湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年七年级上学期能力测试数学试卷（9月份）

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）能力测试数学试卷（9月份） 一、填空题（每题4分，共12题，满分48分） 1．（4分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　． 2．（4分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请 　 　个球队参加比赛． 3．（4分）用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案．则第2024个图案中有白色地面砖 　 　块． 4．（4分）计算：＝　 　． 5．（4分）某楼梯共有n级台阶，现规定每步可以迈1级2级或3级，设从地面到台阶的第n级有an种不同的迈法，则n＝10时a10＝　 　． 6．（4分）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 　 　岁． 7．（4分）若x是实数，则y＝|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为 　 　． 8．（4分）若质数m、n满足5m+7n＝129，则m+n＝　 　． 9．（4分）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，盒子里共有 　 　粒棋子． 10．（4分）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 　 　． 11．（4分）我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军． 如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小颖 a 26 小睿 b c 12 小涵 b 10 根据题中所给的信息，下列说法正确的是 　 　（填序号）． ①可求得a+b+c＝8； ②小睿每轮比赛都没有获得第一名； ③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名； ④每轮比赛第二名得分为2分． 12．（4分）已知w、x、y、z四个数都不等于0，也互不相等，如果w＝z+，那么w2x2y2z2＝　 　． 二、解答题（共8题，第13-16题每题8分，第17-20题每题10分，满分62分） 13．（8分）计算：1+2+3+4+…+100． 14．（8分）已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值． 15．（8分）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 16．（8分）已知x1、x2、x3、…、xn都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数． 17．（10分）任意一个大于1的正整数n都可以分割为两个正整数的和：n＝p+q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分割中，如果p、q两数的乘积最大，我们就称p+q是n的“最优分割”，并规定在“最优分割”时：F（n）＝，例如：7可以分解成1+6，2+5，3+4，因为1×6＜2×5＜3×4，所以3+4是7的“最优分割”，所以F（7）＝． （1）证明：任何一个大于0的偶数2k（k为正整数），都有F（2k）＝1； （2）一个三位自然数m，m＝100a+10b+c（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且m与其十位上数字的2倍之和能同时被3和7整除，求所有满足条件的m中F（m）的最小值． 18．（10分）如图所示，已知△ABC面积为1，点D、E、F分别在BC、CA、AB上，且BD＝2DC，CE＝2EA，AF＝2FB，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R，求△PQR的面积． 19．（10分）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． （1）如图2所示，则幻和＝　 　； （2）如图2所示，在（1）的条件下，若b＝2，c＝5，求a的值； （3）如图3所示： ①若A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，求整式F； ②若A＝2a+1，B＝a﹣2，D＝﹣ka﹣1，是否存在k的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出k的值及定值，若不存在，说明理由． 2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）能力测试数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一、填空题（每题4分，共12题，满分48分） 1．【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解． 【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键． 2．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解． 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， x（x﹣1）÷2＝21， 解得x＝7或﹣6（舍去）． 故应邀请7个球队参加比赛． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 3．【分析】分析：通过观察，前三个图案中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以会发现后面的图案比它前面的图案多4块白色地砖，可得第n个图案有4n+2块白色地砖． 【解答】解：∵第1个图案中有白色地砖有4×1+2＝6块， 第2个图案中有白色地砖有4×2+2＝10块， 第2个图案中有白色地砖有4×3+2＝14块， …… 猜想：第n个图案中有白色地砖4n+2块， ∴第2024个图案中有白色地面砖有2024×4+2＝8098． 故答案为：8098． 【点评】本题考查观察、归纳的能力，关键是能建立由特殊到一般的分析方法，得到本题的规律为：第n个图案有4n+2块白色地砖，从而得到结果． 4．【分析】根据的变化规律，把原式中各分数化为两分数之差的形式，然后用两互为相反数之和为零，得到结果． 【解答】解：， ＝（）+（）+（）+……+（）， ＝1﹣， ＝1﹣， ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了分数化简，相反数性质的应用，关键是发现分子是1，分母是两相邻数之积的分数化简规律，从而得到结果． 5．【分析】分别求出a1，a2，a3，…的值，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：当n＝1时， 只能迈1级到达第1级台阶， 所以a1＝1． 当n＝2时， 可以分两次迈1级，也可以一次迈2级， 所以a2＝2． 当n＝3时， 可以分三次迈1级，也可以先迈2级再迈1级，或先迈1级再迈2级，也可以一次迈3级， 所以a3＝4． 当n＝4时， 若先迈1级，则其余3级就有a3种方法； 若先迈2级，则其余2级就有a2种方法； 若先迈3级，则其余1级就有a1种方法； 所以a4＝a3+a2+a1＝4+2+1＝7． 同理可得， a5＝a4+a3+a2＝7+4+2＝13， a6＝a5+a4+a3＝13+7+4＝24， a7＝a6+a5+a4＝24+13+7＝44， a8＝a7+a6+a5＝44+24+13＝81， a9＝a8+a7+a6＝81+44+24＝149， a10＝a9+a8+a7＝149+81+44＝274． 故答案为：274． 【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据题意得出an＝an﹣1+an﹣2+an﹣3（n为大于等于4的正整数）是解题的关键． 6．【分析】设小雅爷爷是x岁，小雅是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小雅爷爷是x岁，小雅是y岁， 依题意得：， 解得：， 答：小雅的年龄是15岁． 故答案为：15． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．【分析】根据x＜1，1≤x≤3及x＞3三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出y的最小值即可． 【解答】解：当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣3＜0，此时y＝1﹣x+3﹣x＝4﹣2x， ∵x＜1， ∴﹣2x＞﹣2，即4﹣2x＞2； 当1≤x≤3时，x﹣1≥0，x﹣3≤0，此时y＝x﹣1+3﹣x＝2； 当x＞3时，x﹣1＞0，x﹣3＞0，此时y＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4， ∵x＞3， ∴2x＞6，即2x﹣4＞2， 综上，y＝|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即最小值为2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 8．【分析】先根据5m+7n＝129判断出m、n的奇偶性，再根据在所有偶数中只有2是质数可判断出m、n的值，代入所求代数式即可． 【解答】解：若m，n都是奇数，则5m+7n为偶数， ∵129是奇数， ∴m，n为一奇一偶， ∵m、n为质数， ∴m，n必有一个为2， 假设m＝2，则n＝17，m+n＝2+17＝19， 假设n＝2，则m＝23，m+n＝2+23＝25， ∴m+n＝19或25． 故答案为：19或25． 【点评】本题考查的是质数与合数的概念、奇数与偶数的概念，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一关键知识点． 9．【分析】根据题意，可以得到盒子里的棋子数，是是2，3，4，6的倍数+1，且是11的整数倍；得到棋子数是12的倍数+1，且也是11的倍数，不大于200，即可得到结果为． 【解答】解：根据题意，棋子数是2，3，4，6的倍数+1，且是11的整数倍， ∵2，3，4，6的最小公倍数是12， ∴可设棋子数为：12a+1，也可表示为：11b，且棋子数不多于200，（a，b为自然数）， ∴棋子数为：12×10+1＝11×11＝121． 故答案为：121． 【点评】本题考查了数字的规律推导，关键是根据题意得到棋子数是12的倍数多1，也是11的倍数，还小于200的条件，即可得到结果． 10．【分析】由排列组合中的不相邻问题插空法运算即可得解． 【解答】解：①除甲乙外，其余5个排列数为， ②用甲乙去插6个空位有， 综合①②得不同的排法种数是＝5×4×3×2×1×6×5＝3600． 故答案为：3600． 【点评】本地考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题． 11．【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，所以a+b+c＝8，然后根据小涵的得分，推得a≥5；再根据a＞b＞c及b+c最小取3，可知a＝5，进而求出b和c的值，再逐项判断即可． 【解答】解：∵每轮分别决出第1，2，3名（不并列）， ∴（a+b+c）×6＝26+12+10＝48， ∴a+b+c＝8，选项①符合题意； ∵小涵的得分最高为6a， ∴6a≥26， ∵a为正整数， ∴a≥5， ∵a＞b＞c，且a，b，c均为正整数， ∴b、c的最小值分别为2、1， ∴b+c≥3， ∵a+b+c＝8， ∴a≤5， 又∵a≥5， ∴a＝5，b＝2，c＝1，选项④符合题意； ∵26＝5×5+1， ∴小涵5轮得第一，1轮得第三； 假设小睿有1轮获得第1名， 则小睿的得分至少是5+2+1+1+1+1＝11（分），与小睿实际得了（10分）不符， ∴小睿没有1轮获得第1名，小颖有1轮获得第1名， ∴选项②不符合题意； ∵12﹣5﹣2﹣1＝4（分）， ∴小颖1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三， ∴小睿4轮得第二，2轮得第三， ∴选项③符合题意， 综上，可得：说法正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了推理，比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出a、b、c的值． 12．【分析】先根据w＝z+分别表示出w﹣x，x﹣y，y﹣z，z﹣w的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出w2x2y2z2的值． 【解答】解：∵w， ∴w﹣x＝﹣＝， 同理可得： x﹣y＝﹣＝， y﹣z＝， z﹣w＝， ∴（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）＝•••＝ ∴w2x2y2z2＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）＝． 二、解答题（共8题，第13-16题每题8分，第17-20题每题10分，满分62分） 13．【分析】从1到100是连续的100个数相加，把100个数首尾相加，第2个和倒数第2个相加，以此类推，共有50对，且每两个数的和，都是101，从而得到结果． 【解答】解：1+2+3+4+…+100 ＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51） ＝101×50 ＝5050． 【点评】本题考查了重点是有理数的运算，关键是能从这100个相加的连续自然数中发现规律：首尾相加，第2个和倒数第2个相加，以此类推，从而得到50对，他们的和相等，得到结果． 14．【分析】分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解． 【解答】解：∵a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3， ∴2b+c＝6，c＝6﹣2b， 代入a+b＝c+1得a＝7﹣3b， 代入b+c＝d+2得d＝4﹣b， 则a+b+c+d＝17﹣5b， 因为b≥0， 所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17． 【点评】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围． 15．【分析】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． （1）根据 原草量+每天生长的草量×放牧的天数＝每头牛每天吃草量×头数×天数 列出方程组，可解得x的值即为所求． （2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛． 要使牧草才永远吃不完，则有 每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求． 【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． （1）由题意得： 由②﹣①得 b＝12c ④ 由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c ⑤ 将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18 （2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤＝12． 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”． 16．【分析】可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式． 【解答】证明：，，…不是1就是﹣1，设这n个数中有a个1，b个﹣1，则a+b＝n，a×1+b×（﹣1）＝a﹣b＝0， 所以得：n＝2b， 又因为（•…）＝1， 即1a•（﹣1）b＝1， 由此得b为偶数， 又∵b＝2m， ∴n＝2b＝4m， 故n是4的倍数． 【点评】本题考查奇偶数的性质关键是先证n是偶数2k，再证明k是偶数． 17．【分析】（1）根据新定义找到“最优分割”，即可证明； （2）根据三位数各个位上的数字特征表示a、b、c之间的关系，再找出能被3和7整除的数，继续求它们的最小值即可． 【解答】（1）证明：2k（k为正整数）可以分解成（k﹣n）+（k+n）（n＜k且n是非负整数）， ∵（k﹣n）（k+n）＝k2﹣n2≤k2，即当n＝0时，（k﹣n）（k+n）乘积最大， ∴k+k是2k的“最优分割”， ∴F（2k）＝1． （2）解：∵十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和， ∴b＝a+c， ∴m+2b＝100a+10b+c+2b＝100a+10b+（a﹣b）+2b＝99a+13b， ∵m+2b能同时被3和7整除， ∴b一定是3的倍数， 又∵0≤b≤9， ∴b可能取值是3，6，9， ∴①当b＝3时，m+2b＝3（33a+13）（1≤a≤3）； ②当b＝6时，m+2b＝3（33a+26）（1≤a≤6）； ③当b＝9时，m+2b＝9（11a+13）（1≤a≤9）； ∴33a+13、33a+26、11a+13分别是7的倍数， 经检验a＝2，a＝3，a＝6，a＝9时成立， 所以满足条件的m有297，990，660，330， ∵990，660，330都是偶数， ∴990，660，330的F（m）＝1， ∵148+147是297的“最优分割”， ∴F（297）＝， ∴满足所有条件的m中F（m）的最小值是． 【点评】本题考查了新定义，审清题意理解新定义并根据新定义的要领解答是解题的关键． 18．【分析】连接BR，设△CDR的面积为a，△BRF的面积为b，利用S△CDR+S△BDR+S△BRF＝，S△BDR+S△BRF+S△ARF＝，列出方程组求出a的值，同理可求出S△APE＝S△BFQ，利用S△PQR＝S△BCE﹣（S△BCF﹣S△BFQ）﹣（S△ACD﹣S△APE﹣S△CDR）求解即可得出答案． 【解答】解：连接BR，设△CDR的面积为a，△BRF的面积为b， ∵BD＝2DC，AF＝2FB， ∴△BDR的面积为2a，△ARF的面积为2b， ∵已知△ABC面积为1， ∴S△CDR+S△BDR+S△BRF＝，S△BDR+S△BRF+S△ARF＝， ∴， 解得， ∴△CDR的面积为， 同理可得S△APE＝S△BFQ＝， S△PQR＝S△BCE﹣（S△BCF﹣S△BFQ）﹣（S△ACD﹣S△APE﹣S△CDR） ＝+S△BFQ﹣+S△APE+S△CDR ＝S△BFQ+S△APE+S△CDR ＝×3 ＝． 【点评】本题主要考查了面积与等积变换，解题的关键是正确作出辅助线，求出S△BFQ＝S△APE＝S△CDR＝． 19．【分析】（1）由幻和等于中心数的3倍即可得答案； （2）由b＝2，c＝5先求出第三行第二列的数字为11，再根据11+6+a＝18即得a的值； （3）①由A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7得幻和为12a+6，即得中心数E＝4a+2，从而I＝（12a+6）﹣a﹣（4a+2）＝7a+4，故F＝（12a+6）﹣C﹣I＝﹣4a﹣5； ②设E＝x，则幻和为3x，由A＝2a+1，B＝a﹣2，得C＝3x﹣3a+1，即得G＝3x﹣C﹣E＝﹣x+3a﹣1，根据A+D+G＝3x，D＝﹣ka﹣1，可得4x＝（﹣k+5）a﹣1，令﹣k+5＝0，﹣1＝4x，即可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得，幻和＝6×3＝18， 故答案为：18； （2）由（1）知幻和为18， ∵b＝2，c＝5， ∴第三行第二列的数字为：18﹣b﹣c＝18﹣2﹣5＝11， ∴11+6+a＝18， ∴a＝1； （3）①∵A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7， ∴幻和为：a+2a﹣1+9a+7＝12a+6， ∴中心数E＝（12a+6）÷3＝4a+2， ∵A＝a，E＝4a+2， ∴I＝（12a+6）﹣a﹣（4a+2）＝7a+4， ∵C＝9a+7，C+F+I＝12a+6， ∴F＝（12a+6）﹣C﹣I＝12a+6﹣（9a+7）﹣（7a+4）＝﹣4a﹣5； ②存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值， 设E＝x，则幻和为3x， ∵A＝2a+1，B＝a﹣2， ∴C＝3x﹣（2a+1）﹣（a﹣2）＝3x﹣3a+1， ∵C+E+G＝3x， ∴G＝3x﹣C﹣E＝3x﹣（3x﹣3a+1）﹣x＝﹣x+3a﹣1， ∵A+D+G＝3x，D＝﹣ka﹣1， ∴（2a+1）+（﹣ka﹣1）+（﹣x+3a﹣1）＝3x， ∴4x＝（﹣k+5）a﹣1， ∴﹣k+5＝0，﹣1＝4x， ∴k＝5，x＝﹣， ∴当k＝5时，九个整式的和为9x＝﹣， ∴存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中k＝5，定值为﹣． 【点评】本题考查规律型数学问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 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