专项突破01 勾股定理的探究（知识技巧点拨+8种高频考察题型 共38题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学八年级上册考前冲刺

专项突破01 勾股定理的探究 （知识技巧点拨+8种高频考察题型 共38题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理04：勾股数 3 优选题型 考点讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 9 题型5 勾股定理的证明方法 11 题型6 以弦图为背景的计算题 14 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 14 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 17 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，已知在中，于点． (1)求的长； (2)求的长． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，是斜边AB上的高线，且．求： (1)的长． (2)的长． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ②___________； (2)如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）一艘海监船在某海域巡航．如图，一座岛位于点O，海监船在B处发现有一不明渔船自A处出发沿AO方向匀速驶向O处，，垂足为O，海里，海里，海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求海监船的航程BC的长． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A．27 B．36 C．40 D．45 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留） 9．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 13．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 14．（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 15． （20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离 为 m． 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 18．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 20．（2024·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 题型5 勾股定理的证明方法 21．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式．（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 (1)代数式1：_________．代数式2：________； (2)这个等式为 （直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 23．（24-25七年级上·山东泰安·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 25．（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 题型6 以弦图为背景的计算题 26．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 28．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 30．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 32．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 34．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 35．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 36．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 38．（24-25八年级下·江苏盐城·开学考试）计算图中四边形的面积． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 勾股定理的探究 （知识技巧点拨+8种高频考察题型 共38题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 2 知识点梳理04：勾股数 3 优选题型 考点讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 8 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 14 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 20 题型5 勾股定理的证明方法 24 题型6 以弦图为背景的计算题 30 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 32 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 39 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，已知在中，于点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)12 (2)25 【思路引导】本题主要应用勾股定理来求解直角三角形中的未知边长． （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）在中，利用勾股定理求出，从而可求． 【规范解答】（1）解：在中，， ； （2）解：在中，， ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 【答案】，面积 【思路引导】设由勾股定理得：由此建立关于的方程求得的值，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：过点作交于点． 在中，，设则． 在中，． 在中，． ． 解这个方程得：． ． ． ． 答：的长为，三角形的面积为336． 【考点剖析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是“搭桥”建立等量关系是解题的关键． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，是斜边AB上的高线，且．求： (1)的长． (2)的长． 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】本题主要考查勾股定理，运用面积法求直角三角形斜边上的高． （1）可以直接用勾股定理进行求解； （2）根据的面积可以用底×高，也可以用两直角边乘积的一半，即可得到的长． 【规范解答】（1）解：∵中，， ， ∴ （2）解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴， 解得. 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ②___________； (2)如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 【答案】(1)①见解析；②2 (2) 【思路引导】()①连接，证明得到即可求证；②证明得到，即得，再根据即可求解； ()延长交于，先证明，进而证明，得到，由勾股定理可得，又可得，得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【规范解答】（1）①证明：连接， ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）一艘海监船在某海域巡航．如图，一座岛位于点O，海监船在B处发现有一不明渔船自A处出发沿AO方向匀速驶向O处，，垂足为O，海里，海里，海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求海监船的航程BC的长． 【答案】(1)见解析. (2)50海里. 【思路引导】（1）作的垂直平分线与交于点C，点C即为所求； （2）连接．设海里，利用勾股定理构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点C即为所求；   （2）解：连接，设为x海里，则也为x海里，为海里． ， 在中，， 即： 解得：， 答：海监船的航程的长为50海里. 【考点剖析】本题考查了尺规作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，可证明得到，利用勾股定理推出，则，同理可得，……，，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，由正方形的性质可得 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 同理可得， ……， ， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A．27 B．36 C．40 D．45 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，则正方形的面积是45． 【规范解答】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解． 【规范解答】解： 中，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【规范解答】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律： ， ， ， ， ∴． 当时，， 故选：C． 10．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：． 【思路引导】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系． 任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立． 任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系． 此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【规范解答】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为：； 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 ∴． 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【思路引导】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【规范解答】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【规范解答】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 13．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 14．（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【答案】36 【思路引导】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【规范解答】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【考点剖析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 15．（20-21八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 【答案】500 【思路引导】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 【规范解答】由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【考点剖析】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【规范解答】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【规范解答】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 18．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【思路引导】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【规范解答】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【考点剖析】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【规范解答】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 20．（2024·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【思路引导】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【规范解答】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【考点剖析】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 题型5 勾股定理的证明方法 21．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案； （2）根据列出等式，化简即可得到答案． 【规范解答】（1）解：结论：． 理由：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ． （2）证明：， ∴， 由（1）得，， 作于， ，， ， ， 由平行线间距离处处相等可知， ∴， ， ． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式．（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 (1)代数式1：_________．代数式2：________； (2)这个等式为 （直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【答案】(1)，； (2)，在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方． 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式的几何应用，熟练掌握用不同方法表示图形面积是解题的关键． （1）通过大正方形面积减去四个直角三角形面积得到较小正方形面积的一种表达式，再根据较小正方形边长为斜边得到另一种表达式； （2）根据（1）中两个表达式相等得出等式，进而用文字语言表述． 【规范解答】（1）解： ， 因为较小正方形的边长为， 所以其面积为． 故答案为：，； （2）解：由（1）可得． 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； 23．（24-25七年级上·山东泰安·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【规范解答】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 25．（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【思路引导】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【规范解答】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 题型6 以弦图为背景的计算题 26．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【规范解答】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 28．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【思路引导】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【思路引导】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可． 本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 30．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 【答案】29 【思路引导】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【规范解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)， 因此葛藤长 (尺)． 故答案为：29． 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【思路引导】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 32．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【规范解答】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 33．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【思路引导】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【规范解答】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 34．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 35．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【规范解答】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 36．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【规范解答】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)风眼离海港最近的距离是 (3)台风影响该海港持续的时间为 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题． （1）通过计算与是否相等，利用勾股定理逆定理判断的度数； （2）过点C作，利用直角三角形面积公式，结合、、的长度求出的长，即风眼离海港C最近的距离； （3）在上找到到C距离为的两点E、，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，再结合台风速度求出影响持续时间． 【规范解答】（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点． 因为是直角三角形， 所以， 所以， 所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且． 在中，由勾股定理，得，所以． 同理可得， 所以， 故台风影响该海港持续的时间为． 38．（24-25八年级下·江苏盐城·开学考试）计算图中四边形的面积． 【答案】四边形的面积为． 【思路引导】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，由勾股定理得，然后通过勾股定理逆定理可得，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 由图可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $