清单01 勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单01 勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长 【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【变式1-1】如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 【变式1-3】如图，，，，，则 的长等于 ． 【考点题型二】等面积法斜边上的高 【典例2】如图，在中，，若． (1)求的长； (2)求边上的高是多少？ 【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 【变式2-2】如图，在中，，是高，，，则的长为 ． 【变式2-3】在中，，则高 ． 【考点题型三】作无理数的线段 【典例3】如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，，于点C， 连接， 以点O为圆心，长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（      ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】勾股定理的证明 【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【考点题型五】直角三角形的判定 【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13 【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．5，12，14 C．2，2，4 D．7，24，25 【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（  ） A．9，12，15 B．15，36，39 C．10，24，26 D．12，35，36 【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用 【典例6】如图，一块四边形的空地，，的长为，的长为，的长为，的长为．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？ 【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积． 【考点题型七】勾股数的应用 【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B． C．5，15，20 D．9，40，41 【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是(   ) A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，2 【变式7-2】下列数组是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．8，12，15 【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（  ） A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5 C．11，60， 61 D．1，，2 【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题 【典例8-1】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B距底端O为0.7m． (1)求的长度． (2)如果梯子下滑0.4m，则梯子滑出的距离是否等于0.4m？请通过计算来说明理由． 【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．    【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【变式8-6】如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【考点题型九】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【典例9】如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【变式9-1】如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式9-2】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，，求的长． 【考点题型十】面展开图-最短路径问题 【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【变式10-2】如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 ，却踩伤了花草．    【变式10-7】如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长 【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 【变式1-1】如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ∴， 故选：A ． 【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】如图，，，，，则 的长等于 ． 【答案】13 【分析】熟练掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴ ∵在直角三角形中，， ∴ 故答案为：13 【考点题型二】等面积法斜边上的高 【典例2】如图，在中，，若． (1)求的长； (2)求边上的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积公式；由勾股定理求出的长是解题的关键． （1）由勾股定理求解即可； （2）由三角形面积得，则，即可求解． 【详解】（1）由勾股定理得：； （2）中，为斜边上的高， 的面积， ， ． 【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理和三角形面积的计算，求出直角三角形的斜边长是解题的关键．先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴根据勾股定理求得斜边为：， ∵直角三角形的面积为：， ∴此直角三角形斜边上的高为：， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，，是高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，即的长为， 故答案为：． 【变式2-3】在中，，则高 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】作无理数的线段 【典例3】如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长度，根据弧的半径相等得到的长度，从而求出． 本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， 故选：D． 【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故选C． 【变式3-2】如图，，于点C， 连接， 以点O为圆心，长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得的长是解题的关键．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ， ∴， ， 点表示的数是． 故选B． 【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理；由勾股定理得，求出，由即可求解；能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， P表示的实数为； 故选：B． 【考点题型四】勾股定理的证明 【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【答案】(1)；[或] (2) (3)小正方形的边长为2 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可； （2）根据等积法得到数量关系即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=； 方法二：大正方形的面积=； （2）由（1）可知：， 整理，得：； （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为2． 【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∴， ∴不能证明勾股定理，故不符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 故选C． 【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．    ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为27． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 【考点题型五】直角三角形的判定 【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理计算，即可判断答案． 【详解】A、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以A选项错误，不符合题意； B、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以B选项错误，不符合题意； C、因为，所以这三条线段能构成直角三角形，所以C选项正确，符合题意； D、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．5，12，14 C．2，2，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，逐个验算每个选项即可得到答案． 【详解】解：A．，故不为直角三角形； B．，故不为直角三角形； C．，故不能构成三角形，不能构成直角三角形； D．，故能构成直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方． 【详解】解： 故A不能构成直角三角形， 故B能构成直角三角形， 故C不能构成直角三角形， 故D不能构成直角三角形． 故选B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形就是直角三角形． 【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（  ） A．9，12，15 B．15，36，39 C．10，24，26 D．12，35，36 【答案】D 【详解】由勾股定理得， 选项A.=，A不满足题意. 选项B.,B不满足题意. 选项C.，C不满足题意. 选项D.，D满足题意. 【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用 【典例6】如图，一块四边形的空地，，的长为，的长为，的长为，的长为．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？ 【答案】5700元 【分析】利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，在中，， ， ，， 在中， ，， ， 为直角三角形，， ， （元）． 答：此块空地全部铺植草坪共需花费5700元． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，正确作出辅助线，把四边形转化为两个直角三角形是解决问题的关键． 【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【答案】24m2 【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答． 【详解】 解： 如图，连接AC， ∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝5m． ∴SRt△ADC＝＝6m2． 在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m， ∴， ∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°， ∴SRt△CAB＝＝30m2， ∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形． （1）如图：连接，运用勾股定理可得的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形即可解答； （2）根据以及三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解： ． 【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，连接，由的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；可以得到四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：连接AC， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴这块草地的面积为． 【考点题型七】勾股数的应用 【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B． C．5，15，20 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理逆定理的三个正整数；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数； C、，不是勾股数； D、，且各数均为正整数，为勾股数； 故选:D． 【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是(   ) A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，2 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义即可求解． 【详解】A．∵，，均不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； B．∵32+42≠72，∴不是勾股数，不符合题意； C．∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意； D．∵不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．掌握定义是解题的关键． 【变式7-2】下列数组是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．8，12，15 【答案】C 【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解： 故不符合题意； 0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故不符合题意； 故符合题意； 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（  ） A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5 C．11，60， 61 D．1，，2 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意； B、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； D、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题 【典例8-1】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B距底端O为0.7m． (1)求的长度． (2)如果梯子下滑0.4m，则梯子滑出的距离是否等于0.4m？请通过计算来说明理由． 【答案】(1)的长度为2.4m (2)不等于，滑出的距离为0.8m，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 由勾股定理，得：； （2）不等于，理由如下： 由题意，得：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故不等于0.4m． 【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后结合题意即可求解． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 故选：B． 【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．    【答案】10 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作    ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一个直角三角形，利用勾股定理可求出折断部分的长，进而可得树刮断前的高度． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形， ， 树刮断前的高度， 故答案为：． 【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 【变式8-6】如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响，理由见解析； (3)4小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （3）解：当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， 小时， 答：海港C受台风影响的时间会持续4小时． 【考点题型九】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 【典例9】如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ， ∴ ， 设 ，由折叠可得，， ， ， ∴， ，， 在中，可有， 即，解得， ∴ ， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知 ， ，， ∴ ， 故的面积为15． 【变式9-1】如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 【变式9-2】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 【变式9-3】如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理．根据折叠的性质及勾股定理求解． 【详解】解：由翻折可得，， 四边形为长方形， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得， 即． 【考点题型十】面展开图-最短路径问题 【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 【变式10-2】如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点； 由于正方体棱长为，则，， 由勾股定理得：； 故选：C． 【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用求最短路径问题，先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为20， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x ， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． 故答案为：25． 【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 ，却踩伤了花草．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度为：， 少走了：， 故答案为：． 【变式10-7】如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为 ， 故答案：． 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