精品解析：山东省济南市历下区某校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期开学适应性练习 （满分：150分，测试时间：90分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2 下列数中：8，，，，，0，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 5. 我市举办“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，代数式的值是（　　） A. 4 B. C. 5 D. 7. 若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A. B. ± C. D. ± 8. 如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知点分别是等边中边上的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则x的值为 _____． 12. 如图，在中，是边上的中线，．若，则________． 13. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 14. 如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为____________． 15. 如图，等腰直角三角形的两直角边分别为，以斜边为边作第二个等腰直角三角形，再以斜边为边作第三个等腰直角三角形，如此进行下去……记等腰直角三角形的直角边长为，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为，则________． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 先化简再求值：，其中，． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 19. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度） （1）请在图中作出关于直线l成轴对称的 （2）在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 20. 概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果： （1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”，将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为______ （2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 21. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形面积． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒的速度向点C运动，连接，设运动时间为t秒（） （1）求的长． （2）当时，求t的值． 23. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 24. 甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： （1）图②中的自变量是______，因变量是______； （2）甲速度是______，乙的速度是______； （3）结合题意和图①，可知图②中：______，______； （4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 25. 在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到M，使，连接，根据______可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围． 【方法感悟】 我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑做“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，的平分线交边于点D，若，求的长． 【应用提升】 （3）已知：如图3，中，．D、E是三角形边、上两个动点，且，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期开学适应性练习 （满分：150分，测试时间：90分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列数中：8，，，，，0，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：， 无理数有，，共有2个， 故选：B． 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式运算法则计算了结果后，再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A计算正确，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，符合题意； C. ，故选项C计算正确，不符合题意； D. ，故选项D计算正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先判断估值，再得出+2的值. 【详解】∵42=16，52=25， 所以4＜＜5， 所以+2在6到7之间． 故选B． 5. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，即可． 【详解】如图可知，，为入口；，，为出口， ∴ ∴小颖入口进出口的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果． 6. 已知，代数式的值是（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得到，再把整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键． 7. 若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A. B. ± C. D. ± 【答案】A 【解析】 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键． 8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：如图，将台阶展开， 因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9， 所以AB2＝AC2＋BC2＝225， 所以AB＝15， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键． 9. 如图1，已知扇形，点P从点O出发，沿以的速度运动，设点P的运动时间为，，y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为， ∴，即扇形的半径为， 由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为， ∴的长为，即弧长为， 设扇形的圆心角为，根据弧长公式可得：， 解得， 由扇形的面积公式可得：扇形的面积为． 故选D． 【点睛】本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键． 10. 如图，已知点分别是等边中边上的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为． 【详解】解：连接交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 此时的值最小，最小值为， ， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则x的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平方根的性质即可求解． 【详解】解：∵正数有两个平方根，他们互相反数， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 12. 如图，在中，是边上的中线，．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据是边上的中线，，得出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据三角形中线，得出． 13. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 14. 如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 由折叠的性质得出，，，进而可证明，因此，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； 故答案为：． 15. 如图，等腰直角三角形的两直角边分别为，以斜边为边作第二个等腰直角三角形，再以斜边为边作第三个等腰直角三角形，如此进行下去……记等腰直角三角形的直角边长为，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出各斜边长，依据规律即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴， ， ， ∴， ∴ 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识；熟练应用勾股定理，得出规律是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 先化简再求值：，其中，． 【答案】；3 【解析】 【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】根据实数的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：射线平分， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度） （1）请在图中作出关于直线l成轴对称的 （2）在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题， （1）根据轴对称的性质，找出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交直线于点即可； 熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 则点即为所作． 20. 概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果： （1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”，将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为______ （2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，根据概率定义计算； （2）设最小的等腰直角三角形面积为s，求出阴影部分面积占整体面积的比，从而确定概率． 【小问1详解】 解：所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，故概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设最小的等腰直角三角形面积为s，则阴影部分面积为，整体面积为， 故飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算，理解几何图形面积法求概率是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，最后根据即可得解． 【详解】解：在中，，，， , 在中，，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积是． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒的速度向点C运动，连接，设运动时间为t秒（） （1）求的长． （2）当时，求t的值． 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】（1）由为直角三角形，根据勾股定理即可求出结论； （2）因为，此时设，，根据勾股定理列方程即可求出的值． 【详解】解：（1）为直角三角形，， 由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2， BC= = =12； （2）点从点出发，以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，， ∴，则， ∵在中， ， 由勾股定理可得：， 即， 解得， ∴当点运动到时，的值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键． 23. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 24. 甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： （1）图②中的自变量是______，因变量是______； （2）甲的速度是______，乙的速度是______； （3）结合题意和图①，可知图②中：______，______； （4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 【答案】（1）乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差 （2）25，10 （3）1.5，10 （4）或 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （3）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差； 故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差； 【小问2详解】 解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故答案为：25，10； 【小问3详解】 解：由图可得， ， ， 故答案为：1.5，10； 【小问4详解】 解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 25. 在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到M，使，连接，根据______可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围． 【方法感悟】 我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑做“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，的平分线交边于点D，若，求的长． 【应用提升】 （3）已知：如图3，中，．D、E是三角形边、上两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5；（3）10 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理进行求解即可； （2）延长到P，使，连接，证明即可求解； （3）过点C向上方作，使，连接，过点M作，交的延长线于点N，通过证明可得，当点B、E、M在同一直线上时，的值最小，即，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长到P，使，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线为， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过点C向上方作，使，连接，过点M作，交的延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、E、M在同一直线上时，的值最小，即最小值为， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的三边关系，能够根据题意添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $