2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系. 2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,能解决直线与圆锥曲线的综合问题. 3.重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1.若直线与圆锥曲线有两个交点,则直线与圆锥曲线是什么关系? 提示:相交. 2.当直线与圆锥曲线相交时,直线与圆锥曲线一定有两个交点吗? 提示:不一定. 3.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相离、相交和相切. (1)从几何角度来判断,当相离和相切时,直线与圆锥曲线分别无公共点和有一个公共点;当相交时,直线与椭圆有两个公共点,但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时,直线与抛物线的对称轴平行时)或两个. (2)从代数角度来判断,将直线方程和圆锥曲线方程组成方程组,消去y(或x)得到关于x(或y)的一元方程,当方程无解时,必相离;当方程有两组解时,必 相交;当方程有一组解时,若化为x(或y)的方程的二次项系数非零,判断式为零,则必相切,若二次项系数为零,则必相交. 4.直线y=x+1与椭圆x2+ =1的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 答案:C 二、圆锥曲线的弦 1.若直线y=kx+m(k≠0)与圆锥曲线F(x,y)=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则A,B两点之间的距离是多少?(用k,x1,x2表示或用k,y1,y2表示) 2.一般地,直线与圆锥曲线有两个公共点时,则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦,线段的长就是弦长.简单地说,圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段. 若直线l的斜率为k,与圆锥曲线C交于A(x1,y2),B(x2,y2)两点,则 3.椭圆x2+4y2=16被直线y= x+1截得的弦长为　　　　　.  【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若直线与抛物线交于一点,则直线与抛物线相切.(　　) (2)若直线与圆锥曲线的相交弦为AB,且已知点A(x1,y1),点B(x2,y2),则 (k为AB所在直线的斜率).(　　) (3)一条直线与双曲线的两支的交点个数最多为3.(　　) (4)若直线l与圆锥曲线交于M,N两点,则线段MN就是此圆锥曲线的一条弦. (　　) × √ × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】 当m为何值时,直线y=x+m与椭圆 +y2=1相交、相切、相离? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 试证明直线y=mx+1与椭圆 +y2=1不可能相离. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 判断直线与圆锥曲线的位置关系或求直线与圆锥曲线的交点个数问题,其常用方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程,消元化成一元二次(或一次)方程通过二次(或一次)方程解的个数来判断. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 已知双曲线x2- =1,直线l的斜率为k,且过点P(1,1),当k为何值时,直线l与双曲线: (1)有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)无公共点? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 弦长问题 【例2】 如图,过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点M在直线x=2上,求弦AB的长. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 将y=kx+2代入y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0,Δ>0, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解决此类问题的两种方法 (1)设出直线方程,将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,可先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系求解. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 过点P(-1,1)的直线与椭圆 交于A,B两点,若线段AB的中点为点P,求AB所在的直线方程及弦长|AB|. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 因为点P为AB的中点, 所以x1+x2=-2,y1+y2=2. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 圆锥曲线的最值、取值范围问题 探究一 探究二 探究三 易错辨析 得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0. 由Δ=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0,得a2+b2>1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), ∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,∴2x1x2-(x1+x2)+1=0, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求圆锥曲线中的最值、取值范围问题一般有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值或取值范围的几何量或代数式表示为某个参数的函数,然后利用函数的性质或不等式进行求解. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 忽略题目中的限制条件而致误 【典例】 已知双曲线x2- =1,判断过点A(1,1)是否存在直线l,使l与双曲线交于P,Q两点,并且A为线段PQ的中点.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上面求解过程忽略了直线l与双曲线相交这一限制条件,故需要对求得的直线方程进行检验. 正解:同错解得,直线l的方程为2x-y-1=0. 此时Δ=-8<0,即所求直线l与双曲线不相交,不符合题意. 故直线l不存在. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在求解直线与圆锥曲线相交的问题时,最后一定要检验所求直线与圆锥曲线是否相交. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 已知双曲线x2-4y2=4,判断过点A(3,-1),且被点A平分的弦MN是否存在.若存在,求出弦MN所在直线的方程;若不存在,请说明理由. 解:由题意可知,所求直线方程的斜率存在,设过A(3,-1)的直线方程为 y=k(x-3)-1, 代入双曲线方程,整理得(4k2-1)x2-8k(3k+1)x+36k2+24k+8=0. 若直线与双曲线交于M(x1,y1),N(x2,y2), 则k2≠ 且Δ>0, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F( ,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(　　) 解析:由题意知,椭圆的焦点在x轴上,且过点(2,2).故选C. 答案:C 2.若直线y=x+1被抛物线y2=2px截得的弦长为2 ,则抛物线方程为(　　) A.y2=2x B.y2=6x C.y2=-2x或y2=6x D.以上都不对 解析:把x=y-1代入y2=2px,得y2-2py+2p=0,Δ>0. 设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则y1+y2=2p,y1y2=2p,k=1, 解得p=-1或p=3.满足Δ>0. 故抛物线方程为y2=-2x或y2=6x.故选C. 答案:C 3.(多选题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的值不可能是(　　) A.-2 B.-1 C. D.2 答案:AD 4.若双曲线x2-y2=a2与直线y=ax(a>0)没有公共点,则a的取值范围是　　　　　　　.  答案:[1,+∞) 5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率为　　　　　　　.  答案:不存在 6.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,求m的取值范围. 得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, ∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). ∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0对任意k∈R都成立. ∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又椭圆的焦点在x轴上, ∴0<m<5,∴1≤m<5. (方法二)∵直线y=kx+1过定点M(0,1), ∴要使直线与椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上. 提示:|AB|= = = 或|AB|=|y1-y2|=. |AB|=·|x1-x2|=或|AB|=·|y1-y2|=(k≠0). 答案: |AB|=|x1-x2| 解:由消去y,得+(x+m)2=1, 整理得5x2+8mx+4m2-4=0. 故Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当Δ>0,即-<m<时,直线与椭圆相交; 当Δ=0,即m=±时,直线与椭圆相切; 当Δ<0,即m<-或m>时,直线与椭圆相离. 证明:∵直线y=mx+1恒过点P(0,1),而点P在椭圆+y2=1上, ∴直线y=mx+1与椭圆至少有一个交点. ∴直线y=mx+1与椭圆+y2=1不可能相离. 解:由题意,得双曲线的渐近线为y=±,直线l:y-1=k(x-1), 即y=kx+(1-k). 由 得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0. 当k2-2=0,即k=±时,方程只有一解,此时直线l与双曲线只有一个公共点. 当k2-2≠0即k≠±时,Δ=24-16k. 若Δ=0,即k=,则方程只有一解,此时直线与双曲线只有一个公共点; 若Δ>0,即k<,则方程有两解,此时直线与双曲线有两个公共点; 若Δ<0,即k>,则方程无解,此时直线与双曲线无公共点. 综上,(1)当k=±或k=时,直线l与双曲线只有一个公共点. (2)当k<,且k≠±时,直线l与双曲线有两个公共点. (3)当k>时,直线l与双曲线无公共点. 则x1+x2=-,x1x2=. 又点M为AB的中点,且点M在直线x=2上, 则=-=2,解得k=-2或k=1. 当k=1时,Δ>0不成立,舍去. 故k=-2,x1+x2=4,x1x2=1. 故|AB|==2. =1 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B两点在椭圆上,得 由①-②,得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0. 若x1=x2,则y1=-y2,此时点P显然不是AB的中点,所以x1≠x2, 故kAB==-. 所以kAB=. 所以AB所在的直线方程为y-1=(x+1), 即x-2y+3=0. 由消去y,得3x2+6x+1=0, 所以x1+x2=-2,x1x2=, 所以|AB|=. 【例3】 椭圆=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于点P,Q,且(O为原点). (1)求证:为定值; (2)若椭圆的离心率e∈,求椭圆长轴长的取值范围. (1)证明:由 则x1+x2=,x1x2=. ∵,∴x1x2+y1y2=0, ∴+1=0,∴a2+b2=2a2b2,∴=2,为定值. (2)解:∵e=,∴b2=a2-c2=a2-a2e2. ∵由(1)得a2+b2=2a2b2,∴2-e2=2a2(1-e2), ∴a2=. ∵≤e≤,∴≤a2≤, ∴≤a≤, ∴椭圆长轴长的取值范围为[]. 【变式训练3】 如图,椭圆C:=1(a>2)的焦点在x轴上,左、右顶点分别为A1,A,上顶点为B.抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2的交点P在直线y=x上. (1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程; (2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于 不同两点M,N,已知点Q(-,0),求的最小值. 解:(1)由题意,得A(a,0),B(0,), ∴抛物线C1的方程可设为y2=4ax, 抛物线C2的方程为x2=4y. 由得a=4,P(8,8). ∴椭圆C的方程为=1,抛物线C1的方程为y2=16x,抛物线C2的方程为x2=4y. (2)由题意,直线OP的斜率为,故直线l的斜率为-,可设直线l的方程为y=-x+b, 由消去y,整理得5x2-8bx+(8b2-16)=0. ∵动直线l与椭圆C交于不同的两点, ∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0,解得-<b<. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, y1y2=x1x2-(x1+x2)+b2=. ∵=(x1+,y1),=(x2+,y2), ∴=(x1+,y1)·(x2+,y2)=x1x2+(x1+x2)+y1y2+2=. ∵-<b<,∴当b=-时,取得最小值,其最小值为 =-. 错解:设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 由①-②得,(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2). 因为点A(1,1)为线段PQ的中点, 所以x1+x2=2,y1+y2=2. 所以x1-x2=(y1-y2). 又x1≠x2,所以直线l的斜率为k==2. 所以符合题设条件的直线l存在,其方程为2x-y-1=0. 又由得2x2-4x+3=0, 由根与系数的关系,得x1+x2=. ∵点A平分弦MN,∴=3, 解得k=-.满足k2≠且Δ>0.∴弦MN存在. ∴弦MN所在直线方程为y=-(x-3)-1, 即3x+4y-5=0. A.+y2=1 B.x2+=1 C.=1 D.=1 由题意知,=2, 解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2). 由联立,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,Δ>0.则x1+x2=-, 故=-=-1+,即Q. 又|FQ|=2,F(1,0),∴=4, 解得k=±1,不满足Δ>0. 故直线l的斜率不存在. =1 解:(方法一)由消去y, ∴解得1≤m<5. $$