专题02 常用逻辑用语求参数取值范围的4种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略(人教B版2019必修第一册)

专题02 常用逻辑用语求参数取值范围的4种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由命题的真假求参数的取值范围 2 类型二、全称量词命题、存在量词命题为真假命题时求参数 4 类型三、恒成立求参数取值范围 6 类型四 充分、必要、充要条件求参数取值范围 8 压轴能力测试 9 1．全称量词命题的真假判断 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 2．全称量词命题否定的真假判断 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 3．存在量词命题的真假判断 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 4．存在量词命题否定的真假判断 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 5. 充分不必要条件的判断： 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 6. 必要不充分条件的判断： 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 7. 充要条件的判断： 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 8．既不充分也不必要条件的判断 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 类型一 由命题的真假求参数的取值范围 由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤 第一步,明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件; 第三步，化简相应的条件,求出参数的取值范围，若求命题为假时参数的取值范围，则应求命题为真时参数取值范围对应的补集. 例1．设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，关于的方程无实数根. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为真为假，求实数的取值范围. 【变式训练1】已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【变式训练2】设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【变式训练3】已知命题P：不等式的解集中的整数有且仅有-1，0，1.求a的取值范围. 命题Q：集合且. （1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围； （2）当实数a取何值时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题； （3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若全集，，求实数m的取值范围. 类型二 全称量词命题、存在量词命题为真假命题时求参数 已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常转化为-p是真命题后,再求参数的值或取值范围. (1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题,可构造函数,利用数形结合、分离参数等方法求参数的范围(值). (2)已知存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题时,通常先假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值). 例2．已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式训练1】（2023·河南商丘·期中）已知． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 【变式训练2】（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题：，；命题：，． (1)若是真命题，求的最大值； (2)若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【变式训练3】（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【变式训练4】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【变式训练5】命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 类型三 恒成立求参数取值范围 “恒成立”问题,这是一类综合性强,且有一定难度的问题,解决有关“恒成立”的问题时,若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 例3．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【变式训练1】已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练2】已知命题，且，命题，恒成立，若命题为真命题则的取值范围是： ，为假命题，则的取值范围是 . 【变式训练3】（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【变式训练4】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知命题，，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立; (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【变式训练5】设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 类型四 充分、必要、充要条件求参数取值范围 根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围的步骤 (1)记集合,. (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系:若p是q的充分不必要条件,则;若p是q的必要不充分条件,则NM;若p是q的充要条件,则M=N. (3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组). (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围. 例4．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练3】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【变式训练4】已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 1．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·河南驻马店·阶段练习）下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 3．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 5．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是 ． 7．已知命题，方程有两个正根，求实数的取值范围，使命题、有且只有一个为真命题. 8．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语求参数取值范围的4种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、由命题的真假求参数的取值范围 3 类型二、全称量词命题、存在量词命题为真假命题时求参数 6 类型三、恒成立求参数取值范围 11 类型四 充分、必要、充要条件求参数取值范围 15 压轴能力测试 19 1．全称量词命题的真假判断 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 2．全称量词命题否定的真假判断 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 3．存在量词命题的真假判断 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 4．存在量词命题否定的真假判断 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 5. 充分不必要条件的判断： 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 6. 必要不充分条件的判断： 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 7. 充要条件的判断： 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 8．既不充分也不必要条件的判断 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 类型一 由命题的真假求参数的取值范围 由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤 第一步,明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件; 第三步，化简相应的条件,求出参数的取值范围，若求命题为假时参数的取值范围，则应求命题为真时参数取值范围对应的补集. 例1．设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，关于的方程无实数根. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为真为假，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据命题为真，得到对应方程无实根，由判别式小于零即可求出结果； （2）根据为真，先求出的范围，再由为真为假，即可求出结果. 【详解】（1）当为真时，即方程无实数根，所以有， 整理得，解得； 所以的取值范围是； （2）当为真时，即方程有两个不相等的实数根， 所以有，解得或； 因为为真为假， 所以，解得或； 所以实数的取值范围是. 【变式训练1】已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则 ， 解得：，故m的取值范围为 （2）若方程无实根，则，解得：， 当真假时， ，解得：； 当假真时， ，解得：， 综上可知：的取值范围是或. 故m的取值范围为 【变式训练2】设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围. 【详解】对于：成立，而，有， ∴，∴. ：存在，使得不等式成立，只需， 而，∴，∴； （1）若为真，则； （2）若为假命题，为真命题，则，一真一假. 若为假命题，为真命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则，所以. 综上，或. 【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题. 【变式训练3】已知命题P：不等式的解集中的整数有且仅有-1，0，1.求a的取值范围. 命题Q：集合且. （1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围； （2）当实数a取何值时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题； （3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若全集，，求实数m的取值范围. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）解不等式得到，根据整数解得到不等式解得答案；讨论和两种情况，分别计算得到答案. （2）讨论当真假时和当真假时两种情况，分别计算得到答案. （3）根据得到，计算，得到，根据范围大小得到答案. 【详解】（1）则，解集中的整数有且仅有-1，0，1. 则 解得： 且 当时：解得； 当时：且 解得 综上所述： （2）当真假时：不成立；当真假时： 综上所述： （3）， 利用均值不等式 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，意在考查学生的推断能力和计算能力. 类型二 全称量词命题、存在量词命题为真假命题时求参数 已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常转化为-p是真命题后,再求参数的值或取值范围. (1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题,可构造函数,利用数形结合、分离参数等方法求参数的范围(值). (2)已知存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题时,通常先假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值). 例2．已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式训练1】（2023·河南商丘·期中）已知． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题等价于一元二次不等式在实数集上恒成立，当且仅当，由此即可求解. （2）先求出命题为真命题时的取值范围，然后再分类讨论即可求解. 【详解】（1）由，若为真命题， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）若为真命题， 则， 只需，所以，分以下两种情形来讨论： 情形一：若一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时， 则，解得， 情形二：当是假命题，是真命题时， 则，解得， 综上所述. 【变式训练2】（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题：，；命题：，． (1)若是真命题，求的最大值； (2)若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）a小于等于的最小值即可；（2）分p真q假，p假q真两种情形讨论. 【详解】（1）根据题意，若p是真命题，即恒成立， 当时，的最小值为1， 所以，即a的最大值为1； （2）若q是真命题，，解得或， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若p假q真，则,所以， 综上，或， 故的取值范围为或 【变式训练3】（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果. 【详解】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即在恒成立，所以， 即实数的取值范围是. （2）当命题为真命题时，因为， 所以，解得或， 因为为真命题，则， 又由（1）可知，命题为真命题时， 所以且，即实数的取值范围是. 【变式训练4】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由集合包含关系有且，即可求参数范围； （2）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围. 【详解】（1）由，，则， 即且，故，解得， 故实数的取值范围为. （2）命题“，”为假命题， 命题的否定“，”为真命题， ，即，解得， 实数的取值范围是. 【变式训练5】命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当为真命题时，，求解即可； （2）当命题为假命题时，，求解即可； （3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解 【详解】（1）若命题为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）若命题为假命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则 或， 解得， 故命题与命题中至少有一个为真命题， 则或 所以实数的取值范围是. 类型三 恒成立求参数取值范围 “恒成立”问题,这是一类综合性强,且有一定难度的问题,解决有关“恒成立”的问题时,若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 例3．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 【变式训练1】已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题“，恒成立”是真命题. 当时，则有恒成立，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2】已知命题，且，命题，恒成立，若命题为真命题则的取值范围是： ，为假命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】首先由得到命题为真时参数的取值范围，由 为假命题可知，为假，或者为假，或者和同时为假，分类讨论三种情况后即可得出答案． 【详解】解：当为真时，由恒成立，则，解得， 当命题，，为真命题时，， 由 为假命题可知，为假，或者为假，或者和同时为假， 所以当，同时为真时有且，即． 又为假命题，所以或． 故答案为：； 【点睛】本题考查全称命题为真时求参数的取值范围，根据复合命题的真假确定参数的范围，本题可能会有同学遗漏与同时为假的情况，在做题过程中要考虑全面，属于中档题． 【变式训练3】（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】（1）对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 【变式训练4】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知命题，，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立; (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围; (2)若命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接由方程的根求出参数的范围； （2）由韦达定理表示出方程的根，再转化成恒成立问题求参数的范围. 【详解】（1）得，两根， ，，命题p为真命题， （2）由（1）知p真：， 当命题q为真命题时：， 对任意实数恒成立， 因为 或 若命题p，q有且只有一个为真命题，则： p真q假：得 p假q真：得或 综上：或 【变式训练5】设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围； （2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，于此可求出实数的取值范围. 【详解】对于成立，而，有， ∴，∴ 存在，使得不等式成立，只需 而，∴，∴； （1）若为真，则； （2）若为假命题，为真命题，则一真一假. 若为假命题，为真命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则，所以. 综上，或. 类型四 充分、必要、充要条件求参数取值范围 根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围的步骤 (1)记集合,. (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系:若p是q的充分不必要条件,则;若p是q的必要不充分条件,则NM;若p是q的充要条件,则M=N. (3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组). (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围. 例4．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 【变式训练2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式训练3】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 【变式训练4】已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果； （2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果. 【详解】（1）若，则， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则， 所以，解得． 又，所以， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则， 所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 1．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，则，则， 又因为表示不大于的最大整数， 所以不等式的解集为：， 因为所求的时不等式成立的充分不必要条件， 所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B. 2．（21-22高一上·河南驻马店·阶段练习）下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项. 【详解】若“是集合的真子集” 所以， 所以方程有实数解， 当时，由可得，符合题意， 当时，由可得， 所以且， 综上所述：的充要条件为； 即“是集合的真子集”成立充要条件为； 所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集， 由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确； 故选：D. 3．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 5．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】或. 【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围． 【详解】解：，不等式恒成立； 即恒成立； 由于的最小值为2， 故为真命题时， ，有最小值． 表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立 即，解得 故为真命题时， 两个命题中有且只有一个是真命题， 当真假时，或，，，或， 当假真时，这样的值不存在 故实数的取值范围是或 故答案为：或. 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键． 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是 ． 【答案】 【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解. 【详解】由，得，即， ，或，则当时，恒成立，于是， 此时的根为， 于是，，又，解得； 又，，显然，则，，而， 即，，显然，否则，，不符合题意， 当，即时，，解得，此时，符合题意，因此； 当，即时，，解得，与矛盾， 所以m取值范围是. 故答案为: 7．已知命题，方程有两个正根，求实数的取值范围，使命题、有且只有一个为真命题. 【答案】 【分析】先求出命题为真命题时实数的取值范围，然后分两种情况讨论：真假、假真两种情况讨论，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根分别为、， 若命题为真命题，即方程有两个正根，即， 解得. 由于命题、有且只有一个为真命题，则真假、假真. ①若真假，则，此时； ②若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 8．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【详解】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$