精品解析：2023年浙江省温州市苍南中学提前招生数学模拟试题

温州重点高中提前招数学试卷 满分 120 分 一． 选择题（每小题 6 分， 共 42 分） 1. 已知关于 的一元二次方程为 有一个非零根 ，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图， ，点为直线上一动点，当线段最短时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知， 则 的值为（ ） A. 1 B. C. D. -1 4. 如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 个 D. 16 个 7. 若实数满足，代数式最大值是（　　） A. 27 B. 18 C. 15 D. 12 二． 填空题（每小题 6 分， 共 42 分） 8. 若满足，则的取值范围是_______． 9. 若不等式有解，则实数a最小值是_____． 10. 若 个连续正整数之和为 2010 ， 则 的最大值为 ____________________． 11. 二次函数图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于点．已知，，则________． 12. 三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为___________________ ． 13. 如图，在矩形中，，，点E，F分别是，上点，，垂足为点O，连接，，则的最小值为 _____． 14. 在直角坐标系中，抛物线 （m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于________． 三． 解答题 （15/16 题每题 8 分， 17，18 题每题 10 分） 15. 对于三个数、、，我们用表示、、这三个数的平均数．表示、、这三个数的中位数．例如：，． （1）若，求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，求CA1的长． 17. 已知实数a，b，c满足，，求值． 18. 如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．（其中点E和点A，点C和点B分别是对应点） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温州重点高中提前招数学试卷 满分 120 分 一． 选择题（每小题 6 分， 共 42 分） 1. 已知关于 的一元二次方程为 有一个非零根 ，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由关于的一元二次方程有一个非零根，有，即得． 【详解】关于的一元二次方程有一个非零根， ∴， 两边同时除以得： ， ， 故选：A． 2. 如图， ，点为直线上一动点，当线段最短时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵A（0，﹣），点B为直线y=﹣x上一动点，∴当AB⊥OB时，线段AB最短，此时点B在第四象限，作BC⊥OA于点C，∠AOB=45°，如下图所示： ∴OC=CB=OA，∴点B的坐标为（，﹣）．故选D． 点睛：本题考查一次函数图象上点的坐标特征和垂线段最短，解题的关键是明确直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短，直线y=﹣x与两坐标轴的夹角为45°． 3. 已知， 则 的值为（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三元方程组求解，已知，则，即；，即；，即；利用加减法解这个三元方程组即可． 【详解】解：已知，则： ，即，① ，即，② ，即，③ ，得，④ ，得，解得． 故选：B． 4. 如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围． 【详解】解：∵方程有三根， ∴，有根，方程的，得． 又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长． ∴有，，而已成立； 当时，两边平方得：． 即：．解得． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 5. 一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理及等腰三角形的定义，在中，，，在中．，，过点作于点，于点，设，利用勾股定理求出再根据，推出，构建关系式，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，在中，，，在中．，， ， 过点作于点，于点， 设， ∵， ∴， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，令， 则， 故， 整理得， 解得：（舍）， 故， 故选：． 6. 布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色球， 则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 个 D. 16 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 详解】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球，最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，即最少要摸：个球； 故选B． 7. 若实数满足，代数式的最大值是（　　） A. 27 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式以及平方的非负性，根据完全平方公式及其变形，得到，即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∵； 又 ∴原式=， ∵， ∴其值最小为0， 故原式最大值为27． 故选A． 二． 填空题（每小题 6 分， 共 42 分） 8. 若满足，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】可以由已知条件：用表示或用表示．再根据和都是非负数，即可求得的最大值和最小值． 【详解】解：，满足， ； 又和都是非负数， ， 同理 ； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最值问题．注意能用一个字母表示另一个字母，从而用一个字母表示，再结合二次根式的性质进行分析，即可得出的最大值和最小值． 9. 若不等式有解，则实数a最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】分类讨论：当或或，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值． 【详解】解：当，原不等式变为：，解得， ∴，解得； 当，原不等式变为：，解得， ∴，解得； 当，原不等式变为：，解得， ∴，解得； 综上所述，实数a最小值是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用． 10. 若 个连续正整数之和为 2010 ， 则 的最大值为 ____________________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查利用公式法求解一元二次方程，此题中涉及的公式有：．设第一个正整数是，则第个正整数是．根据进行分析求解． 【详解】设第一个正整数是，则第个正整数是，则越小，越大， 根据题意，得， ∴， 整理得， ， 解得 ∵，都是正整数， ∴，且为最小的平方数， ∵， ∴， 解得（只求正整数）， 此时， 故答案为：60． 11. 二次函数的图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于点．已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题． 【详解】如图，由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c． 设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣b，x1x2=c．又∠CAO=30°，则； 于是，． 由x1x2=9c2=c，得：或c=0(舍去)． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题． 12. 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为___________________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，直角三角形的特征，勾股定理，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量． 由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h． 【详解】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴， 知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点， 可设，，，，，，斜边上的高为， 故， 是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半， ， ， 方程两边平方得，即， 因为， 所以． 故答案为：1． 13. 如图，在矩形中，，，点E，F分别是，上的点，，垂足为点O，连接，，则的最小值为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】分别以、为边作平行四边形，连接，过点作交于点G，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：分别以、为边作平行四边形，连接，过点作交于点G， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答． 14. 在直角坐标系中，抛物线 （m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于________． 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线 与x轴交于A，B两点，得到方程的两根就是A，B两点的横坐标，根据根与系数的关系x1+x2=-，x1x2=,求出m的值. 【详解】设方程x2+mx﹣ m2=0的两根分别为x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 则有x1+x2=﹣m＜0，x1x2=﹣ m2＜0， 所以x1＜0，x2＞0，由 ﹣ = ，可知OA＞OB，又m＞0， 所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=﹣x1 ， OB=x2 ， 所以 + = ，即 = ， 故 = ， 解得m=2． 故答案：2 【点睛】考查了根与系数的关系，抛物线与x轴的交点,熟练掌握抛物线与x轴的交点特征，求出抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键． 三． 解答题 （15/16 题每题 8 分， 17，18 题每题 10 分） 15. 对于三个数、、，我们用表示、、这三个数的平均数．表示、、这三个数的中位数．例如：，． （1）若，求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． （1）分和两种情况求解即可； （2）先求出，再分、、三种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：①若，则； ②若，则； 由①②得或； 【小问2详解】 解：由已知得， ， ①若 则，即， 则符合． ②若 则，解得， 则（不合题意，舍去）； ③若 则，解得， 则（不合题意，舍去）； 由①②③得． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，求CA1的长． 【答案】2±1 【解析】 【分析】过点A1作A1M⊥BC，A1N⊥CD，证明MA1＝MC，在△BMA1中，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x，根据CA1＝x，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A1作A1M⊥BC，A1N⊥CD； ∵四边形ABCD为矩形，且CA1平分∠BCD， ∴∠BCD＝90°，∠MCA1＝∠MA1C＝45°， ∴△MA1C是等腰直角三角形， ∴MA1＝MC， 设MA1＝MC＝x， 则BM＝4﹣x； 由折叠的性质得：BA1＝BA＝3； 在△BMA1中，由勾股定理得：x2+（4﹣x）2＝32， 解得：x＝2±， ∴CA1＝x＝2±1， ∴CA1的长为2±1． 【点睛】本题考查矩形的翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、角平分线的性质等，灵活根据题意构造直角三角形运用勾股定理求解是解题关键． 17. 已知实数a，b，c满足，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由和两式变形得出，，，再将原式变形为，计算即可． 【详解】∵， ∴，两边同时平方得， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 同理可得，， 原式= = = = = = = = = = = =． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是对代数式进行变形． 18. 如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．（其中点E和点A，点C和点B分别是对应点） 【答案】（1）a=1，b=3，k=4；（2）（8，），或（2，） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入可求得k的值，根据△AOB的面积求得点B坐标，把点A，B的坐标代入，可求得a，b，的值； （2）分两种情况（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△，（ii）作△关于x轴的对称图形△，进行解答． 【详解】解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4 故双曲线函数表达式为 设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为， 则有 解得， 于是，直线AB与y轴的交点坐标为， 故，整理得， 解得，或t＝（舍去） 所以点B的坐标为（，） 因为点A，B都在抛物线（a0）上， 所以，解得 （2）如图， 因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以 设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0） 因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB= （i）将△绕点O顺时针旋转，得到△，这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，） 延长到点，使得=， 这时点（8，）是符合条件的点 （ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点 所以，点的坐标是（8，），或（2，）． 【点睛】本题考查反比例函数、二次函数及几何综合，掌握图像性质利用数形结合思想解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$