专题01 数列的通项与求和（考题猜想，易错必刷60题13种题型）高二数学上学期湘教版2019

专题01 数列的通项与求和 （易错必刷60题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 归纳法求通项（5小题） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 2、 累加法（5小题） 6．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（   ） A．271 B．331 C．1531 D．3067 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3、 累乘法（4小题） 10．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 11．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 12．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 13．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 4、 已知求（5小题） 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 15．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 17．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为，且，则 . 18．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 5、 已知与的关系求通项（4小题） 19．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 20．（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，若，则 ，数列的前项和 ． 21．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）数列的前项和记为，若，则 ． 22．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 6、 待定系数构造法（5小题） 23．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 24.（22-23高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 26．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）设数列的前项和为，若，，则 ． 27．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 7、 倒数构造法（5小题） 28.（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 29.（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 32．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 8、 公式法求数列的和（4小题） 33．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的通项公式为，，则的前项和等于（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 35．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 9、 分组求和（5小题） 37．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 38．（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 39．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 40．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 41．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 10、 裂项相消求和（6小题） 42．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 44．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求的值． 45．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 46．（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 47．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11、 错位相减法（4小题） 48．（23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 49．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，令，求数列的前n项和． 50．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. (3)求数列的前项和 51．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 12、 倒序相加法（4小题） 52．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 53．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 54．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 55．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 13、 并项法（3小题） 56．（24-25高二上·全国·课后作业）求值：等于（   ） A． B． C． D．1012 57．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 58．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，若为数列的前项和，则（    ） A．408 B．672 C．840 D．1200 59．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）数列的前100项和等于 . 60．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . $$专题01 数列的通项与求和 （易错必刷60题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 归纳法求通项（5小题） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【详解】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】A 【分析】利用观察法求出数列的通项公式即可得解. 【详解】数列的前5项依次为，则， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除选项即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察法，结合选项直接得出结果. 【详解】由题意知，数列，可改写为， 该数列的奇数项为正值，偶数项为负数， 前4项的分母为，分子为， 所以数列的通项公式为. 故选：B 5．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【详解】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 2、 累加法（5小题） 6．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义翻译出，然后用累加法求出，再用等比数列求和公式求解即可. 【详解】据题意，得，所以， 所以， 所以．又，所以，所以， 所以 故选：D． 7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（   ） A．271 B．331 C．1531 D．3067 【答案】A 【分析】根据题意可得相邻两项的差为等差数列，利用累加法求解. 【详解】由题意，，，， ，， 累加可得， 所以， 故选：A 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解. 【详解】由题意数列满足，且， 所以数列是等差数列，且， 所以， 当时，， 又， 所以， 所以，而，所以当或时，取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，的最小值为5. 故选：B. 3、 累乘法（4小题） 10．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 11．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 12．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【答案】 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据计算可得，利用累乘法计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. 【详解】（1）令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即， 所以（，）， 又，符合上式，所以（）． （2）由（1）， 所以． 4、 已知求（5小题） 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】分解因式化简条件式得，利用与的关系计算即可. 【详解】由可得， 所以（舍），， 当时，， 当时，， 将代入，， 所以的通项公式是 故答案为：． 15．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【答案】 【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案. 【详解】因为， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 当时， ， 因为不满足上式， 所以. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为不符合上式， 所以. 故答案为： 17．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】借助与前项和为的关系计算即可得. 【详解】当时，， 则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 18．（23-24高二下·江西景德镇·期中）若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论. 【详解】当时，, 又，所以； 当时，， 因为，也满足关系， 所以. 故答案为：. 5、 已知与的关系求通项（4小题） 19．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得即可得解. 【详解】，解得， 当时，，即， 所以，所以. 故选：D. 20．（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，若，则 ，数列的前项和 ． 【答案】 【分析】根据已知条件先求出首项，再利用即可求解；再结合等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】因为，即， 所以当，， 当，， 整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以数列的前项和为： . 故答案为：；. 21．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）数列的前项和记为，若，则 ． 【答案】 【分析】利用得，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由已知得， 当时，，即， 又，得， 所以. 故答案为：. 22．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列的定义及通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 则 ， 故，即， 当时，有，即， 故是公差、首项均为的等差数列，故． （2）由（1）得， 故， 则． 因为，故， 又在上单调递减， 故随的增大而增大，故， 综上，． 6、 待定系数构造法（5小题） 23．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 24.（22-23高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以. 故选：C. 25．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 26．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）设数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】1536 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出，再由计算可得. 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 27．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【答案】 【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得，借助等比数列前项和公式即可得. 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则， . 故答案为：；. 7、 倒数构造法（5小题） 28.（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 29.（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用构造法求出数列的通项公式，再求出数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，， 所以. 故选：C 30．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可. 【详解】， ， 即， 两边同时除以得：， 即， 令，则， 则是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 则，则. 故选：D 31．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2021. 32．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造等差数列的方法，先求得，进而求得. 【详解】由，得， 所以， 所以，两边取倒数得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， . 故选：A 8、 公式法求数列的和（4小题） 33．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的通项公式为，，则的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，得是以为首项，公差为的等差数列，再根据等差数列的前项和公式即可求得. 【详解】由，， 则，， 又， 是以为首项，公差为的等差数列. 由等差数列的前项和公式知，. 故选：A. 34．（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和公式求解. 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 35．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列求和公式计算化简即可. 【详解】从今年起到第年，这个厂的总产值为， 故选：B. 36．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 【答案】104 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出利用等差数列求和公式求前5项与后2项的和，相加即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，，所以. 所以所以前7项之和为. 故答案为：104. 9、 分组求和（5小题） 37．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 【答案】C 【分析】利用并组求和、等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得 ． 故选：C. 38．（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 【答案】B 【分析】代入递推关系式，直接求和. 【详解】由可知， ， . 故选：B 39．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【分析】由题意数列的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1为公差的等差数列，分组求和即可. 【详解】由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 故答案为：. 40．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，求出公差的值，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求出，再由分组求和法求和即可． 【详解】（1）因为成等比数列，所以， 设等差数列的公差为，所以，解得：， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以 . 41．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可； （2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 设的公差为d，则， 所以； （2）由题意知，， 易知， 故 . 10、 裂项相消求和（6小题） 42．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 43．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用裂项相消法，结合指数的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意得， 则，则， 得，解得， 故选：A 44．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式、求和公式列出方程即可得解； （2）化简数列通项公式，利用相加相消法求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 则 解得，， 故． （2）由（1）可得， 则． 45．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可； （2）化简表达式，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为．因为，且， 所以， 解得，所以． （2）由（1）得，所以， 所以， 所以． 46．（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，解出，再利用其前项和公式即可； （2）化简得，再利用裂项求和和分组求和即可. 【详解】（1）， ， . （2）， . 47．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一步相减法得到数列通项的关系，结合等比数列的通项公式求解即可. (2)运用裂项相减法求解数列的前项和. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减，得，即， 又， ，满足上式， 即数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2） ， . 11、 错位相减法（4小题） 48．（23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配凑法证得数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，进而求得的通项公式. （2）利用错位相减法求得数列的前项和. 【详解】（1）数列 满足 ， 整理得 ，又， 即 (常数)， 所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 故 ， 整理得 . （2）由于 ，所以 ， 所以 ①， ②， ① - ②得： ， 所以 . 49．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得； （3）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）设公差为d，中，令得， 又，则，解得， 故； （2）； （3）， 则①， 故②， 故①－②得 ， 故． 50．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. (3)求数列的前项和 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）根据条件得到，从而有是以为首项，公差的等差数列，即可求解； （3）根据条件，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式. （2），即，所以， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，得到. （3）， 所以①， 则②， ①②，得. 则. 51．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 12、 倒序相加法（4小题） 52．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 53．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 54．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 55．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 13、 并项法（3小题） 56．（24-25高二上·全国·课后作业）求值：等于（   ） A． B． C． D．1012 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合并项求和运算求解. 【详解】因为， 所以 ． 故选：B. 57．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列的基本量运算求出，然后利用并项求和法求解即可. 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 58．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，若为数列的前项和，则（    ） A．408 B．672 C．840 D．1200 【答案】D 【分析】根据条件得到和，再分组求和，即可求出结果. 【详解】由， 所以 当时，， 当时，， 两式相加，得， 所以 ． 当时，． 由， 两式相减，得， 所以， 所以． 故. 故选：D． 59．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）数列的前100项和等于 . 【答案】100 【分析】根据摆动数列特点，将数列的前100项和进行分组求和，利用等差数列求和公式计算即得. 【详解】的前100项和等于： . 故答案为：100. 60．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 【答案】69 【分析】由分组求和法即可得解. 【详解】 . 故答案为：69. $$