精品解析：2022年浙江省宁波市江北区惠贞书院强基计划数学试题

2022年浙江省宁波市江北区惠贞书院强基计划数学试卷 一.选择题（每题6分） 1. 一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌最小要抽（　　）张才能保证有4张牌是同一花色的 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 3. 两抛物线和与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，，则a、b、c以为边的三角形一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知反比例函数的图象过斜边的中点D，与直角边相交于C，连接、，若的周长为，，则的面积为（　　） A. B. C. 1 D. 2 二.填空题（每题6分） 6. 已知实数满足，，则的值为_______． 7. 已知抛物线与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使为等边三角形，那么k的值为 _____． 8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为______． 三、解答题（12+12+14+14+20＝72分） 9. 设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）若，求m值； （2）令，求T的取值范围． 10. P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 11. 已知开口向上的抛物线与直线：yaxc，ycxa中的每一条都至多有一个公共点． （1）求的最大值； （2）当取最大值时，设直线交抛物线于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值． 12. 如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形 （1）如图①，在中，，，，为上一点，，为中点，连接，求证：四边形为理想四边形； （2）如图②，是等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） （3）在（2）的条件下， ①若为直角三角形，，求的长度； ②如图③，如若，，，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 13. 如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G． (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，，求PD的长； (3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年浙江省宁波市江北区惠贞书院强基计划数学试卷 一.选择题（每题6分） 1. 一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌最小要抽（　　）张才能保证有4张牌是同一花色的 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式应用，根据题意，找出不等量关系是解题的关键． 根据一副扑克牌有4种花色，保证有4张牌是同一花色，则其它花色最多3张，三种花色最多9张，设最少要抽张扑克，则，求解即可． 【详解】解：设最少要抽张扑克，根据题意，得 ， 解得：． ∴最少要抽13张扑克． 故选：B． 2. 已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故选：C． 【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解． 3. 两抛物线和与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，，则a、b、c以为边的三角形一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据两个抛物线交于轴同一点得到关于、、的方程组，解方程组即可解决问题． 由于两抛物线和与轴交于同一点（非原点），可以设两抛物线交于轴，然后分别代入函数的解析式即可得到，，即可得到、、的关系，由此即可解决问题． 【详解】解：设两抛物线交于轴， 则有：， 得， ， ． 得， ， ， ∴， ∴a、b、c以为边的三角形一定是直角三角形． 故选：B． 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，得到，．作于，先证明出，利用性质建立等式解出，利用勾股定理求出，再根据，利用相似比求出面积即可． 【详解】解：设，则，． 作于， 则． 所以． 所以， 即， 解得． 于是，． 所以， ． 又， 所以． 因此． 所以． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 5. 如图，已知反比例函数的图象过斜边的中点D，与直角边相交于C，连接、，若的周长为，，则的面积为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边，表示出，利用勾股定理求出与的长，过作垂直于轴，得到为中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，利用反比例函数的几何意义求出的值，确定出三角形面积即可． 【详解】解：在中，，为斜边的中线， ， 由周长为，得到， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 整理得：， 解得，， ，， 过作轴，交轴于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴ ∴为中点， （假设，若，求出结果相同）， 在中，利用勾股定理得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键． 二.填空题（每题6分） 6. 已知实数满足，，则的值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】设 =a，= b,则a-3> 0，3-b> 0，即可判断ab的大小，然后将的a，b代入方程解答即可． 【详解】解：设 =a，= b，则：a-=3，即a-3=＞0，；b+=3，即3-b=> 0； 由以上所得式子对比看，a，b的值为一个方程m2-7m+9=0的两个根且a大b小 即a=，b= ∴=a+b=7 故答案为7． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，先把分式高次数的化为低次数是解答本题的关键． 7. 已知抛物线与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使为等边三角形，那么k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，将两点之间的距离转化为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的顶点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出的值． 【详解】解：由题意、在原点的右侧，且， 为等边三角形， ， ， 又点纵坐标为， ， 令， 则原式可化为， 两边平方得，， 整理得，， 解得或． 当时，，，或； 当时，，，或． 由于对称轴位于轴右侧，所以， 解得， 当时，有一个交点， 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点，根据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线顶点坐标公式列出等式是解题的关键．另外，此题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应当有一定程度的了解． 8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，由等腰直角三角形的性质得，，利用旋转变换将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质得，，，，过作，交于，利用平行线的性质，推出，过作于，，利用余角性质得，在中，解直角三角形，求出的值，在中由勾股定理求出的值，在中用勾股定理，构造关于的方程，即可求出． 【详解】解：连接， ，，为的中点， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 过作，交于， 则，， ， 过作于， 则， ， 在中，，， ． 在中，． 在中，，即， 解得或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用勾股定理构造方程是解题关键． 三、解答题（12+12+14+14+20＝72分） 9. 设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）若，求m值； （2）令，求T的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系可得解方程可得由结合题意可得从而可得答案； （2）先通分，把化为再结合，且，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∵， ∴ ∴ 整理得： 解得： ∵ ∴ 解得： 而 ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵ ∵，且， ∴ 且 ∴且 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，一次函数的应用，理解题意，选择合适的知识点解题是关键． 10. P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，交于，中点，连接，过点O作 于E，过点G作于F，证明，推出，推出，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，，交于，中点，连接，，过点O作 于E， 是等边三角形，是的内切圆，， ∴，， ， ∴ ∴， ∵G是中点， ∴， ， ∵， ， ，即， ， 过点G作于F， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 的最小值为． 【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 11. 已知开口向上的抛物线与直线：yaxc，ycxa中的每一条都至多有一个公共点． （1）求的最大值； （2）当取最大值时，设直线交抛物线于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值． 【答案】（1）5 （2）1 【解析】 【分析】（1）联立和yaxc可得、，再根据题意可得；联立和yaxc再结合一元二次根的判别式可得，进而可得，然后求解即可； （2）先求出取最大值时，求出抛物线的顶点，进而求解方程，然后再说明为等边三角形，最后求得a的值即可． 【小问1详解】 解：由，得，， 由抛物线与直线至多有一个公共点，得． 由，及， 得． 因为抛物线与直线至多有一个公共点， 所以， 即． 结合，得， 解得． 又抛物线与直线，中的每一条都至多一个公共点． 所以的最大值为5． 【小问2详解】 解：当取最大值时，抛物线为，其顶点． 由， 得，， 于是，． 设为的内心，为线段中点，则，， 且，． ∴，，为等边三角形． ∴．因此，． 所以． 或：由， 得的周长， 面积． 利用，得， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合、二次函数与几何的综合、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． 12. 如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形 （1）如图①，在中，，，，为上一点，，为中点，连接，求证：四边形为理想四边形； （2）如图②，是等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） （3）在（2）的条件下， ①若为直角三角形，，求的长度； ②如图③，如若，，，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：连接，过点作， 在中，，，，， ，，， 为的中点， ， 在中，，， ， ，即是的中垂线， ， ， ， 是等边三角形， 又， 四边形为理想四边形； （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，在中，得，则是的中垂线，得，可说明是等边三角形，从而说明结论成立； （2）作等腰，使得，，以为圆心，为半径作，当点在弧上时； （3）①分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理即可； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，可知是等边三角形，则，，在中，利用勾股定理得出等量关系． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，作等腰，使得，，以为圆心，为半径作， 当点在弧上时，，满足条件； 【小问3详解】 解：①若为直角三角形，分两种情况： （Ⅰ）当时，如图， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ； （Ⅱ）当时，如图， 同理可得，，， ， 综上所述，或； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了理想四边形的定义，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，定边对定角隐圆问题，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解题意，学会利用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题． 13. 如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G． (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，，求PD的长； (3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围) 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论． （2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长． （3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果． 【详解】解：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B， 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC ∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF （2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴ ∴ ∵△ACE∽△ABC，∴，即 、∴ ∵AB⊥CD，∴ 如图，连接BP， ∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6 由（1）△PAC∽△PDF得，即 ∴PD的长为 （3）如图，连接BP，BD，AD， ∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即 ∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD ∵，∴ ∵△AGP∽△DGB，∴ ∵△AGD∽△PGB，∴ ∴，即 ∵，∴ ∴与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查单动点问题；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质；垂径定理；锐角三角函数定义；由实际问题列函数关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $