专题01 集合与逻辑（考点清单，知识导图+12个考点清单+题型解读）高一数学上学期湘教版2019

清单01 集合与逻辑 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】集合 （1）集合及其表示 ①定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集； ②记法：集合通常用大写字母、、、…来表示； ③常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； （2）元素 ①定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素； ②记法：通常用小写字母、、、…来表示； ③性质：确定性、互异性 、无序性. （3）元素与集合的关系 ①属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . ②不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. （4）集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同 (即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，则称这两个集合相等；记作； （5）集合的分类 ①有限集:含有有限个元素的集合 ②无限集:含有无限个元素的集合 ③空集:不含有任何元素的集合，记作； 【清单02】集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物； （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． （3）常见数集的表示 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R （4）区间的概念及表示 ①区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 ②含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【清单03】集合间的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【清单04】命题 （1）命题的概念 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； （2）命题的分类 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若则”为真 “若则”为假 表示方法 读法 推出 不能推出 （3）命题的表示方法 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论； 【清单05】充分条件与必要条件 （1）充分条件，必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果⇒，则称是的充分条件，或称是的必要条件； 【注意】①充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 ⇒ 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 ②的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题；②由条件可以得到结论；③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是；④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的；⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； （2）充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有⇒，又有⇒，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：⇔；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； （3）充分条件，必要条件，充要条件与集合交汇 ① 记集合，，若是的充分不必要条件，则， 若是的必要不充分条件，则； ② 记集合，，若，则是的充分条件， 若，则是的必要条件， 若，则是的充要条件； 【清单06】全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （3）全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点题型一】集合的概念 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 【答案】BC 【分析】根据集合的性质逐一分析即可. 【详解】对于A，接近于1的所有正整数标准不明确，故A不能构成集合； 对于B，小于0是一个明确的标准，故B能构成集合； 对于C， 与是两个不同的点，是确定的，故C能构成集合； 对于D，未来世界的高科技产品，不明确，故D不能构成一个集合． 故选：BC. 【考点题型二】元素与集合的关系 注意：若集合的表示形式是描述法，则元素属于集合的充要条件是元素满足集合的约束条件. 【例2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 【变式2-1】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 【变式2-4】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解. 【详解】由题意得，， 因为且，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型三】求集合的子集（真子集） 【例3】（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 【点睛】若集合中有个元素，则该集合有个子集，个真子集. 【变式3-1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）集合，则的子集的个数为（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】分别对集合和集合化简，然后求出，从而确定子集个数. 【详解】因为， 所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为， 所以，的真子集个数是. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 【考点题型四】判断集合间的关系 注意：判断集合间关系的方法主要有：（1）一一列举；（2）数轴分析；（3）韦恩图. 【例4】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知集合，集合，下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集定义得出结果即可. 【详解】已知集合，集合，所以. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 【变式4-3】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，因为表示所有偶数，能表示所有整数，故 故选：B 【考点题型五】已知集合间的关系求参数 【例5】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求集合，根据包含关系即可得参数范围. 【详解】由题设，， 又，故，即范围是. 故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 【答案】D 【分析】由集合元素间的互异性以及包含关系列方程求解即可. 【详解】由题意集合，，若，则（互异性）即， 所以或，解得或0. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果； （2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围. 【详解】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 【考点题型六】集合间的运算 注意：若集合是不等式的解集注意结合数轴进行集合间的运算；若集合是点集，注意结合点的轨迹进行运算；若集合是抽象集合，注意结合韦恩图进行运算. 【例6】（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：C 【变式6-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再根据补集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得，则， 故选：B． 【变式6-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，然后结合集合的基本运算即可求解. 【详解】因为, 所以，， ，，或，， 故选：B. 【变式6-4】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 【考点题型七】根据集合间的运算求参数 【例7】（23-24高一上·云南昆明·期末）设集合，集合，且，则的值可以是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的并集结果得到，由此得解. 【详解】因为，， 又，即，所以， 则的值可以是. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 【变式7-1】（23-24高一上·浙江丽水·期末）设集合，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由交集运算的结果，即可得到答案. 【详解】因为集合，， 且，则. 故选：C 【变式7-2】（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 【变式7-3】（23-24高一上·四川雅安·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解出集合A，根据并集的概念运算即得； （2）在数轴上表示集合，数形结合求参数范围. 【详解】（1）， 由，得， . （2）依题意，或， 因为， 所以解得， 故的取值范围为. 【变式7-4】（23-24高一上·北京石景山·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分别求集合，再求； （2）根据（1）的结果，首先求，再根据集合的运算结果，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，得或，即或， 所以或； （2）由（1）可知，，， 若，则. 【考点题型八】韦恩图的应用 【例8】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集及补集运算可得结果. 【详解】因为， 所以，图中阴影部分表示的集合为, 故选：B. 【变式8-1】（23-24高一上·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解集合A中的不等式，判断集合A，B的关系. 【详解】, 因为，所以BA，B正确. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一上·云南昆明·期末）设全集，，，如图阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意知，阴影部分表示的为，算出集合表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案. 【详解】全集，集合中函数满足，解得或， 或， 集合中指数函数在上单调递增，则，， 由图可得阴影部分所表示的集合为， 故选：B. 【变式8-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 【考点题型九】集合中的新定义问题 【例9】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 【变式9-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 【变式9-2】（23-24高一上·江西抚州·期末）若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求出集合的的所有非空子集的个数为，再求出具有“伙伴关系集合”的个数为，利用古典概率从而可求解. 【详解】，集合的所有非空子集的个数为， 若，则； 若，则； 若，则与成对出现； 若，则与成对出现， 集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）． 在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 【答案】ABD 【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】对于A，根据定义，，，若存在，使得， 所以，，当时，这样的不存在， 所以不存在符合不等式且异于的，故整数集无聚点，故A正确； 对于B，若，对于， 因为，所以存在异于的，使得， 故，故为集合的“聚点”， 即区间的闭包是，B正确； 对于C，因为， 所以对于，都存在，使得， 所，故的聚点为1，故C错误； 对于D，对于，，都存在，使得，所以为集合的“聚点”，所以有理数集的闭包是，D正确. 故选：ABD 【考点题型十】充分、必要条件的判断 【例10】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案. 【详解】因为x，， 当时，不妨取，， 故时，不成立， 当时，不妨取，则不成立， 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【变式10-1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【分析】由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 【变式10-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，“”是“”的一个 条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 【答案】充分非必要 【分析】根据不等式的性质证明充分性成立，根据分式不等式的解法证明必要性不成立. 【详解】当时，， 所以“”是“”的充分条件； 当时，，即，解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 故“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【考点题型十一】已知充分、必要条件求参数 【例11】（23-24高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】是的必要条件     ，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式11-1】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可. 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 【变式11-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】根据题目条件可得，对进行分类讨论求出实数的取值范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件，∴， 当时，，则； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知，或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为或． 【考点题型十二】全称量词与存在量词 【例12】（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定形式改成存在量词命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 【变式12-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以为不是素数. 故选：D. 【变式12-2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 【变式12-3】（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 集合与逻辑 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】集合 （1）集合及其表示 ①定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集； ②记法：集合通常用大写字母、、、…来表示； ③常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； （2）元素 ①定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素； ②记法：通常用小写字母、、、…来表示； ③性质：确定性、互异性 、无序性. （3）元素与集合的关系 ①属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . ②不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. （4）集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同 (即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，则称这两个集合相等；记作； （5）集合的分类 ①有限集:含有有限个元素的集合 ②无限集:含有无限个元素的集合 ③空集:不含有任何元素的集合，记作； 【清单02】集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物； （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． （3）常见数集的表示 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R （4）区间的概念及表示 ①区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 ②含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【清单03】集合间的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【清单04】命题 （1）命题的概念 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； （2）命题的分类 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若则”为真 “若则”为假 表示方法 读法 推出 不能推出 （3）命题的表示方法 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论； 【清单05】充分条件与必要条件 （1）充分条件，必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果⇒，则称是的充分条件，或称是的必要条件； 【注意】①充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 ⇒ 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 ②的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题；②由条件可以得到结论；③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是；④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的；⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； （2）充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有⇒，又有⇒，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：⇔；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； （3）充分条件，必要条件，充要条件与集合交汇 ① 记集合，，若是的充分不必要条件，则， 若是的必要不充分条件，则； ② 记集合，，若，则是的充分条件， 若，则是的必要条件， 若，则是的充要条件； 【清单06】全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （3）全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点题型一】集合的概念 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 【考点题型二】元素与集合的关系 注意：若集合的表示形式是描述法，则元素属于集合的充要条件是元素满足集合的约束条件. 【例2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【变式2-3】（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【变式2-4】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 【考点题型三】求集合的子集（真子集） 【例3】（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式3-1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）集合，则的子集的个数为（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【变式3-2】（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【考点题型四】判断集合间的关系 注意：判断集合间关系的方法主要有：（1）一一列举；（2）数轴分析；（3）韦恩图. 【例4】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知集合，集合，下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【变式4-3】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】已知集合间的关系求参数 【例5】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 【变式5-2】（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【考点题型六】集合间的运算 注意：若集合是不等式的解集注意结合数轴进行集合间的运算；若集合是点集，注意结合点的轨迹进行运算；若集合是抽象集合，注意结合韦恩图进行运算. 【例6】（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】根据集合间的运算求参数 【例7】（23-24高一上·云南昆明·期末）设集合，集合，且，则的值可以是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【变式7-1】（23-24高一上·浙江丽水·期末）设集合，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【变式7-3】（23-24高一上·四川雅安·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-4】（23-24高一上·北京石景山·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型八】韦恩图的应用 【例8】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·云南昆明·期末）设全集，，，如图阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【变式8-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【考点题型九】集合中的新定义问题 【例9】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·江西抚州·期末）若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 【变式9-3】（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 【考点题型十】充分、必要条件的判断 【例10】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【变式10-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，“”是“”的一个 条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 【考点题型十一】已知充分、必要条件求参数 【例11】（23-24高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【变式11-1】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式11-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【考点题型十二】全称量词与存在量词 【例12】（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 【变式12-2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$