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 由得，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，，， 由题意得，， ， ，即， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，，，点、点分别为边上两点，将边沿翻折，使得点落在边上的点处，再将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，得到，过作于，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：将边沿翻折，使得点落在边上的点处， ，，， ，，， ， ， ， ， 将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 过作于， ， ， ， ， ， 的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等知识点，利用面积法求得的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得和的长是解答问题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，由题意得出即可求解． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据成比例线段的定义得， 代入，，得：， 解得：， ∴线段的长为 16．如图，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 17．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案． 【详解】解:由题意知,,, ∴, ∴, ∵,,, ∴,解得:, 答:树高约是． 故答案为:． 19．在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置； （2）利用所画图形得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：的各顶点坐标分别为：，，． 20．如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）先分别证明，，再根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据，得出，代入数据求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在中，，，点D以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 【答案】t的值为2.4秒或秒 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．首先表示出，，然后根据题意分和两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， ∴，， 当时，，即， 解得（秒）； 当时，，即，解得． 综上所述，t的值为5.4秒或秒． 22．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合定义解答即可． （2）根据新定义解答画图即可． （3）利用等腰三角形的性质，新定义，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了新定义四边形，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握新定义，三角形相似的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形． （2）解：根据新定义，画图如下： 则四边形即为所求． （3）解：∵ ，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，中点M， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，又， ∴， 解得， ∵ N为的中点， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$