专题03 解直角三角形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题03解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、网格中的三角函数 【解惑】如图，在正方形网格中，点为网格格点，，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 ．    3．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，是延长线上一点，则的值是 ． 类型二、解非直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 2．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 3．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【解惑】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【融会贯通】 1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    3．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是 . 类型四、仰角、俯角问题 【解惑】小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,) 【融会贯通】 1．某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度 (1)求的长； (2)已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，） 2．如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 3．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 类型五、方位角问题 【解惑】蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【融会贯通】 1．如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 2．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 3．如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西方向上． (1)求超市D到直线的距离； (2)已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①；②．请计算说明哪条路线短？（参考数据：，，） 类型六、坡度、坡比问题 【解惑】某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【融会贯通】 1．“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 2．彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 3．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 类型七、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 【融会贯通】 1．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点D，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使； (3)在图②中的边上确定一点F，连接，使． 2．图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 3．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图1中，在线段上画点Q，连接，使得； (3)在图2中，在线段上画点F，连接，使得； (4)在图3中，分别在线段，线段上画M，N，连接，，使得最小． 类型八、三角函数中的新定义 【解惑】定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形， (1)已知四边形是对余四边形，，求的度数； (2)如图①，对余四边形中，，，，，求的长． (3)如图②，四边形中，，，当，时，求对角线长度的最大值． 【融会贯通】 1．【图形定义】对角线相互垂直的凸四边形叫做“十字四边形”． 【问题探究】： （）如图，已知矩形是“十字四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （）如图，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“十字四边形”？如果是“十字四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长； 【尝试应用】： （）如图，在“十字四边形”中，对角线相交于点，，记“十字四边形”的面积为．当为何值时，“十字四边形”的面积为？ 2．阅读理解，并回答以下问题： (1)我们定义，在中，一个锐角所对的直角边和相邻直角边的比叫做这个锐角的“正切”，用符号记作“”．如图1：小正方形方格边长均为1，在中，，则　　　，在上截取，连接，经“勾股定理”计算　　　，    ，也因此可以把叫做“2倍角三角形”，从中得规律：，并可以在以下习题里直接运用； (2)如图2：小正方形方格边长均为1，的值为　　　，在射线上找一点，使得是二倍角三角形，其中，连接，请画出图形，并直接写出　　　； (3)如图3：在中，连接，过点作于点，，若，，求的面积． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【一览众山小】 1．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 4．如图，等边中，，点是边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，，则的最小值是 5．测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 6．图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．灯杆高，太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 7．如图1，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接． (1)当时，求的长； (2)如图2，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积． 8．如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)__________． (3)若的面积被的一条边平分时，求的值． (4)当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、网格中的三角函数 【解惑】如图，在正方形网格中，点为网格格点，，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、求角的正弦值，先由勾股定理求出，得到，再证明，即可得到的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 故选：C 【融会贯通】 1．如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查角的正切值，网格中三角形面积，勾股定理，记正方形网格边长为1，作于点，根据勾股定理求出、，利用等面积法得到，进而利用勾股定理得到，最后根据正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 的顶点都是正方形网格中的格点，记正方形网格边长为1，   ，，， ， ， 解得， ， ． 3．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，是延长线上一点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由，推出．由三角形外角的性质求出．连接，由勾股定理得：，而，，求出，，得到，又，即可证明，得到，由三角形外角的性质求出，即可得到． 【详解】解：连接， 由勾股定理得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 类型二、解非直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 2．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【解惑】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【融会贯通】 1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    【答案】 【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数． 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 3．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是 . 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥AC于H． ∵等腰直角△ABC的面积为16, ∴BA=BC=， ∵BA=BC=，∠ABC=90°，BH⊥AC， , 在Rt△BDH中， ∵∠BHD=90°，∠BDC =30°， , , . 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 类型四、仰角、俯角问题 【解惑】小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,) 【答案】篮球筐距地面的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰俯角问题，恰当构造直角三角形，正确应用锐角三角函数的定义式是解题的关键． 过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F，，解可得，解，建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F． 由题意得，，． 设，则． 在中，，， 解得， ∴． 在中，，， ∴, 解得， ∴， ∴． 答：篮球筐距地面的高度约为． 【融会贯通】 1．某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度 (1)求的长； (2)已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，） 【答案】(1)米 (2)这辆汽车没有超速通过 【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意在中，算出即可； （2）在中，算出米，求出，即可求出速度，比较即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 在中，米； （2）解：在中，， ∴米， ∴米， ∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒， ∴这辆汽车通过该路段的速度为， 故这辆汽车没有超速通过． 2．如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 【答案】宝塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作垂直于点，则，则四边形是矩形，解，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作垂直于点，则 ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：宝塔的高度约为 3．在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】59.8米 【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， 在中，由题意知米， ∴（米） 在中，由题意知米， ∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 类型五、方位角问题 【解惑】蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为 (2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可． （1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果； （2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M， 由题意可知：中，，， ， ， 在中，，， ， ， 答：B点与糖所在位置C点之间的距离为； （2）如图，过点C作与点N， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为． 【融会贯通】 1．如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 【答案】N、A之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．过点M作于C，过N作于E，过M作于D，求出，，由，得到，设，则，求出，，根据勾股定理得，即可解答． 【详解】解：过点M作于C，过N作于E，过M作于D，如图， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵，， 设，则， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∴N、A之间的距离为． 2．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】(1)海里 (2)救助船先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、实数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，由题意得：海里，，，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可得出答案； （2）分别求出救助船、所花时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作于，则， ， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中，（海里）， ∴收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离海里； （2）解：∵救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所花时间为（小时），救助船所花时间为， ∵， ∴救助船先到达． 3．如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西方向上． (1)求超市D到直线的距离； (2)已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①；②．请计算说明哪条路线短？（参考数据：，，） 【答案】(1)超市D到直线的距离约为400米； (2)路线①短，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，，米，从而利用垂直定义可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，然后设米，则米，米，从而可得，进而可得米，米，米，最后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E， 在中，米，， ∴（米）， ∴超市D到直线的距离约为400米； （2）路线①短， 理由：延长交于点F， 由题意得：，，，米， ∴， ∵， ∴， 设米，则米， ∵米， ∴米， ∴， 解得：， ∴米，米，米， ∴（米）， 在中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴路线①的总路程（米）， 路线②的总路程（米）， ∵700米米， ∴路线①短． 类型六、坡度、坡比问题 【解惑】某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 【融会贯通】 1．“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 2．彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】约为． 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 过点作，垂足为，延长交于点，证明四边形是矩形后可得，再根据解直角三角形的计算求得、，最后根据 即可得解，注意结果要精确到． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ． ， 由题意得，， ． 答：此彩虹滑道最高点到地面的距离约为． 3．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 类型七、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用， （1）在上取点H，使，连接并延长，交于点G，则点G即为所求； （2）在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，则，可得为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． 在上取点H，使，连接并延长，交于点G， 则：， 即， 则点G即为所求． （2）如图2，即为所求． 在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P， 则， 则为的中位线， 垂直平分， ， 则点P即为所求． 【融会贯通】 1．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点D，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使； (3)在图②中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，涉及勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质、三角形的面积比等知识，熟知网格特点和相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理判断出，只需取格点D，使即可； （2）取格点K、S，连接交与E，根据相似三角形的判定与性质得到，进而可得点E即为所求作； （3）取格点M、N，连接交于F，根据勾股定理和正切定义可得点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，点D、即为所求 ∵，，， ∴，则， 又， ∴； （2）解：如图，点E、即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点F、即为所求； 由图知，，， 由（1）知， ∴． 2．图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析； 【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点； （2）取格点，连接交于点，则点为所求点； （3）连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，． 【详解】（1）如图，取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点， ． 四边形为正方形，点为对角线交点，四边形为矩形，点为对角线交点， 点为中点，点为中点， ． （2）取格点，连接交于点，则点为所求点， ， 为等腰三角形， ， ， ，又， ，即， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）如图所示，连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，． 四边形为矩形，为对角线交点， 点为中点， 四边形为正方形，为对角线交点，连接， ，， ，即为等腰三角形，根据三线合一， 为中垂线， 点为与交点， ． 3．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图1中，在线段上画点Q，连接，使得； (3)在图2中，在线段上画点F，连接，使得； (4)在图3中，分别在线段，线段上画M，N，连接，，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质，平行线分线段成比例定理推论，相似三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）连接交于点，连接，点Q即为所求作； （3）取格点，连接交于点，点即为所求作； （4）连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，点，即为所求作． 【详解】（1）解：如图1，连接，，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段与是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，根据等腰三角形三线合一， ∴平分， ∴射线即为所作； （2）解：如图1，连接交于点，连接， ，， ， ， ， ， ， 点Q即为所求作． （3）解：如图2中，取格点，连接交于点，连接，设小正方形的边长为1个单位， ， 由（2）知，，， ， 又，，， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 点即为所求作． （4）解：如图3中，连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，连接，设小正方形的边长为1个单位， ，， 是等腰直角三角形，， 和关于对称， 点和点是关于对称， ，与关于对称， 由（2）知，， ， ， ， ， ，即此时最小． 点，即为所求作． 类型八、三角函数中的新定义 【解惑】定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形， (1)已知四边形是对余四边形，，求的度数； (2)如图①，对余四边形中，，，，，求的长． (3)如图②，四边形中，，，当，时，求对角线长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对余四边形的定义和四边形内角和定理即可求得答案； （2）如图①，过点作于点，利用勾股定理及逆定理证明是直角三角形，根据对余四边形的定义可得，进而推出，得出，运用勾股定理即可求得答案； （3）如图②，作，使，连接，，过点作于点，于点，利用证明，再根据对余四边形的定义证得四边形；由，可知点在以为圆心，圆心角的上，当、、三点共线时，最大，过点作于，则，，利用三角函数和勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是对余四边形，， ， ； （2）解：如图①，过点作于点， 在中，，，， ，， ， ， ， 四边形是对余四边形， ， ， ， ， ， 设， 则，，， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去），① ； （3）解：如图②，作，使，连接，， 过点作于点，于点， ，，， ， ， ， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是对余四边形； 如图③，作于， ，， 当时，， ， 由①知，，即点在以为圆心，圆心角的上， 在①的条件下，当、、三点共线时，最大， 作于，则，，， ， ， 过点作于， 则，， ，， ， 在中，， ， 故的最大值为． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数等，构造出全等三角形是解本题的关键． 【融会贯通】 1．【图形定义】对角线相互垂直的凸四边形叫做“十字四边形”． 【问题探究】： （）如图，已知矩形是“十字四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （）如图，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“十字四边形”？如果是“十字四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长； 【尝试应用】： （）如图，在“十字四边形”中，对角线相交于点，，记“十字四边形”的面积为．当为何值时，“十字四边形”的面积为？ 【答案】（）一定；（）是，证明见解析，；（）． 【分析】（）根据“十字四边形”定义及正方形的判定方法即可求解； （）连接，和，由菱形的性质可得，，，由三角形中位线的性质可得，即得，即可得四边形是十字四边形，分别求出，即可求出四边形的周长； （）求出的长度，可求出与之间的关系式，再把代入即可求解； 本题考查了正方形的判定，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）∵矩形是“十字四边形”， ∴矩形的对角线互相垂直平分， ∴四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （）四边形是十字四边形，理由如下： 连接，和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ，都是等边三角形， ， ∴和是的中点， ， ∴， ∴四边形是十字四边形， ∵和是的中点， ∴， 又∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； （）由题意可知，， 在中，，，， ∴，， ∴为线段的垂直平分线，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，即， 化简得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 时，“十字四边形”的面积为． 2．阅读理解，并回答以下问题： (1)我们定义，在中，一个锐角所对的直角边和相邻直角边的比叫做这个锐角的“正切”，用符号记作“”．如图1：小正方形方格边长均为1，在中，，则　　　，在上截取，连接，经“勾股定理”计算　　　，    ，也因此可以把叫做“2倍角三角形”，从中得规律：，并可以在以下习题里直接运用； (2)如图2：小正方形方格边长均为1，的值为　　　，在射线上找一点，使得是二倍角三角形，其中，连接，请画出图形，并直接写出　　　； (3)如图3：在中，连接，过点作于点，，若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据定义，结合勾股定理计算即可． （2）根据定义，根据题意，得，在上截取，连接，在上截取，结合勾股定理计算即可． （3）根据，，，得，根据，得，延长到点S，使得，得到继而得到是二倍角三角形，利用勾股定理计算即可． 本题考查了二倍角三角形的应用，三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）在中，， 得， ∴， 在上截取， ∴， 连接， ∴， ， 故答案为：，． （2）如图，根据题意，得， ∴， 在上截取， ∴， 连接， ∴， 在上截取， ，    ， ∴叫做“2倍角三角形”， ∴， ∴， 故答案为：，． （3）∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点S，使得， ，    ， ∴是二倍角三角形， ∴， ∵ ∴, 解得， ∵ ∴, 解得， ∴的面积为：． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①2；② (2)或 【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可； （2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题． 【详解】（1）①如图，由题可得点M坐标为， 即 ∴矩形的面积是； ②如图，以为直径作圆，则点，在圆上， 又∵点M在内或边上， ∴， 当时，过点N作轴于点B， ∵，即， 解得：， ∴； ∴点N的横坐标t的取值范围是； （2）解：若，当，最小， 当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时， ∴点N的坐标为， 代入可得：； 当时，值最大， 令，则，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 由于这时矩形不存在，故取不到， 故b的取值范围为 当时，由对称性可得， ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，过点作轴，过点作轴，连接，证明，得到，求出，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，连接，则：， ∵关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴； 故选C． 3．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】过点E作，交于点F，证明即可求解． 【详解】提示：如图，过点E作，交于点F． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的外角定理，平行线的性质等，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 4．如图，等边中，，点是边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形解答． 过点E作于点G，根据等边三角形的性质易得，由旋转可得，设，则，，，根据勾股定理得出，推出当时，有最小值27，则最小值，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G， ∵为等边三角形，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可得， 设， ∵，， ∴，， 则， ∴ ， ∴当时，有最小值27， ∴最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 5．测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】测速区间的距离约为19米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，再根据求解即可． 【详解】解：由题可知，，则． 在中， (米)， 在中， (米)， (米)， 答：测速区间的距离约为19米． 6．图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．灯杆高，太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】点M到底座上底面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，先证明四边形是矩形，再由角的运算得出，故，因为，且D是靠近N的三等分点，则在，，算出，因为，故，即可作答． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，交延长线于点F，过点M作的垂线，交于点G，连接交延长线于点H， ，． ∵该信号灯是轴对称图形 ∴ ∴四边形是矩形， ． ， ． 在中，，， 又， ． ，且D是靠近N的三等分点， ． ， ． 在中，， ， ， 答：点M到底座上底面的距离为 7．如图1，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接． (1)当时，求的长； (2)如图2，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）作，解和，进而求得结果； （2）连接，，，并延长交于，证明，从而得出，进而得，根据三角形中位线定理，进一步命题得证； （3）作，先得出当、、共线时，最大，先求得的面积，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ，， ， ； （2）解：，证明如下： 如图2， 连接，，，并延长交于， ， ， 即：， 在和中， ， ， ，， 由三角形的内角和为180度，结合对顶角相等得， 是的中点，是的中点， ，， 同理可得：，， ，，， ∴， ； （3）解：如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的最大值是4， 此时点、、共线， 如图4， 作于，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由折叠性质得， ①， 又②， 由①②得，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质，三角形的中位线性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 8．如图，在中，，，，是的中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)__________． (3)若的面积被的一条边平分时，求的值． (4)当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2) (3)2或 (4)或4或 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质证明四点共圆，则，故，则； （3）①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则，由，得，故，，则，，可证为等腰直角三角形，则，故，解得：；②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，可得，则，由，求得，故，在中，由勾股定理，，解得：，综上所述，或； （4）①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G，根据，得，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍）；②当四边形是矩形时，如图：此时，由上知；③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接，可得，则，而，故，解得：，综上所述，或4或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点D为中点， ∴， ∴，， ∵边平分的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由， 得：， 解得：； ②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，如图， 此时点H为中点，同（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， 得：， ∴， 解得：， 综上所述，或； （4）解：①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G， ∵四边形是等腰梯形，是轴对称图形， ∴， ∴， ∴， 由上知， ∴在中，由勾股定理， 得：， 解得：或（舍）； ②当四边形是矩形时，如图： 此时， 由上知； ③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或4或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解直角三角形，四点共圆等，熟练掌握知识点，分类讨论要全面是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$