湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年七年级上学期开学考试数学试卷（9月份）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（上）能力测评数学试卷（9月份） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每个小题3分，共30分） 1．（3分）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶．基本音阶“商”的发音管比“徵”的发音管短，“徵”和“商”的发音管长度比是（　　） A．3：2 B．3：4 C．4：3 D．2：1 2．（3分）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 3．（3分）睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有5～6个月的时间处于冬眠状态．动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出洞，这只睡鼠冬眠了（　　）天． A．163 B．164 C．165 D．166 4．（3分）若a和b都是非零自然数，如果a÷b＝7，那么a和b的最大公因数是（　　） A．1 B．7 C．a D．b 5．（3分）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径AB与正方形的对角线CD之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（　　） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 6．（3分）有一张方格纸，每个小方格的边长是1厘米，上面堆叠有棱长1厘米的小正方体（如图），小正方体A的位置用（1，1，1）表示，小正方体B的位置用（2，6，5）表示，那么小正方体C的位置可以表示成（　　） A．（6，2，3） B．（2，2，3） C．（2，6，3） D．无正确选项 7．（3分）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6．像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数．下面的数中，（　　）是完全数． A．8 B．28 C．36 D．49 8．（3分）考古学家常常利用文物中“碳﹣14”（一种元素）的含量来测定其年份．“碳﹣14”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳﹣14”的含量大概每过5730年会减少到原来的一半．湖北省博物馆存有一件1965年出土的国家一级文物——越王勾践剑，春秋晚期（公元前494元）越国青铜器．越王勾践剑中现在的“碳﹣14”含量与制造时“碳﹣14”含量的比值最可能在以下（　　）范围内． A．～1 B．～ C．～ D．～ 9．（3分）古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提出少量素数可以写成“2p﹣1”的形式，这里的p也是一个素数．千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索，17世纪法国著名数学家马林•梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p﹣1”型的素数称为梅森素数．下面4个数中，（　　）是梅森素数．（注：2p表示p个2相乘） A．17 B．15 C．7 D．1 10．（3分）设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合数个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（　　） A．33 B．34 C．2013 D．2014 二、填空题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，请将答案填写在答题卡相应位置上） 11．（4分）在15，1.67，，66.7%四个数中，最大的数是 　 　，最小的数是 　 　． 12．（4分）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是 　 　cm2．（单位：cm） 13．（4分）找规律填空：0.5，，37.5%，，，　 　（填分数）． 14．（4分）社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 　 　． 15．（4分）用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…，按此规律，则401◎5＝　 　． 16．（4分）一本书的定价是15元，可获利25%，要想获利四成，应定价 　 　元． 17．（4分）在比例尺为1：10000000的地图上，量得A、B两地的距离是6.6cm．如果小明早上9时从A地乘坐平均时速为220km的高铁出发，那么他 　 　小时可以到达B地． 18．（4分）等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差6.28立方分米，它们体积之和是 　 　立方分米． 19．（4分）有甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，又与丙相遇．那么，东、西两村之间的距离是 　 　米． 20．（4分）定义运算“*“如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2005*1950＝　 　． 三、解答题（本题共4个小题，共30分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（12分）计算： （1）； （2）； （3）． 22．（6分）将循环小数化为分数：整数、有限小数、循环小数都可以化成分数，整数和有限小数化成分数容易，循环小数如何化成分数呢？请看下面的例子． 将循环小数0.288…化成分数：将0.288…分别乘10和100，得2.88…和28.88…，两个得数相减得26（两个得数小数部分相同），而相减所得的26应该是0.288…的（100﹣10）倍，所以0.288…＝，你读懂这个例子了吗？ 请仿照上面的办法将下列循环小数化成分数： （1）0.3； （2）0. ； （3）1. 0． 23．（6分）对于数x、y，我们定义一种新运算G（x，y）＝x+by，由这种运算得到的数，我们称之为“吉祥数”，记为G（x，y），这时x，y叫做吉祥数对，如G（1，2）＝+2b． （1）若G（x，y）＝y，则G（2，1）+G等于多少？ （2）已知G（x，y）＝x+by，，求b的值． 24．（6分）阅读材料． 材料一： 一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼数（N取最大）”． 例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼数”． 材料二： 设N，（N﹣1），（N﹣2），……，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为kn+1（n为正整数）． 例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼数”可以表示为60n+1（n为正整数）． 解答下列问题： （1）若31是“明N礼数”，直接写出N的值； （2）求出最小的“明四礼数”； （3）一个“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，求出这两个数． 2024-2025学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（上）能力测评数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每个小题3分，共30分） 1．【分析】根据题意，假设徵管的长度为a，则商管的长度为（1﹣）a，据此化简比即可． 【解答】解：假设徵管的长度为a，则商管的长度为（1﹣）a，“徵”和“商”的发音管长度比是：a：（1﹣）a＝3：2， 故选：A． 【点评】此题考查了比的应用，解题的关键是用分数表示出徵管和商管的长度． 2．【分析】根据圆的对称轴是任意一条通过圆心的直线可判断两次折叠后折痕的交点为圆的圆心． 【解答】解：∵圆的对称轴是任意一条通过圆心的直线， 即圆心在折痕上， ∴对折2次后，两次折痕的交点为圆的圆心． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线．圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心． 3．【分析】根据大小月的知识计算，从去年10月21日到今年4月3日经过的时间即可． 【解答】解：31﹣21+1+30+31+31+29+31+3﹣1＝165（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 【点评】本题主要考查数学常识，解答本题的关键是知道每月天数． 4．【分析】根据a和b的最大公因数解答即可． 【解答】解：∵a÷b＝7， 那么a是b的7倍， 所以a和b的最大公因数是较小数b． 故选：D． 【点评】本题是关于最大公因数的概念题，需要理解两个非零自然数成倍数关系时，最大公因数是较小数的概念． 5．【分析】设CD＝x，则AB＝3x，则利用正方形和圆的面积公式得到正方形的面积＝x2，圆的面积＝πx2，然后计算它们的比即可． 【解答】解：设CD＝x，则AB＝3x， ∵正方形的面积＝•x•x＝x2，圆的面积＝π×（x）2＝πx2， ∴圆的面积：正方形面积＝πx2： x2＝π：1≈14：1． 即圆的面积约为正方形面积的14倍． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的面积：圆的面积等于圆的半径（r）的平方乘以π． 6．【分析】根据题意可知，第一个数表示所在的列，第二个数字表示所在的行，第三个数字表示小正方体的层数，由此表示C的位置即可． 【解答】解：小正方体C的位置可以表示成（6，2，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了认识立体图形，解答本题关键是明确数对表示的意义，并灵活应用． 7．【分析】先求出各个数的因数，再把除了它自身以外的全部因数求和，最后根据完全数的定义求解即可． 【解答】解：A、8的因数有1，2，4，8，1+2+4＝7≠8，故8不是完全数，不符合题意； B、28的因数有1，2，4，7，14，28，1+2+4+7+14＝28，故28是完全数，符合题意； C、36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，1+2+3+4+6+9+12+18＝55≠36，故36不是完全数，不符合题意； D、49的因数有1，7，49，1+7≠49，故49不是完全数，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法、因数，能够掌握题干中完全数的概念是解题的关键． 8．【分析】根据题意，可以假设原来的含量为单位“1”，则5730年后会减少到原来的一半，2400大约是5730的0.5倍，不超过1倍．所以2400年后含有的量比多，比少． 【解答】解：根据题意，设原来的含量为1，则5730年后为一半，2400大约是5730的0.5倍，不超过1倍． 所以2400年后含有的量比÷2＝多，比少． 故选：B． 【点评】此题考查了分数的意义，解题关键是正确理解． 9．【分析】利用梅森素数定义判断即可． 【解答】解：A、令2p﹣1＝17，即2p＝18，p不是正整数，不符合题意； B、令2p﹣1＝15，即2p＝16＝24，可得p＝4，4是合数，不符合题意； C、令2p﹣1＝7，即2p＝8＝23，可得p＝3，符合题意； D、令2p﹣1＝1，即2p＝2，可得p＝1，1不是质数，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的加减，有理数的乘方，以及数字常识，弄清梅森素数定义是解本题的关键． 10．【分析】根据质数与合数的定义，可得“好数”一定是奇数．列表得到1、9、11、13是好数．进一步得到当n≥16时，n不可能是好数，再把所有“好数”相加即可求解． 【解答】解：因为1既不是质数也不是合数， 所以“好数”一定是奇数． 设不超过n的正整数中质数的个数为an，合数的个数为bn，当n≤15，列表如下（只考虑n为奇数的情况） 显然，1、9、11、13是好数． 因为b15﹣a15＝2，当n≥16时，在n＝15的基础上，每增加两个数，其中必有一个是偶数，当然是合数，也就是说，增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数， 所以一定有bn﹣an≥2，故当n≥16时，n不可能是好数． 因此，好数之和为1+9+11+13＝34． 故选：B． 【点评】考查了质数与合数，关键是理解“好数”，分两种情况：当n≤15，当n≥16时进行讨论即可求解． 二、填空题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，请将答案填写在答题卡相应位置上） 11．【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵66.7%＝0.667， ∴0.667＜＜1.67＜15， ∴66.7%＜＜1.67＜15， ∴最大的数是：15； ∴最小的数是：66.7%． 故答案为：15，66.7%． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 12．【分析】根据给出的两个面可知：这个长方体的长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米，由此根据：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数字，解答即可． 【解答】解：（6×3+6×2+3×2）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是72cm2． 故答案为：72． 【点评】本题考查了几何体的表面积和认识立体图形，灵活掌握长方体的表面积计算公式，是解答此题的关键． 13．【分析】把这列数全部化为分数形式，根据已知的这五个分数可得排列规律：分子从1开始项每次递增1；分母从2开始每次递增3；据此解答． 【解答】解：0.5＝，37.5%＝， ∴， ∴规律是分子依次加1，分母依次加3， ∴下一个数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了观察一列数，找出其中的规律，关键是根据已知的数，得出前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题． 14．【分析】要使结果为24，根据给出的四个数：10、10、4、4，这四个数的特点：10×10＝100，100﹣4＝96，96÷4＝24，由此可以得出答案． 【解答】解：（10×10﹣4）÷4＝24， 故答案为：（10×10﹣4）÷4＝24． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握整数的四则混合运算． 15．【分析】根据题意，“◎”前面的数从整数开始，后面的数表示连续整数相加求解即可． 【解答】解：根据2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…反应的规律可知： 401◎5＝401+402+403+404+405＝2015， 故答案为：2015． 【点评】本题主要考查了新定义下的有理数运算，正确进行计算是解题关键． 16．【分析】利用两种情况下成本相同列方程即可求解． 【解答】解：设成本为y元， 则15﹣y＝0.25y， 解得y＝12， 即成本为12元， 设想获利四成，应定价为x元， 则x﹣12＝0.4×12， 解得：x＝16.8（元）， 故答案为：16.8． 【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，确定等量关系是解题的关键． 17．【分析】设A、B两地的实际距离是x cm，利用比例尺得到6.6：x＝1：10000000，求出x，再把单位化为km得到A、B两地的实际距离是660km，然后用路程除以速度即可． 【解答】解：设A、B两地的实际距离是x cm， 根据题意得6.6：x＝1：10000000， 解得x＝66000000， 即A、B两地的实际距离是66000000cm， 所以A、B两地的实际距离是660km， 因为＝3（小时）， 所以他3小时可以到达B地． 故答案为：3． 【点评】本题考查了比例尺：比例尺＝图上距离与实际距离的比． 18．【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系即可解决问题． 【解答】解：因为圆柱和圆锥等底等高， 所以圆柱的体积是圆锥体积的3倍， 又因为它们的体积相差6.28立方分米， 所以圆锥的体积是：6.28÷（3﹣1）＝3.14（立方分米）， 圆柱的体积是：3.14×3＝9.42（立方分米）， 则它们的体积之和为：3.14+9.42＝12.56（立方分米）． 故答案为：12.56． 【点评】本题主要考查了圆锥的体积及圆柱的体积，熟知等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解题的关键． 19．【分析】可设东、西两村之间的距离是x米，根据甲与乙相遇，甲与丙相遇的时间差是6分钟，列出方程计算即可求解． 【解答】解：设东、西两村之间的距离是x米，依题意有： ﹣＝6， 解得x＝37800． 故东、西两村之间的距离是37800米． 故答案为：37800． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是熟悉相遇问题中路程和÷速度和＝相遇时间的知识点． 20．【分析】利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：∵x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z， ∴x*（x*x）＝x*x+x， ∴x*0＝0+x， ∴2005*（1950*1950）＝2005*1950+1950， 即2005+0＝2005*1950+1950， ∴2005*1950＝2005﹣1950＝55， 故答案为：55． 【点评】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义化简是解题关键． 三、解答题（本题共4个小题，共30分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．【分析】（1）先把带分数化为假分数，百分数化为真分数，小数化为分数，再计算小括号内的加法，接着计算乘法，然后计算中括号的运算，最后进行除法运算； （2）先把带分数化为假分数，百分数化为小数，然后根据乘法的分配律进行计算； （3）把原式乘以64，再再乘以，然后根据乘法的分配律进行计算． 【解答】解：（1）原式＝÷[﹣×（+）] ＝÷[﹣×] ＝÷（﹣） ＝÷ ＝1； （2）原式＝×0.125+×0.125+1×0.125 ＝0.125×（++1） ＝0.125×10 ＝1.25； （3）原式＝（+++++）×64× ＝（32+48+56+60+62+63）× ＝． 【点评】本题考查了百分数的运算，小数的运算，掌握小数、分数、百分数的互相转化，灵活运用运算律．也考查了分数的混合运算． 22．【分析】从例子中可以看出，先用循环小数的小数点向右移动到第一个循环节后得到的数减去小数点移动到第一个循环节前的数，得到一个整数差，再用这个差除以两次因为移动小数点扩大的倍数的差，商用分数表示，最后将这个分数约分即可将循环小数化为最简分数． 【解答】解：（1）； （2）.； （3）． 【点评】本题考查循环小数，解答此题的关键在于理解例子中是如何去掉循环节的． 23．【分析】（1）根据新运算的规则，把数代入进行计算； （2）根据新运算的规则，把数代入得到方程计算即可． 【解答】解：（1）G（2，1）+G ＝×2+×1+×+× ＝1+++ ＝2； （2）∵， ∴×+b＝2， 解得b＝． 【点评】本题考查了分数的混合运算，解题关键是根据所给的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题． 24．【分析】（1）根据材料1新定义即可求解； （2）根据材料2设“明四礼数”是12m+1，当m＝1时，即可求解； （3）4、3、2的最小公倍数是12，5、4、3、2的最小公倍数是60，设“明四礼数”是12m+1，“明五礼数”是60n+1，根据已知条件“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，列出等式，根据m和n是正整数讨论即可． 【解答】解：（1）31（被5除余1，被4除余3），被3除余1，被2除余1，那么31为“明三礼数”， ∴N＝3； （2）4、3、2的最小公倍数是12，设“明四礼数”是12m+1，当m＝1时， 最小的“明四礼数”为13； （3）4、3、2的最小公倍数是12， 5、4、3、2的最小公倍数是60， 设“明四礼数”是12m+1，“明五礼数”是60n+1， ∵“明四礼数”与“明五礼数”的和为170， ∴12m+1+60n+1＝170， 又∵m和n是正整数， ∴m＝4，n＝2或m＝9，n＝1， ∴这个“明四礼数”是49，“明五礼数”是121或“明四礼数”是109，“明五礼数”是61． 【点评】本题考查了整数问题的综合运用，能够理解题意，利用最小公倍数的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$