清单04 整式的加法与减法（知识导图+11个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

清单04 整式的加法与减法 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】写出满足某些特征的单项式 3 【考点题型二】单项式规律题 4 【考点题型三】多项式系数、指数中字母求值 6 【考点题型四】将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 10 【考点题型五】数字类规律探索 12 【考点题型六】图形类规律探索 16 【考点题型七】已知同类项求指数中字母或代数式的值 21 【考点题型八】合并同类项 25 【考点题型九】整式的加减运算与应用 28 【考点题型十】整式的加减中的化简求值 32 【考点题型十一】整式加减中的无关型问题 35 期中真题拔高训练15题 39 知识点01:整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点02:整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 知识点03:数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点题型一】写出满足某些特征的单项式 【精讲题】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【答案】 【思路点拨】根据符号的规律：为奇数时，单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是指数的规律：第个对应的指数是，进而解答即可． 【规范解答】解：由系数及字母两部分分析的规律： ①系数：，得系数规律为， ②字母及其指数：，得到字母规律为， 综合起来规律为， 第个单项式是，第个单项式为， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【变式1-1】（19-20七年级上·河南安阳·期中）请写出一个含有字母，的单项式，且它的系数是，次数为5， . 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【规范解答】解：符合条件的单项式为：． 故答案为（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查的是单项式系数及次数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【变式1-2】（21-22七年级上·甘肃临夏·期中）请你写出一个只含字母a和b，次数为4的单项式 . 【答案】a3b或a2b2或ab3,（答案不唯一） 【思路点拨】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和. 【规范解答】根据单项式次数的定义可写出ab，ab，ab等，答案不唯一. 【考点评析】本题考查单项式，熟练掌握单项式的定义是解题关键. 【变式1-3】（22-23七年级·北京怀柔·期末）写出一个单项式，要求：此单项式含有字母a、b，系数是负数，次数是3．我写的单项式为 ． 【答案】答案不唯一，如：﹣ab2 【思路点拨】单项式的次数是字母部分的次数和,系数是数字部分,据此即可解题. 【规范解答】解：这个单项式可以是﹣ab2,答案不唯一. 【考点评析】本题考查了单项式的定义,属于简单题,熟悉单项式的概念是解题关键. 【考点题型二】单项式规律题 【精讲题】（20-21七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了单项式的规律探索，正确理解题意、分别找出已知单项式的系数与次数的规律即可解题． 【规范解答】解：由题可知，单项式系数变化规律为：、、、，即， 单项式次数的变化规律为、、、、，即， 第个单项式是， 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组单项式：，，，，…则第6个单项式是 ，第n个单项式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式规律，准确找到规律是解题的关键．根据各单项式的系数，次数分析，找到规律，即可求得第个单项式，进而求得第6个单项式． 【规范解答】解：一组单项式：，，，，…， 则第6个单项式是，第个单项式是． 【变式2-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：按照上述规律，第2015个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查单项式问题，分别找出单项式的系数和次数的规律是解题的关键．系数的规律为第个对应的系数为，指数的规律为第个对应的指数为． 【规范解答】解：由题意得：第个单项式：， 第个单项式：， 第个单项式：， 第个单项式， 故第2015个单项式是． 故选C． 【变式2-3】（23-24七年级上·云南昭通·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了单项式的规律探究，根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都正的、偶数项都是负的，数字因数的绝对值是一些连续的奇数，字母的指数依次变大，从1开始，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ，…， ∴可推导一般性规律：第n个单项式为， 故选：D． 【考点题型三】多项式系数、指数中字母求值 【精讲题】（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【思路点拨】此题考查了整式的概念与非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）先运用整式的概念求得的值，再代入计算； （2）先运用整式的概念和非负数的性质求得的值，再代入求解． 【规范解答】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 【变式3-1】（21-22六年级下·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【思路点拨】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数之和即可 【规范解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024， 故选：B． 【考点评析】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了多项式的项与次数、以及求值，熟练掌握多项式的概念是解题关键． （1）根据多项式的项与次数即可得； （2）将代入多项式计算即可得． 【规范解答】（1）解：∵关于的多项式为二次三项式， ， 解得． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 则当时，， 答：这个二次三项式的值为． 【变式3-3】（22-23七年级上·山东济南·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ．A、B两点之间的距离： ． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由． 【答案】(1)；8；12 (2) (3)P点对应的数为或 【思路点拨】（1）由题意直接可求解； （2）根据点的运动特点，可得：； （3）①当P点在A点的左侧时，得到，P点对应的数是；②当P点在之间时，得到，P点对应的数是． 【规范解答】（1）解：∵式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴， 解得：， ∴的距离为； 故答案为：；8；12； （2）解：由题意可得： ； （3）解：①当P点在A点的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴可以； ②当P点在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴可以； ∴P点对应的数为或． 【考点评析】本题考查了有理数加减运算，多项式和数轴，数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题的关键． 【考点题型四】将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知，. (1)化简，结果按照的降幂排列； (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)试判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3) 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算及代数式化简求值，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．（1）把，代入，计算即可； （2）把直接代入（1）化简后的代数式求值即可； （3）计算的值，看其结果与0的大小关系即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，； ∴； ； ； ； （2）当时； 原式； （3），理由如下： ； ； ； ∵无论x为何值，， ∴； 所以． 【变式4-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】①化简后判断即可；②根据升幂排列的定义判断即可；③举例说明即可；④根据单项式次数的定义判断即可；⑤根据绝对值的定义和加法法则判断即可． 【规范解答】解：①∵，，∴与的值不相等，故不正确； ②多项式按升幂排列为：，故不正确； ③当时，，不是负数，∴不一定是负数，故不正确； ④单项式的次数是3，故不正确； ⑤∵，且，，∴b的绝对值比a大，∴数，在数轴上距离原点较近的是．正确． 故选A． 【考点评析】本题考查了化简多重符号，绝对值的定义，单项式的次数，升幂排列，有理数的加法法则等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式4-2】（20-21七年级上·福建厦门·期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 【答案】D 【思路点拨】根据多项式的概念和降幂排序的方法进行判断即可． 【规范解答】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意； B、常数项是1，故此项不符合题意； C、按y降幂排列为，故此不项符合题意； D、四次项的系数是，故此项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查多项式的定义及多项式的降幂排序，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级上·吉林·期中）多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查了多项式的项数与次数，常数项以及把一个多项式按某个字母的降幂排列等知识内容，涉及分类讨论的初步应用， （1）根据多项式为四次多项式，分类讨论，求出m与n的值； （2）把多项式按字母x的次数由大到小顺序排列，即为降幂排列，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵是关于x、y的四次三项式， ∴， 当时，则，此时多项式为，是关于x、y的四次三项式， 当，则，此时多项式为，是关于x、y的七次三项式，不符合所以，； （2）解：由（1）知，；此时多项式为， 因为将这个多项式按字母x的降幂排列， 所以，常数项为； 即将这个多项式按字母x的降幂排列为，常数项为． 【考点题型五】数字类规律探索 【精讲题】（22-23七年级上·山东日照·期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，的差倒数 ． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了有理数规律运算，先分别计算，，，发现规律：这些数以这三个数为一组循环，由此得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 可以发现，这些数以这三个数为一组循环， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式5-1】．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律． 可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2． 【规范解答】∵，，，， ，，，， ，， ∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环， ∴， ∴的个位数字是2， 故答案为：2． 【变式5-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）综合题：阅读理解： (1)如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，线段的中点表示的数是0.5，即；之间的距离为，在数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是． ①在数轴有A、B、C三点，若点A对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为中点，则AB中点C所对应的数是 ． ②当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． 当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． (2)已知，当时，左边，右边，所以， 求以下代数式的值： ①， ②. 【答案】(1)①或；②， (2)①3125；②1563 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求代数式的值，中点的理解， 对于（1）①，先确定点B对应点的数，再根据中点的求法得出答案； ②先确定代数式表示在数轴上到1和3两点的距离和，即可得出答案； 确定表示数x分别到，，2的距离之和，可得答案； 对于（2）①，先求出时，左边和右边的值，可得答案； ②将已知的两式相加可得答案． 【规范解答】（1）①因为点A对应的数是，且A，B之间的距离是6， 所以点B对应点的数是或2. 因为C是的中点， 所以中点所对应的数是或. 故答案为：或； ②代数式表示在数轴上x到1和x到3的距离和. 当x在3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是2. 所以当时，代数式取得最小值，最小值是2； 表示数x分别到，，2的距离之和， 当时，代数式取最小值，最小值是7. 故答案为：；； （2）①当时，左边， 右边， 所以； ②因为，， 将两式相加，得， 所以． 【变式5-3】．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【思路点拨】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【规范解答】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 【考点题型六】图形类规律探索 【精讲题】（22-23七年级上·广西南宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，则序号为⑩的长方形的周长是 ． 【答案】466 【思路点拨】本题主要考查了图形的变化类规律，分析图形中的长和宽的变化规律，然后结合图表中长方形归纳出长方形的周长变换规律成为解题的关键． 结合图形分析表格中图形的周长，①的周长为：，②的周长为：，③的周长为：，④的周长为：，…由此可推出第n个长方形的宽为第个长方形的长，第n个长方形的长为第个长方形的长和宽的和． 【规范解答】解：第1个长方形的周长为：； 第2个长方形的周长为：； 第3个长方形的周长为：； 第4个长方形的周长为：； 第5个长方形的周长为：； 第6个长方形的周长为：； 第7个长方形的周长为：； 第8个长方形的周长为：； 第9个长方形的周长为：； 第10个长方形的周长为：． 故答案为：466． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解． 【规范解答】结合图形可知： ， ， ， …… ， 则： 故选：B． 【考点评析】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键． 【变式6-2】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【答案】(1)12；17；（5n＋2） (2)1012；不能 (3)110个 【思路点拨】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题． 【规范解答】（1）解：（1）由所给图形可知， 第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2； 第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2； 第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2； …， 所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根． 故答案为：12，17，（5n＋2）． （2）解：（2）由（1）知， 当n＝202时， 5n＋2＝5×202＋2＝1012（根）， 即第202个图形用的火柴棒根数为1012根． 使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形． 当5n＋2＝2023时， 解得n＝404.2， 因为n为正整数， 所以不能搭建完整的正方形组建的图形． 故答案为：1012，不能． （3）解：（3）令5n＋2＝187， 解得n＝37， 即第37个图形用的火柴棒根数为187根． 又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个， 当n＝37时， 3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个）， 即第37个图形产生的正方形个数为110个， 所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所用火柴棒的根数及产生正方形的个数变化的规律是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级上·四川内江·期中）如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查的是规律性∶图形的变化类知识，根据图形的特点和变化情况寻找出正确的变化规 律是解题的关键，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．一般情况下需要将图形规律转化为数字规律求解． （1）从前三个图形的变化情况找出规律解答即可； （2）根据代数式的值求出m即可； （3）把具体数据代入、根据规律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题可知： 编号为1的图形中有1个三角形，即 编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，即 编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形，即 编号为的图形中互不重叠的三角形的个数是 （2）由题意得：， 解得：； （3） 【考点题型七】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·期中）如果单项式与可以合并，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查合并同类项，根据同类项的概念进行解题即可． 【规范解答】∵单项式与可以合并， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式7-1】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同类项，代数式求值，利用同类项的定义求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于或的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是 (填写序号)； (2)若与是“强同类项”，求的值； (3)若为关于、的多项式，，当的任意两项都是“强同类项”，求的值； (4)已知、均为关于，的单项式，其中，，如果、是“强同类项”，那么的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)②③④ (2)，， (3)或 (4)， 【思路点拨】本题考查新定义，绝对值，单项式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值； （3）根据“强同类项”的概念即可确定n的值； （4）根据“强同类项”的概念确定s，t的值，根据，，确定x与s，k的关系，再判断出x最大，最小时s，k的取值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：(1)∵， ∴①与不是“强同类项”， ∵，， ∴②与是“强同类项”， ∵，， ∴③与是“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴②③④与是“强同类项”， 故答案为：②③④； （2）∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，； （3）∵，当C的任意两项都是“强同类项”， 与一定是强同类项， 当和是强同类项时，、、， 当和是强同类项时  、、， ∴或； （4）∵、是“强同类项”， ∴、、，、、， ∵， ∴、1、， ∵， ∴， 当取最大，取最小值时，取得最大值，此时有最大值和最小值， 即当，时，， 解得或， ∴x的最大值为，x的最小值为． 故答案为：，． 【变式7-3】（22-23七年级上·山西朔州·期中）（1）若单项式与是同类项，求的值． （2）轩轩在计算时，步骤如下： 解：原式……………………第一步 ………………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 ①轩轩的计算过程中开始出现错误的步骤是第______步． ②请给出正确的解题过程． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）根据同类项的定义，得出，，进而即可求解； （2）①根据有理数的运算顺序进行计算即可求解； ②根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：因为单项式与是同类项， 所以，， 所以． （2）解：①，，还有要先计算除法再计算乘法，故第一步出错了， 故答案为：一． ②原式 ． 【考点评析】本题考查了同类项的定义，有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则，同类项的定义是解题的关键． 【考点题型八】合并同类项 【精讲题】（23-24七年级上·河南平顶山·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算和合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）先计算乘方和化简绝对值，再计算乘除，后计算减法即可； （3）根据合并同类项法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式8-1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果是四次多项式，是三次多项式，那么一定是（    ） A．七次多项式 B．次数不高于四次的整式 C．四次的整式 D．四次多项式 【答案】C 【思路点拨】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则，两个多项式相减后，多项式的次数一定不会升高即可得． 【规范解答】解：因为是四次多项式，是三次多项式，所以中一定有四次项，结果有可能是多项式，也有可能是单项式， 如：若，，则，是单项式，次数为4， 若，，则，是四次多项式， 综上，一定是四次的整式， 故选：C． 【变式8-2】（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知：b是最小的正整数，a为b的相反数，c的相反数是，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)a，b，c在数轴上的点为A，B，C，结合数轴请直接写出A与B的距离的值，A与C的距离的值，B与C的距离的值； (3)点P为数轴上一移动的点，其对应的数为x，请你探索的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，最小值为6． 【思路点拨】（1）直接根据最小正整数、相反数的概念即可得解； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时；②当时；③当时；④当时．然后求出每一种情况的的取值的范围，最后再比较取最小值即可． 【规范解答】（1）解： b是最小的正整数，a为b的相反数，c的相反数是， ， ， （2）解：； ； （3）解：， =； ①当时，=， =； ②当时，=， ； ③当时，=， ； ④当时，=， ； 综上所述可知，当时，的最小值为6 【考点评析】此题考查了数轴上两点的距离、动点到三个定点的距离的和的最小值和相反数的概念，熟练掌握数轴上两点间距离的几何意义与分类讨论去绝对值的方法是解答此题的关键． 【变式8-3】（22-23七年级上·山东济宁·期中）阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【思路点拨】（1）把看成一个整体，运用乘法分配律求解即可； （2）运用整体代入法求解即可； （3）将看出整体，化为，从而得解． 【规范解答】（1）解：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型九】整式的加减运算与应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期中）（1）计算：； （2）计算：． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）0；（2）；（3），－9 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算、整式的化简求值等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可； （3）先根据整式加减运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ， 当，时，原式． 【变式9-1】（22-23七年级上·广东广州·期中）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算以及列代数式． （1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （2）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （3）利用总价单价数量，结合阶梯水价，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （2）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （3）解：应缴纳的水费为元． 答：应缴纳水费元． 【变式9-2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案； （2）根据有理数的乘除运算法则计算即可得出答案； （3）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得出答案； （4）先去括号，再合并同类项即可得出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式9-3】（23-24七年级上·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 【答案】(1)1和21都是“平等数”，理由见解析 (2)0，1，2，10，21，32，36，74 【思路点拨】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，整式的加减计算： （1）根据题目中的新定义即可解答本题； （2）根据“平等数”的定义可知，“平等数”是3的倍数，然后根据不大于100的“平等数”可以分一位数的、两位数的、三位数的“平等数”三种情况讨论，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：1和21都是“平等数”，理由如下： ∵， ∴1是“平等数”； ∵， ∴21是“平等数”； （2）解：设（n为小于100的自然数）， ∴s一定是3的倍数， 当s为一位数时，满足n是“平等数”的s有3，6，9，对应的n的值为0，1，2， 当s为两位数时，满足n是“平等数”的s有33，66，99，对应的n的值为10，21，32， 当s为三位数时，满足n是“平等数”的s有111，222，对应的n的值为36，74， ∴所有的不大于100的“平等数”有0，1，2，10，21，32，36，74． 【考点题型十】整式的加减中的化简求值 【精讲题】（22-23七年级上·广西防城港·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1)8 (2)3 【思路点拨】本题考查了整式的加减—化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得出结果； （2）利用非负数的性质求出和的值，原式利用题中新定义变形，整体代入计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：； （2）解：由得，， ∴，， ． 【变式10-1】（21-22七年级上·河南许昌·期末）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是．已知． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算，以及整式加减中的化简求值. （1）先根据求出，再求即可. （2）根据x是最大的负整数，可知，代入求值即可. 【规范解答】（1）解：由题意得： ， 所以， ； （2）由x是最大的负整数，可知， 所以， ． 【变式10-2】（23-24七年级上·四川成都·期中）符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： (1)分别求、的值； (2)用含的代数式表示与，并比较与的大小； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)， (2)，， (3)， 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，新定义，整式的化简求值． （1）观察各运算示例可得，，据此可解答； （2）由题意可得，，因此得到，，从而可比较出大小； （3）根据新定义的运算与整式的运算化简式子，再代入求值即可． 【规范解答】（1）∵，，，，…… ∴， ∴； ∵，，，，…… ∴， ∴． （2）由（1）可得，， ∴ ∵ ∴ （3）∵，， ， 当，时， 原式． 【变式10-3】（19-20七年级上·河南商丘·期中）化简求值： （1）已知求的值； （2）关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1）-8；（2）-2 【思路点拨】)先利用去括号法则和合并同类项法则化简，然后把字母的值代入进行计算可得结果； 先合并同类项，根据多项式不含二次项得出字母的值，然后代入代数式进行计算可得结果． 【规范解答】解：原式， 当，时， 原式； （2） ， 由结果不含二次项，得到，， 解得：，， 则． 【考点评析】本题主要考查了整式的化简求值和求代数式的值，关键是熟练掌握去括号及合并同类项法则． 【考点题型十一】整式加减中的无关型问题 【精讲题】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【规范解答】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 【变式11-1】（21-22七年级上·湖北武汉·期中）我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【答案】（1），，；（2）当时，；当时，；当时，；（3） 【思路点拨】（1）根据多项式的次数，常数项的定义分别求得的值，根据题意求得的距离； （2）（i）分三种情况讨论，当时，当时，当时，进而化简绝对值；（ii）根据（i）的结论可知当时，点C到点A、点B距离之和的最小，进而求得最小值； （3）分别表示出，进而根据，结合题意为定值，进而可得，即可求得的值． 【规范解答】解：（1）多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为，常数项为 故答案为：，， （2）（i）当时， |x﹣5|＋|x＋2| 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 综上所述，当时，；当时，；当时， （ii）当点位于之间时，点C到点A、点B距离之和的最小， |x﹣5|＋|x＋2|； 则最小值为 （3）点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t， 点表示的数为,点表示的数为，， QN＝BN， 为定值， 即 【考点评析】本题考查了多项式的项数与次数，化简绝对值，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式的加减，掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．理解应用：若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式的加减混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键．由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x的系数为0，即可求出． 【规范解答】解： ， ∵其值与x的取值无关， ∴， 解得：， 即：当时，多项式的值与x的取值无关． 【变式11-3】（20-21七年级上·江西宜春·期中）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值． （2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝． 若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小． 【答案】（1）y＝2；（2）A＜B． 【思路点拨】（1）把A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2-xy+1，代入3A+6B计算后，使x的系数为0即可； （2）根据新定义的运算进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1， ∴3A+6B ＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1） ＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6 ＝3xy﹣6x+3 ＝（3y﹣6）x+3， ∵与x的取值无关， ∴3y﹣6＝0， 即y＝2； （2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝， B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝ ＝3b+1， ∵3b﹣1＜3b+1， ∴A＜B 【考点评析】本题考查整式的加减，有理数的运算，理解新定义的运算是正确解答的关键． 期中真题拔高训练15题 1．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若单项式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了同类项，根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得，，再解可得、的值，进而可得答案． 【规范解答】单项式与是同类项， ，， 解得，， ． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【答案】B 【思路点拨】计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【规范解答】解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 3．（22-23七年级上·山东济宁·期中）若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【规范解答】由数轴可得，， ∴ ， ， 故选：． 4．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）对于多项式，每次选择其中的个括号改变其前面的符号（为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为（为常数且），则； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有15种不同的结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的化简和相反数的意义，①根据题意找出一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，即为正确；②凑“变号绝对”操作后得到或去绝对值符号后变形为的形式，求得取值即可；③利用列举法可得每一整式有两种变化，共4个整式，共有16个结果，其中一个重复，所以有15个结果 【规范解答】解：①使操作后化简的结果为常数，则使的系数为0， ∴有 ；故①正确； ② ； 当时，即，； 当时，即，； ∴故②正确； ③∵ ； ∴两种情况结果相同； ∴结果共有（种） ∴③正确， 综上，正确的结果是①②③，共3个， 故选：D 5．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得1，这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数恰好经过6步运算可得到1，则所有符合条件的的值有(    ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【思路点拨】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【规范解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：64、10．共2个， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 6．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若长方形的一边长是，另一边长为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了整式的加减运算，长方形的周长等于两邻边之和的2倍，表示出周长，去括号合并即可得到结果． 【规范解答】根据题意列得：， 则这个长方形的周长为． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·重庆·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 【答案】 59 3168，8514 【思路点拨】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且均不为0，找到符合条件的、的值，即可获得答案． 【规范解答】解：（1）中，，是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，， ∴ ， ∵为9的倍数，且均不为0， 又∵，在中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623（N为偶数，故舍去）； 当时，满足条件，此时为8514． 综上所述，为3168，8514． 故答案为：3168，8514． 8．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【思路点拨】本题考查整式加减运算的实际应用： （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 【答案】 【思路点拨】本题考查列代数式，整式的运算，设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n，然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可． 【规范解答】解：设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n．如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为： ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为：， ∴分割后的两个阴影长方形的周长和为：， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 【答案】 【思路点拨】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【规范解答】对，，，进行“差绝对值运算”得： ， 故正确； 对，，进行“差绝对值运算”得： ， ∵表示的是数轴上点到和的距离之和， ∴的最小值为， ∴，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，， ，故正确； 综上正确， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 11．（22-23七年级上·广西防城港·期中）设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值． （2）根据化简的结果整体代入即可 此题考查了整式的加减-化简求值，以及整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 【规范解答】（1） 当时，原式； （2）由，得到 12．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，2 (2)， 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减化简求值． （1）合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 13．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足． (1) ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置，再根据两点间距离公式求解； （3）分和两种情况，通过整式的加减运算，判断的值是否为常数即可． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，， 故答案为：； （2）解：由点A、B、C的起始位置、运动方向、运动速度可知，t秒钟过后： 点A所在位置表示的数为：，点B所在位置表示的数为：， 点C所在位置表示的数为：， ，，， 故答案为：； （3）解：当时，，， ， 此时，的值不随着t值的变化而变化； 当时，，， ， 此时，的值随着t值的变化而变化； 因此t的取值范围为． 【考点评析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，整式的加减运算，绝对值等知识点，解题的关键是用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置． 14．（23-24七年级上·河南新乡·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    【答案】（1）①a ；②；（2）① ；②；（3）①② 【思路点拨】本题考查了有理数的绝对值的性质，运用性质化简计算，有理数加减运算及整式的加减； 绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”．运用性质回答问题（1）（2）．观察数轴，判断，，的正负，利用（2）的结论，完成（3）； 关键是性质的灵活运用． 【规范解答】解：（1）①若，则； ②若，则； 故答案为：，． （2）①若， 则， 所以； ②若， 则， 所以； 故答案为：，． （3）① ． ②由数轴可知：，． ，，． ．    15．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)①28；②当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 【思路点拨】（1）根据最大的负整数是−1，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据与2的距离可得答案； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵a，c满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，5； （2）解：当与5重合时，折叠点是， ∴与点B重合的点表示的数为：， 故答案为：3； （3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， ∴ ； ②秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ∴ ， ∴的值随时间t的变化而变化； 当A在B的右侧，即时，， ∴ ； 综上，当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 整式的加法与减法 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】写出满足某些特征的单项式 3 【考点题型二】单项式规律题 3 【考点题型三】多项式系数、指数中字母求值 4 【考点题型四】将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 6 【考点题型五】数字类规律探索 7 【考点题型六】图形类规律探索 8 【考点题型七】已知同类项求指数中字母或代数式的值 10 【考点题型八】合并同类项 11 【考点题型九】整式的加减运算与应用 13 【考点题型十】整式的加减中的化简求值 15 【考点题型十一】整式加减中的无关型问题 16 期中真题拔高训练15题 18 知识点01:整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点02:整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 知识点03:数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点题型一】写出满足某些特征的单项式 【精讲题】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【变式1-1】（19-20七年级上·河南安阳·期中）请写出一个含有字母，的单项式，且它的系数是，次数为5， . 【变式1-2】（21-22七年级上·甘肃临夏·期中）请你写出一个只含字母a和b，次数为4的单项式 . 【变式1-3】（22-23七年级·北京怀柔·期末）写出一个单项式，要求：此单项式含有字母a、b，系数是负数，次数是3．我写的单项式为 ． 【考点题型二】单项式规律题 【精讲题】（20-21七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组单项式：，，，，…则第6个单项式是 ，第n个单项式是 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：按照上述规律，第2015个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级上·云南昭通·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】多项式系数、指数中字母求值 【精讲题】（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【变式3-1】（21-22六年级下·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【变式3-2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【变式3-3】（22-23七年级上·山东济南·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ．A、B两点之间的距离： ． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由． 【考点题型四】将多项式按照某个字母升幂（降幂）排列 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知，. (1)化简，结果按照的降幂排列； (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)试判断，的大小关系，并说明理由． 【变式4-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（20-21七年级上·福建厦门·期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 【变式4-3】（23-24七年级上·吉林·期中）多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 【考点题型五】数字类规律探索 【精讲题】（22-23七年级上·山东日照·期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，的差倒数 ． 【变式5-1】．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式5-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）综合题：阅读理解： (1)如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，线段的中点表示的数是0.5，即；之间的距离为，在数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是． ①在数轴有A、B、C三点，若点A对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为中点，则AB中点C所对应的数是 ． ②当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． 当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． (2)已知，当时，左边，右边，所以， 求以下代数式的值： ①， ②. 【变式5-3】．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【考点题型六】图形类规律探索 【精讲题】（22-23七年级上·广西南宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，则序号为⑩的长方形的周长是 ． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【变式6-3】（23-24七年级上·四川内江·期中）如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 【考点题型七】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·期中）如果单项式与可以合并，那么 ． 【变式7-1】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于或的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是 (填写序号)； (2)若与是“强同类项”，求的值； (3)若为关于、的多项式，，当的任意两项都是“强同类项”，求的值； (4)已知、均为关于，的单项式，其中，，如果、是“强同类项”，那么的最大值是 ，最小值是 ． 【变式7-3】（22-23七年级上·山西朔州·期中）（1）若单项式与是同类项，求的值． （2）轩轩在计算时，步骤如下： 解：原式……………………第一步 ………………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 ①轩轩的计算过程中开始出现错误的步骤是第______步． ②请给出正确的解题过程． 【考点题型八】合并同类项 【精讲题】（23-24七年级上·河南平顶山·期中）计算下列各题： (1) ； (2)； (3)． 【变式8-1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果是四次多项式，是三次多项式，那么一定是（    ） A．七次多项式 B．次数不高于四次的整式 C．四次的整式 D．四次多项式 【变式8-2】（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知：b是最小的正整数，a为b的相反数，c的相反数是，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)a，b，c在数轴上的点为A，B，C，结合数轴请直接写出A与B的距离的值，A与C的距离的值，B与C的距离的值； (3)点P为数轴上一移动的点，其对应的数为x，请你探索的最小值． 【变式8-3】（22-23七年级上·山东济宁·期中）阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【考点题型九】整式的加减运算与应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期中）（1）计算：； （2）计算：． （3）先化简，再求值：，其中，． 【变式9-1】（22-23七年级上·广东广州·期中）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 【变式9-2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式9-3】（23-24七年级上·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 【考点题型十】整式的加减中的化简求值 【精讲题】（22-23七年级上·广西防城港·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【变式10-1】（21-22七年级上·河南许昌·期末）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是．已知． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 【变式10-2】（23-24七年级上·四川成都·期中）符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： (1)分别求、的值； (2)用含的代数式表示与，并比较与的大小； (3)先化简，再求值：，其中，． 【变式10-3】（19-20七年级上·河南商丘·期中）化简求值： （1）已知求的值； （2）关于的多项式不含二次项，求的值． 【考点题型十一】整式加减中的无关型问题 【精讲题】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【变式11-1】（21-22七年级上·湖北武汉·期中）我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．理解应用：若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值． 【变式11-3】（20-21七年级上·江西宜春·期中）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值． （2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝． 若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小． 期中真题拔高训练15题 1．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若单项式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 3．（22-23七年级上·山东济宁·期中）若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）对于多项式，每次选择其中的个括号改变其前面的符号（为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为（为常数且），则； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有15种不同的结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得1，这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数恰好经过6步运算可得到1，则所有符合条件的的值有(    ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若长方形的一边长是，另一边长为，则这个长方形的周长为 ． 7．（22-23七年级下·重庆·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 8．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 9．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 10．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 11．（22-23七年级上·广西防城港·期中）设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 12．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (3) ，其中． 13．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足． (1) ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，若的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围． 14．（23-24七年级上·河南新乡·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    15．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$