专题2.2 立方根【9大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.2 立方根【9大题型】（北师大版） 题组一 立方根概念理解 1 题组二 求一个数的立方根 2 题组三 求一个代数式的立方根 2 题组四 立方根的估算 2 题组五 立方根的性质 3 题组六 运用立方根性质解方程 4 题组七 立方根与（算术）平方根 4 题组八 立方根规律探究 5 题组九 立方根其他类型题目 6 ( 知识导航 ) 1.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根），记作：。 2.一个数的立方根只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。 3.立方根的性质 ①，②，③ 题组一 立方根概念理解 1．下列说法错误的是（　　） A．的平方根是 B．﹣9是81的平方根 C．16的算术平方根是±4 D． 2．下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是﹣13 C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2 3．下列命题为真命题的是（　　） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为零的数的立方根和这个数同号 4．已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 题组二 求一个数的立方根 5．若a是（﹣3）2的平方根，则＝（　　） A．﹣3 B． C．或 D．3和﹣3 6．求值：＝（　　） A． B． C． D． 7．﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．512 D．﹣512 题组三 求一个代数式的立方根 8．已知4m+11的立方根是3，5m﹣3n+2的算术平方根是4，则m﹣n的值为（　　） A．5 B．3 C．2 D．9 9．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a，则这个正数的立方根是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知是1的立方根，则3a﹣2b的平方根为（　　） A．±3 B．±4 C．±5 D．±6 题组四 立方根的估算 11．已知：，，则（　　） A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 12．已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 13．若，，则x的值是（　　） A．0.5981 B．±0.5981 C．0.214 D．±0.214 题组五 立方根的性质 14．若＝a，则a的值不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 15．若a2＝（﹣5）2，b3＝（﹣5）3，则a+b的所有可能值为（　　） A．0 B．﹣10 C．﹣10或0 D．10或﹣10 16．在实数范围内，下列判断正确的是（　　） A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 17．若x2＝（﹣5）2，y3＝（﹣5）3，则x﹣y的值为（　　） A．0 B．±1 C．0或10 D．﹣5 18．若，则x的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C． D．以上都不对 19．下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 20．若a，b为实数，且，则的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．3 21．若非零实数x，y满足，则＝　 　． 22．已知，那么＝　 　． 23．一个正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，且，则x＝　 　，＝　 　． 24．已知与相等，则b的值为 　 　． 25．若一个正数x的平方根是和，则的值为 　 　． 题组六 运用立方根性质解方程 26．求下列各等式中的x： （1）27x3﹣125＝0 （2） （3）（x﹣2）3＝﹣0.125． 27．求下列x的值 （1）（x﹣2）2＝9； （2）（x+1）3﹣＝1． 28．求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2+1＝17； （2）（x+2）3+27＝0． 29．解方程： （1）（x﹣3）3﹣27＝0； （2）（1﹣x）2＝16． 30．（1）25（x+1）2﹣36＝0 （2）（2x﹣1）3＝﹣8． 31．求出下列x的值： （1）4x2﹣81＝0； （2）8（x+1）3＝27． 题组七 立方根与（算术）平方根 32．已知2是x的立方根，且（y﹣2x+5）2+＝0，求的值． 33．已知A＝是a+b+3的算术平方根，B＝是a+2b立方根，求B﹣A的立方根． 34．如果为a﹣3b的算术平方根，为1﹣a2的立方根，求2a﹣3b的平方根． 35．已知且与互为相反数，求yz﹣x的平方根． 36．已知+2＝x，且与互为相反数，求x，y的值． 37．已知：，且与互为相反数，求yz﹣x的平方根． 38．若与互为相反数，求的值． 39．已知＝，求x2+y2﹣4的平方根． 题组八 立方根规律探究 40．观察下列计算过程，猜想立方根．13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729； （1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 　 　，又由203＜19000＜303；猜想19683的立方根十位数为 　 　，可得19683的立方根； （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①＝　 　，②＝　 　． 41．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①：，，又∵1000＜59319＜100000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数17576，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 　 　位数； ②它的立方根的个位数是 　 　； ③它的立方根的十位数是 　 　； ④17576的立方根是 　 　． （2）根据计算步骤，请计算，并书写详细过程． 42．判断下列各式是否成立： ①； ②； ③； ④； … （1）上述各式成立吗？若成立，请写出第⑤个等式； （2）请你用含有n（n为非零自然数）的等式表示上述规律． 题组九 立方根其他类型题目 43．定义，求f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）的值．（k为整数k＞0） 44．解方程． 45．计算： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 立方根【9大题型】（北师大版） 题组一 立方根概念理解 1 题组二 求一个数的立方根 2 题组三 求一个代数式的立方根 3 题组四 立方根的估算 4 题组五 立方根的性质 5 题组六 运用立方根性质解方程 8 题组七 立方根与（算术）平方根 8 题组八 立方根规律探究 13 题组九 立方根其他类型题目 13 ( 知识导航 ) 1.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根），记作：。 2.一个数的立方根只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。 3.立方根的性质 ①，②，③ 题组一 立方根概念理解 1．下列说法错误的是（　　） A．的平方根是 B．﹣9是81的平方根 C．16的算术平方根是±4 D． 【解答】解：的平方根是，故A正确，不符合题意； ﹣9是81的一个平方根，故B正确，不符合题意； 16的算术平方根是4，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是﹣13 C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2 【解答】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误； B、3的平方根是，故该选项错误； C、因为33＝27，（﹣3）3＝﹣27，则27的立方根是3，该选项错误； D、，因为（±2）2＝4，则4的平方根为±2，故该选项正确； 故选：D． 3．下列命题为真命题的是（　　） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为零的数的立方根和这个数同号 【解答】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或﹣1，故原命题为假命题； B、一个数的立方根不是正数就是负数，故原命题为假命题；还有0； C、负数有立方根，故原命题为假命题； D、故原命题为真命题； 故选：D． 4．已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【解答】解：∵， ∴是的立方根，故选项A、C、D均错误；B正确． 故选：B． 题组二 求一个数的立方根 5．若a是（﹣3）2的平方根，则＝（　　） A．﹣3 B． C．或 D．3和﹣3 【解答】解：∵a是（﹣3）2的平方根， ∴a＝3或﹣3， ∴＝或． 故选：C． 6．求值：＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：＝﹣． 故选：D． 7．﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．512 D．﹣512 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2． 故选：A． 题组三 求一个代数式的立方根 8．已知4m+11的立方根是3，5m﹣3n+2的算术平方根是4，则m﹣n的值为（　　） A．5 B．3 C．2 D．9 【解答】解：∵4m+11的立方根是3， ∴4m+11＝27， 解得m＝4， ∵5m﹣3n+2的算术平方根是4， ∴5m﹣3n+2＝16， 将m＝4代入5m﹣3n+2＝16中， 有20﹣3n+2＝16， 解得n＝2， 则m﹣n的值为4﹣2＝2． 故选：C． 9．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a，则这个正数的立方根是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a， ∴3a﹣5+7﹣a＝0， 解得：a＝﹣1， ∴3a﹣5＝﹣8， 则这个正数是64， 这个正数的立方根是＝4， 故选：A． 10．已知是1的立方根，则3a﹣2b的平方根为（　　） A．±3 B．±4 C．±5 D．±6 【解答】解：∵b是1的立方根， ∴b＝1， ∴3a﹣2b＝3a﹣2×1＝3a﹣2， ∵ ∴3a﹣2b的平方根为±4， 故选：B． 题组四 立方根的估算 11．已知：，，则（　　） A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 【解答】解：． 故选：C． 12．已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【解答】解：＝＝×＝10≈2.776×10＝27.76． 故选：A． 13．若，，则x的值是（　　） A．0.5981 B．±0.5981 C．0.214 D．±0.214 【解答】解：∵，， ∴x＝0.214， 故选：C． 题组五 立方根的性质 14．若＝a，则a的值不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 【解答】解：因为＝a， 所以a＝0，﹣1，1， 即a的值不可能是3． 故选：D． 15．若a2＝（﹣5）2，b3＝（﹣5）3，则a+b的所有可能值为（　　） A．0 B．﹣10 C．﹣10或0 D．10或﹣10 【解答】解：∵a2＝（﹣5）2，b3＝（﹣5）3， ∴a＝±5，b＝﹣5， 则a+b＝5﹣5＝0或﹣5﹣5＝﹣10， 综上，原式的值为﹣10或0， 故选：C． 16．在实数范围内，下列判断正确的是（　　） A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 【解答】解：A、若|m|＝|n|，则m＝±n，故本选项判断错误，不符合题意； B、若a2＞b2，则|a|＞|b|，当a＜0时，a＜b，故本选项判断错误，不符合题意； C、若，则a＝b，故本选项判断正确，符合题意； D、若，则|a|＝b，故本选项判断错误，不符合题意； 故选：C． 17．若x2＝（﹣5）2，y3＝（﹣5）3，则x﹣y的值为（　　） A．0 B．±1 C．0或10 D．﹣5 【解答】解：∵x2＝（﹣5）2＝25， ∴x＝±5． ∵y3＝（﹣5）3， ∴y＝﹣5， ∴x﹣y＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10或x﹣y＝﹣5﹣（﹣5）＝0． 故选：C． 18．若，则x的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C． D．以上都不对 【解答】解：+＝0， 即＝﹣， 故有2x﹣1＝﹣5x﹣8 解之得x＝﹣1， 故选：B． 19．下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 【解答】解：A、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； B、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； C、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； D、若，则a不一定等于b，例如：＝，但﹣3≠3，故本选项正确． 故选：D． 20．若a，b为实数，且，则的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．3 【解答】解：∵， ∴a+1＝0，9﹣b＝0， 解得：a＝﹣1，b＝9， ∴， 故选：B． 21．若非零实数x，y满足，则＝　﹣2　． 【解答】解：∵非零实数x，y满足+＝0， ∴y﹣2x+x﹣3y＝0， ∴﹣x＝2y， ∴＝﹣2． 故答案为：﹣2． 22．已知，那么＝　2　． 【解答】解：由题意可得a+2＝0，b﹣10＝0， 解得：a＝﹣2，b＝10， 则＝＝＝2， 故答案为：2． 23．一个正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，且，则x＝　2　，＝　3　． 【解答】解：∵一个正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x， ∴2x﹣3+1﹣x＝0， 解得：x＝2， ∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1， ∴a＝1； ∵， ∴1﹣2b+3b﹣5＝0， 解得：b＝4， ∴＝＝＝3， 故答案为：2；3． 24．已知与相等，则b的值为 　6　． 【解答】解：由题可知， 1+2b＝3b﹣5， 解得b＝6． 故答案为：6． 25．若一个正数x的平方根是和，则的值为 　﹣2　． 【解答】解：∵一个正数x的平方根是和， ∴， ∴17﹣a+3a﹣1＝0， ∴a＝﹣8， ∴， 故答案为：﹣2． 题组六 运用立方根性质解方程 26．求下列各等式中的x： （1）27x3﹣125＝0 （2） （3）（x﹣2）3＝﹣0.125． 【解答】解：（1）：移项得：27x3＝125， 系数化为1得：x3＝， 开立方得：； （2）原方程可化为：x3＝﹣8， 开立方得：x＝﹣2； （3）开立方得：x﹣2＝﹣0.5， 移项得：x＝1.5． 27．求下列x的值 （1）（x﹣2）2＝9； （2）（x+1）3﹣＝1． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）∵（x+1）3﹣＝1， ∴（x+1）3＝， ∴x+1＝， ∴x＝． 28．求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2+1＝17； （2）（x+2）3+27＝0． 【解答】解：（1）（x﹣2）2+1＝17， （x﹣2）2＝16， x﹣2＝±4， x＝6或x＝﹣2； （2）（x+2）3+27＝0， （x+2）3＝﹣27， x+2＝﹣3， x＝﹣5． 29．解方程： （1）（x﹣3）3﹣27＝0； （2）（1﹣x）2＝16． 【解答】解：（1）（x﹣3）3﹣27＝0 （x﹣3）3＝27 x﹣3＝3 ∴x＝6； （2）（1﹣x）2＝16 1﹣x＝±4 当1﹣x＝4时，x＝﹣3； 当1﹣x＝﹣4时，x＝5， ∴x＝﹣3或5． 30．（1）25（x+1）2﹣36＝0 （2）（2x﹣1）3＝﹣8． 【解答】解：（1）25（x+1）2﹣36＝0， 25（x+1）2＝36， （x+1）2＝， x+1＝±， x＝0.2或x＝﹣2.2； （2）（2x﹣1）3＝﹣8， 2x﹣1＝﹣2， 2x＝﹣1， x＝﹣． 31．求出下列x的值： （1）4x2﹣81＝0； （2）8（x+1）3＝27． 【解答】解：（1）∵4x2﹣81＝0， ∴4x2＝81， 则x2＝， ∴x＝±； （2）∵8（x+1）3＝27， ∴（x+1）3＝， 则x+1＝， 解得x＝． 题组七 立方根与（算术）平方根 32．已知2是x的立方根，且（y﹣2x+5）2+＝0，求的值． 【解答】解：∵2是x的立方根， ∴x＝8， ∵（y﹣2x+5）2+＝0， ∴， 解得：， ∴ ＝ ＝ ＝． 33．已知A＝是a+b+3的算术平方根，B＝是a+2b立方根，求B﹣A的立方根． 【解答】解：根据题意得a﹣2＝2，a﹣2b+3＝3， 解得a＝4，b＝2， 则A＝＝3，B＝＝2， 所以B﹣A＝3﹣2＝﹣1， 所以B﹣A的立方根是﹣1． 34．如果为a﹣3b的算术平方根，为1﹣a2的立方根，求2a﹣3b的平方根． 【解答】解：由题意，有， 解得， 得：2a﹣3b＝8． 则． 35．已知且与互为相反数，求yz﹣x的平方根． 【解答】解：因为， 所以x+2＝0，y﹣3＝0， 所以x＝﹣2，y＝3， 因为互为相反数， 所以2﹣3z+4z﹣3＝0， 所以z＝1， 所以yz﹣x＝3×1﹣（﹣2）＝5， 因为5的平方根是， 所以yz﹣x的平方根为． 36．已知+2＝x，且与互为相反数，求x，y的值． 【解答】解：∵+2＝x，即＝x﹣2， ∴x﹣2＝0或1或﹣1， 解得：x＝2或3或1， ∵与互为相反数，即+＝0， ∴3y﹣1+1﹣2x＝0，即3y﹣2x＝0， ∴x＝2时，y＝；当x＝3时，y＝2；当x＝1时，y＝． 37．已知：，且与互为相反数，求yz﹣x的平方根． 【解答】解：∵， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， ∵与互为相反数， ∴1﹣2z+3z﹣5＝0， 解得：z＝4， ∴yz﹣x＝8﹣（﹣1）＝9， ∴yz﹣x的平方根为：±＝±3． 38．若与互为相反数，求的值． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴+＝0， ∴1﹣2x+3y﹣2＝0， 1+2x＝3y， ∴＝＝3． 39．已知＝，求x2+y2﹣4的平方根． 【解答】解：∵＝3， ∴x+2＝32＝9， ∴x＝7， ∵＝3， ∴2x+y+7＝33， ∴14+y+7＝27， ∴y＝6， ∴± ＝± ＝±9． 题组八 立方根规律探究 40．观察下列计算过程，猜想立方根．13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729； （1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 　7　，又由203＜19000＜303；猜想19683的立方根十位数为 　2　，可得19683的立方根； （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①＝　﹣49　，②＝　0.81　． 【解答】解：（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （2）①＝﹣49； ②＝0.81． 故答案为：（1）7，2，27；（2）﹣49，0.81． 41．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①：，，又∵1000＜59319＜100000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数17576，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是 　两　位数； ②它的立方根的个位数是 　6　； ③它的立方根的十位数是 　2　； ④17576的立方根是 　26　． （2）根据计算步骤，请计算，并书写详细过程． 【解答】解：（1）①＝10，＝100 又∵1000＜17576＜1000000， ∴ ∴能确定17576的立方根是个两位数． ②∵17576的个位数是6， 又∵63＝216， ∴能确定17576的立方根的个位数是6． ③如果划去17576后面的三位576得到数17， 而，则，可得． 由此能确定17576的立方根的十位数是2 因此17576的立方根是26． 故答案为：①两，②6，③2，④26； （2）∵， 又∵1000＜474552＜1000000， ∴ ∴能确定474552的立方根是个两位数． ∵474552的个位数是2， 又∵83＝512， ∴能确定474552的立方根的个位数是8． 如果划去474552后面的三位552得到数474， 而，则，可得， 由此能确定474552的立方根的十位数是7， 因此474552的立方根是78． 42．判断下列各式是否成立： ①； ②； ③； ④； … （1）上述各式成立吗？若成立，请写出第⑤个等式； （2）请你用含有n（n为非零自然数）的等式表示上述规律． 【解答】解：（1）上述各式成立，第⑤个等式是． （2）用含有n（n为非零自然数）的等式表示上述规律为． 题组九 立方根其他类型题目 43．定义，求f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）的值．（k为整数k＞0） 【解答】解： ＝ ＝， ∴f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215） ＝ ＝ ＝3． 44．解方程． 【解答】解：设， 依题意，可得， ②÷①得：a2﹣ab+b2＝3， 即（a+b）2﹣3ab③， ①代入③得，ab④， ①代入④得：a（3﹣a）＝2， 解得：a1＝1，a2＝2， ∴或， 若a＝1，即，则x＝﹣4， 若a＝2，即，则x＝3， 综上所述x1＝3，x2＝﹣4． 45．计算：． 【解答】解：原式＝＝＝＝＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$