清单01 数列的通项与求和（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）高二数学上学期湘教版2019

清单01 数列的通项与求和 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】求数列通项的方法 （1） 归纳法 由数列的前几项求数列的通项公式 ①各项的符号特征，通过或来调节正负项． ②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． ③相邻项(或其绝对值)的变化特征． ④拆项、添项后的特征． ⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律． （2）累加法 累加法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 （3）累乘法 累乘法适用于或型，通常利用an＝··…··a1，求出通项an. （4）已知Sn=f(n)求an 已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式． （5）已知Sn与an的关系求an 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. （6） 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. （7）倒数法 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 【清单02】求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． ②等比数列的前n项和公式 Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） （2）无理型 ① 如： （3）指数型 ① 如： 难点正本　疑点清源 1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 【考点题型一】归纳法 根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【例1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列各项可改写为：， 因此一个通项公式可为=.故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444， 则有，，，， 则数列的通项公式可以是，故选：C． 【考点题型二】累加法 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，则第n层小球的个数为 . 【答案】 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 所以，当时，第层的小球个数 ， 又时，，满足， 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）应用等差数列的定义证明即可； （2）运用累加法求出数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 【考点题型三】累乘法 【例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【答案】6 【分析】根据递推公式，并结合累乘法从而可求解. 【详解】因，故有， 即得，所以. 故答案为：6. 【变式3-3】（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 【考点题型四】已知Sn=f(n)求an 【例4】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式即得. 【详解】数列中，，， 当时，，显然满足上式， 数列的通项公式为. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为不符合上式， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【答案】 【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案. 【详解】因为， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 当时， ， 因为不满足上式， 所以. 故答案为： 【变式4-3】数列满足，则 ． 【答案】 【分析】 令，得到，结合与的关系，求得，进而求得，得到答案. 【详解】 令，的前项和为， 因为，可得， 当时， ； 当时，， 将代入上式可得， 综上可得，即，所以. 故答案为：. 【考点题型五】已知Sn与an的关系求an 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由，一一代入计算和的值即可，再由数列前三项结构猜测通项公式； （2）利用与的关系得出，再由累乘法计算即可. 【详解】（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 【变式5-1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】先根据关系化简，再根据等差数列求出通项最后应用裂项相消求和即可. 【详解】由题知，. 因为，所以, 两边同时除以得，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以所以， 因为， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 【变式5-2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【变式5-3】（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式可证明数列是首项为2，公差为1的等差数列，可求出其通项公式； （2）利用裂项求和即可求得. 【详解】（1）由，① 可得．② 由得． ，． 又当时，得． 解得（舍去） 可得数列是首项为2，公差为1的等差数列 即． （2）由（1）知， 可得． 因此； 可得 【考点题型六】待定系数构造法 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 【答案】 【分析】由题意可得是首项为，公比为的等比数列，即可求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】当时，， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 数列的前n项和. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得. 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 【考点题型七】倒数构造法 【例7】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【变式7-1】在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得， 即， 又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故， 故答案为： 【变式7-2】已知数列满足，，则的前n项和为 . 【答案】 【详解】解：数列满足，整理得：， 所以， 又， 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以的前项和 故答案为： 【考点题型八】公式法求数列的和 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，对任意，均有，求． 【答案】 【分析】根据与之间的关系可得，分析可知数列是首项为1，公比为4的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】由题意设等比数列的前n项和为，公比为q，可知． 令，得； 令，得； 且符合上式，所以，可得， 又因为，且， 可知数列是首项为1，公比为4的等比数列． 所以． 【变式8-1】（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【答案】A 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 【变式8-2】（24-25高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据的关系以及等比数列的定义求解即可； （2）直接根据等比数列的定义即可写出通项公式； （3）直接由等比数列求和公式运算即可. 【详解】（1）因为，① ，② 由①-②得， 所以. 当时，， 所以. 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）因为，， 所以. （3）因为在数列中，， 公比， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 当时，是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【考点题型九】分组求和 【例9】（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，所以，求得，所以； 由，得，所以，所以. （2）因为， 所以 . 【变式9-1】（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 【变式9-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由成等差数列得，即， 而，则，解得， 又，即，解得， 所以. （2）由（1）知，则，，， 所以 . 【考点题型十】裂项相消求和 【例10】已知数列的前项和满足，且． (1)求数列的前项和； (2)求数列的通项公式； (3)记，为前项和，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义求出通项； （2）利用前项和公式求数列通项； （3）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由已知， 数列是公差为的等差数列，且首项， ，即. （2）由（1）知当时，， 又也满足上式，． （3）由（2）知，， 列． 【变式10-1】（23-24高二下·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前99项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式，求得公差，进而得到所求. （2）由（1）的结论，利用裂项相消求和即可得解. 【详解】（1）等差数列中，，则公差，因此， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以. 【变式10-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解， （2）利用裂项求和即可求解. 【详解】（1）由得，， 点在函数的图象上， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 【变式10-3】（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，，代入题干表达式可得，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，最后结合公式，即可计算出数列的通项公式； （2）由（1）计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立． 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，， 又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， ． 【考点题型十一】倒序相加求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可. 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 【变式11-1】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【答案】D 【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可. 【详解】由， 得, , , 又， 所以， 所以. 故选：D. 【变式11-2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【考点题型十二】错位相减求和 【例12】（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 【变式12-1】（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可. 【详解】（1），. 当时，，解得， 当时，， . 数列是以3为首项，3为公比的等比数列， . （2）， ， ， 两式相减得， ， 即. 【变式12-2】（23-24高二下·安徽池州·期中）在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得及，即，解出可得的通项公式. （2）由题可得，由通项及前项和的关系式可得，结合（1）的结论可得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设数列等差数列的公差为， 为等差数列，且， ， 构成公比不为1的等比数列， ， ， 解得或(舍). ∴. （2）因为， 当时，即， 当时， 所以， 由（1）知，， 当时也成立， 所以， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 【考点题型十三】并项求和 【例13】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列的基本量运算求出，然后利用并项求和法求解即可. 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 【变式13-1】（23-24高二下·北京·期中）在数列中，，且，则其前项的和为（    ） A．841 B．421 C．840 D．420 【答案】A 【分析】设数列的前项和为，则，利用等差数列求和公式计算可得. 【详解】设数列的前项和为，因为，且， 则 . 故选：A 【变式13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，． (2)100. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 数列的通项与求和 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】求数列通项的方法 （1） 归纳法 由数列的前几项求数列的通项公式 ①各项的符号特征，通过或来调节正负项． ②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． ③相邻项(或其绝对值)的变化特征． ④拆项、添项后的特征． ⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律． （2）累加法 累加法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 （3）累乘法 累乘法适用于或型，通常利用an＝··…··a1，求出通项an. （4）已知Sn=f(n)求an 已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式． （5）已知Sn与an的关系求an 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. （6） 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. （7）倒数法 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 【清单02】求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． ②等比数列的前n项和公式 Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） （2）无理型 ① 如： （3）指数型 ① 如： 难点正本　疑点清源 1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 【考点题型一】归纳法 根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【例1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】累加法 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，则第n层小球的个数为 . 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【考点题型三】累乘法 【例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【变式3-3】（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【考点题型四】已知Sn=f(n)求an 【例4】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【变式4-2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【变式4-3】数列满足，则 ． 【考点题型五】已知Sn与an的关系求an 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【变式5-1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为 ． 【变式5-2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【变式5-3】（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【考点题型六】待定系数构造法 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【变式6-1】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式6-3】（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【考点题型七】倒数构造法 【例7】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【变式7-1】在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【变式7-2】已知数列满足，，则的前n项和为 . 【考点题型八】公式法求数列的和 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，对任意，均有，求． 【变式8-1】（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【变式8-2】（24-25高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 【考点题型九】分组求和 【例9】（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式9-1】（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【考点题型十】裂项相消求和 【例10】已知数列的前项和满足，且． (1)求数列的前项和； (2)求数列的通项公式； (3)记，为前项和，求． 【变式10-1】（23-24高二下·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前99项和. 【变式10-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【变式10-3】（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【考点题型十一】倒序相加求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式11-1】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【变式11-2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【考点题型十二】错位相减求和 【例12】（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【变式12-1】（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式12-2】（23-24高二下·安徽池州·期中）在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【考点题型十三】并项求和 【例13】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【变式13-1】（23-24高二下·北京·期中）在数列中，，且，则其前项的和为（    ） A．841 B．421 C．840 D．420 【变式13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$