21.2 过三点的圆（2大题型提分练）数学北京版九年级上册

21.2过三点的圆 同步练习 题型一 确定圆的条件 1．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以6cm为半径 C．以点O为圆心，3cm为半径 D．经过已知点M 3．下列命题中，正确的命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．经过四点不能作一个圆 C．三角形有一个且只有一个外接圆 D．三角形外心在三角形的外面 4．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 5．已知线段AB＝5cm，经过A，B两点作半径为4cm的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 6．下列说法中，正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形 7．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　 　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 8．已知线段AB＝2cm． （1）画半径为1cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （2）画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （3）能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A，B两点吗？ 9．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是　 　． 题型二 三角形的外接圆与外心 10．已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆直径为（　　） A．5 B．12 C．13 D．6.5 12．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（　　） A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定 13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（　　） A．1 B． C． D． 14．下列说法正确的是（　　） A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 16．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（　　） 甲：AC＝4； 乙：AC＝8； 丙：△ABC的外接圆半径为4． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 17．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长为（　　） A． B． C． D． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　 　． 1．在Rt△ABC中，AC＝6，CB＝8，则Rt△ABC外接圆的半径为 　 　． 2．边长为2的正三角形的外接圆的面积是 　 　． 3．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长． 4．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC＝∠1，∠ABC＝∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 5．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若AB＝12m，AC＝5m，∠BAC＝90°，求小明家花坛的面积（结果保留π）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2过三点的圆 同步练习 题型一 确定圆的条件 1．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意； B．直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； C．半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； D．不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以6cm为半径 C．以点O为圆心，3cm为半径 D．经过已知点M 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．下列命题中，正确的命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．经过四点不能作一个圆 C．三角形有一个且只有一个外接圆 D．三角形外心在三角形的外面 【分析】根据确定圆的条件知，只有三点不在一条直线上才能确定一个圆，三角形的外心可能在三角形内，也可能在三角形上，根据以上知识点选择正确选项． 【详解】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，故该选项错误； B、若四点共线就不能确定一个圆，故该选项错误； C、三角形有一个且只有一个外接圆，该选项正确； D、三角形外心不一定在三角形的外面，还可能在三角形上，故该选项错误； 故选：C． 4．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【分析】根据确定圆的条件进行判断后即可求解． 【详解】解：因为不在同一直线上的三点确定一个圆， 故选：C． 5．已知线段AB＝5cm，经过A，B两点作半径为4cm的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【分析】根据确定圆的条件、圆心的确定方法解答即可． 【详解】解：作线段AB的垂直平分线，再分别以A、B为圆心、4cm为半径作弧， 由题意可知，弧与垂直平分线有两个交点， 这两个交点可以作为圆的圆心， 所以，经过A，B两点作半径为4cm的圆，这样的圆有两个， 故选：B． 6．下列说法中，正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形 【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误； B、三角形有且只有一个外接圆，原命题正确； C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误； D、圆有无数个内接三角形． 故选：B． 7．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　能　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：能．理由如下： 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得 ， 解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1， 当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7， 所以点C（4，﹣6）不在直线AB上， 即点A、B、C不共线， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 8．已知线段AB＝2cm． （1）画半径为1cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （2）画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （3）能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A，B两点吗？ 【分析】（1）由圆半径为1cm，AB＝2cm即可判断圆心是AB中点； （2）由圆半径为2cm，AB＝2cm即可判断圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）由圆半径为0.05cm，AB＝2cm，即可判断不能画出0.05cm的圆． 【详解】解：（1）画半径为1cm的圆，使它经过A，B两点，AB＝2cm，这样的圆能画一个，圆心是AB的中点； （2）画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，AB＝2cm，这样的圆能画两个，圆心在线段AB的垂直平分线上圆心到A点的距离是2cm； （3）由于0.05＜1，故不能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A，B两点． 9．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是　5x+2y≠9　． 【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可； 【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（1，2），B（3，﹣3）， ∴， 解得：k，b， ∴直线AB的解析式为yx， ∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时， ∴点C不在直线AB上， ∴5x+2y≠9， 故答案为：5x+2y≠9． 题型二 三角形的外接圆与外心 10．已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：直角三角形两条直角边为3，4， 那么此直角三角形的斜边为， 即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5， 故选：C． 11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆直径为（　　） A．5 B．12 C．13 D．6.5 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴， ∴△ABC的外接圆直径为13， 故选：C． 12．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（　　） A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定 【分析】连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），则圆心M的坐标为（2，0），然后求出⊙M的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0）， ∴圆心M的坐标为（2，0）， ∵A（0，4）， ∴AM2， ∵线段DM＝4， ∴DM＜半径AM， ∴点D在⊙M内， 故选：C． 13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（　　） A．1 B． C． D． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ACB是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，进而可得∠ABC＝∠ACB＝45°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，即可解答． 【详解】解：由题意得： AB2＝12+32＝10， AC2＝12+32＝10， CB2＝22+42＝20， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠ADC＝∠ABC＝45°， ∴sin∠ADC， 故选：D． 14．下列说法正确的是（　　） A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【分析】依据三点确定一个圆的条件可判断A，依据三角形的外心的定义可求得B作出判断，依据同圆或等圆中弧、圆心角之间的关系进行判断即可． 【详解】解：A、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B错误； C、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C正确；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误．故选：C． 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 16．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（　　） 甲：AC＝4； 乙：AC＝8； 丙：△ABC的外接圆半径为4． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【分析】根据题意画出图形，使∠ABE＝45°，AB＝6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D，根据等腰直角三角形的性质可得AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断甲乙；由前边所求出的AD的长和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在AB的上方，也可以在AB的下方，点C不唯一，即可判断丙． 【详解】解：如图，∠ABE＝45°，AB＝6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D， ∴AD＝BDAB＝3， ∵34， ∴不存在AC＝4的△ABC，故甲不符合题意； ∵AB＝6，AD＝3，AC＝8， 而AC＞6， ∴存在AC＝8的△ABC，如图，点C即是， ∴AC＝8，使得BC的长唯一成立，故乙符合题意； ∵AD＝34，AB＝6＜8， 当△ABC的外接圆半径为4． ∵∠B＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∴AC＝4， ∵4＜346＜8， ∴存在两个点C使△ABC的外接圆半径为4．两个外接圆的圆心分别在AB的上，下两侧， 故丙不符合题意； 故选：B． 17．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形外心的性质确定△ABC外心，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点M，则M（1，0）， 根据三角形的外心的性质可知，点M是△ABC外接圆的外心， 则△ABC外接圆的半径为：， 故选：D． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　9π　． 【分析】连接OB、OC，先证明OB＝OC，再由EF是AC的垂直平分线，可得OA＝OB＝OC,从而证明△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA,即可得到△ABC外接圆的面积． 【详解】解：连接OB、OC，如图： ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC, ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC, ∴△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA, 而OA＝3， ∴△ABC外接圆的面积为π•32＝9π， 故答案为：9π． 1．在Rt△ABC中，AC＝6，CB＝8，则Rt△ABC外接圆的半径为 　4或5　． 【分析】分类：①当BC是斜边时，r＝4；②当AB是斜边时，根据勾股定理求出AB＝10，r＝5． 【详解】解：①当BC是斜边时，则∠A＝90°， ∴BCRt△ABC外接圆的直径， ∴Rt△ABC外接圆的半径为BC8＝4； ②当AB是斜边时，则∠C＝90°， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴Rt△ABC的外接圆的半径为5． 综上所述：Rt△ABC的外接圆的半径为4或5． 故答案为：4或5． 2．边长为2的正三角形的外接圆的面积是 　　． 【分析】设△ABC是边长为2的正三角形，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点F，求得∠AOB＝∠AOC＝120°，则∠BOF＝∠COF＝60°，由OB＝OC，得OF⊥BC，BF＝CF＝1，则∠OFB＝90°，所以sin60°，则，所以OB，求得S⊙O，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，△ABC是边长为2的正三角形，⊙O是△ABC的外接圆， 连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点F， ∵∠AOB＝∠AOC360°＝120°， ∴∠BOF＝∠COF＝180°﹣120°＝60°， ∵OB＝OC，OF平分∠BOC，BC＝2， ∴OF⊥BC，BF＝CFBC＝1， ∴∠OFB＝90°， ∴sin∠BOF＝sin60°， ∴， 解得OB， ∴S⊙O＝π×（）2， 故答案为：． 3．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长． 【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可． 【详解】解：如图，作直径AD，连接CD． ∴∠ACD＝90°． ∵∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°． ∵⊙O的半径为6， ∴AD＝12． 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝6． ∴AC＝6． 4．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC＝∠1，∠ABC＝∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】如图作∠EAB＝∠1，∠FBA＝∠2，射线AE交射线BF于点C，点C即为所求． 【详解】解：如图作∠EAB＝∠1，∠FBA＝∠2，射线AE交射线BF于点C， 点C即为所求． 5．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若AB＝12m，AC＝5m，∠BAC＝90°，求小明家花坛的面积（结果保留π）． 【分析】（1）直接利用垂直平分线的性质得出花坛的面积即可； （2）直接利用直角三角形的性质得出其外接圆的半径进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：点O即为所求； （2）∵AB＝12m，AC＝5m，∠BAC＝90°， ∴BC13（cm）， ∴直角三角形ABC的外接圆半径为cm， ∴小明家花坛的面积为：（）2×ππ（cm2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$