2.1—2.4 平方根 立方根 实数 近似值-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

2.1—2.4 平方根 立方根 实数 近似值 1、 平方根 1. 定义：一般地，如果x2=a（a≥0），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 2. 表示方法：正数a的平方根记做±√a，读作“正负根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2） 零的平方根是零。 （3） 负数没有平方根。 2、 算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 2. 表示方法：记作√a，读作“根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数只有一个算术平方根。 （2） 零的算术平方根是零。 （3） 负数没有算术平方根。 （4） 算术平方根具有双重非负性：被开方数是非负数，算术平方根也是非负数。 3、 立方根 1. 定义：一般地，如果x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。 2. 表示方法：记作∛a，读作“三次根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数有一个正的立方根。 （2） 一个负数有一个负的立方根。 （3） 零的立方根是零。 4、 实数 1. 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。 2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见类型有： （1） 方开不尽的数，如√2等。 （2） 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。 （3） 有特定结构的数，如0.1010010001…等。 3. 实数比较大小法： （1） 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 （2） 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。 （3） 两个负数，绝对值大的反而小。 5、 近似值 1.定义：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 2.取近似值的方法：四舍五入法。 巩固课内例1:求下列各数的算术平方根 1．9的算术平方根为（   ） A．3 B．3 C．3 D．81 2．计算： （1） ． （2） ． 3．求下列各数的算术平方根： (1)81． (2)． (3)7． 巩固课内例2:求下列各数的平方根 1．的平方根是（　　） A． B． C． D． 2．若是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ． 3．求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 巩固课内例3:求下列各数的立方根 1．计算：（　　） A． B．3 C． D． 2．8的立方根为 ． 3．求下列各数的立方根： (1)． (2)． (3)． 巩固课内例4:无理数 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数：，，，为无理数的是 ． 3．把下列各数填入相应括号里：，，0，，，，，， 负分数：（　　）；整数：（　　）；无理数：（　　）；正有理数：（　　） 巩固课内例5:在数轴上表示无理数 1．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    3．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，A，B是正方形网格的格点． (1)过A，B两点画一条数轴，并标出原点O的位置，使点A表示2，点B表示； (2)在所画数轴上画出表示，，的点； (3)借助网格在数轴上画出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 巩固课内例6:用计算器计算(比较)无理数 1．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 根据上表，求的值，若结果四舍五入到整数位，则值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．用计算器求下列各式的值： （1） ； （2） ．（精确到0.01） 3．利用计算器解方程（近似根保留三位小数）． 巩固课内例7:用计算器计算近似值 1．在计算器上依次按下键，屏幕上显示，在求的近似值（精确到0.001）时，应取值为（    ）． A． B． C． D． 2．用计算器计算： （精确到）． 3．用计算器计算： (1)； (2)（精确到0.01）． 巩固课内例8:科学记数法表示近似数 1．用科学记数法表示的近似数精确到哪一位？（ ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 2．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是 ．（用科学记数法表示） 3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值并用科学记数法表示． (1)精确到千位； (2)精确到千万位； (3)精确到亿位． 类型一、实数的分类 1．实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 2．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，3.1415，，0.03003000，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                   …}． (2)无理数集合：{                   …}． (3)正实数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 类型二、近似数 1．圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（　　） A． B． C． D． 2．把4.1058精确到0.01是 ． 3．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 类型三、实数中的相反数与绝对值 1．关于2025这个数据下列说法错误的是（   ） A．2025相反数是 B．2025绝对值是2025 C．2025倒数是 D．2025的平方根为45 2．的相反数是 ，绝对值是 ． 3．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、利用平方根解方程 1．已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 2．若，则 ． 3．解方程： (1) (2) 类型二、利用立方根解方程 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．求下列各式中的x (1) (2) 类型三、平方根与立方根综合应用 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 2．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 3．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 类型一、平方根的应用 1．已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 2．园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 3．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 类型二、立方根的应用 1．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 2．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 3．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 类型三、规律问题 1．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 2．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 3．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 类型四、新定义问题 1．定义一个新运算，已知，，则等于（   ） A．8或 B．8 C．2 D．2或 2．已知实数，定义运算：，若，则 ． 3．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 类型五、程序问题 1．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 2．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1—2.4 平方根 立方根 实数 近似值 1、 平方根 1. 定义：一般地，如果x2=a（a≥0），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 2. 表示方法：正数a的平方根记做±√a，读作“正负根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2） 零的平方根是零。 （3） 负数没有平方根。 2、 算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 2. 表示方法：记作√a，读作“根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数只有一个算术平方根。 （2） 零的算术平方根是零。 （3） 负数没有算术平方根。 （4） 算术平方根具有双重非负性：被开方数是非负数，算术平方根也是非负数。 3、 立方根 1. 定义：一般地，如果x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。 2. 表示方法：记作∛a，读作“三次根号a”。 3. 性质： （1） 一个正数有一个正的立方根。 （2） 一个负数有一个负的立方根。 （3） 零的立方根是零。 4、 实数 1. 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。 2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见类型有： （1） 方开不尽的数，如√2等。 （2） 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。 （3） 有特定结构的数，如0.1010010001…等。 3. 实数比较大小法： （1） 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 （2） 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。 （3） 两个负数，绝对值大的反而小。 5、 近似值 1.定义：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 2.取近似值的方法：四舍五入法。 巩固课内例1:求下列各数的算术平方根 1．9的算术平方根为（   ） A．3 B．3 C．3 D．81 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根概念即可解答问题． 【详解】解：9的算术平方根为3， 故选：A． 2．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把整理得，再运算它的算术平方根，即可作答． （2）先整理得，再运算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 3．求下列各数的算术平方根： (1)81． (2)． (3)7． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 直接利用算术平方根的定义计算得出答案． 【详解】（1）解：81的算术平方根是9； （2）解：的算术平方根是； （3）解：7的算术平方根是． 巩固课内例2:求下列各数的平方根 1．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根，解题的关键是正确理解平方根的概念． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2．若是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：∵是m的一个平方根， ∴m的另一个平方根是， 故答案为： 3．求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （2）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （3）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是，即． （2）解：∵， ∴的平方根是，即． （3）解：∵， ∴的平方根是，即． 巩固课内例3:求下列各数的立方根 1．计算：（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的立方根．根据立方根的定义进行解答即可． 【详解】解： 故选：C 2．8的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴8的立方根为2． 故答案为：2． 3．求下列各数的立方根： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． （1）利用立方根的定义即可得到结果． （2）利用立方根的定义即可得到结果． （3）利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：因为， 所以的立方根是， 即． （2）解：因为， 所以的立方根是， 即． （3）解：因为， 所以的立方根是， 即． 巩固课内例4:无理数 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…相邻两个2中间依次多1个，等这样有规律的数．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【详解】解：是小数，是整数，是分数，这些都属于有理数； 是无理数． 故选：C． 2．下列各数：，，，为无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，无限不循序小数是无理数，据此解答即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，为有理数，无理数的是， 故答案为：． 3．把下列各数填入相应括号里：，，0，，，，，， 负分数：（　　）；整数：（　　）；无理数：（　　）；正有理数：（　　） 【答案】负分数：（，），整数：（，0），无理数：（，），正有理数：（，） 【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类方法，进行作答即可． 【详解】解：负分数：（，）； 整数：（，0）； 无理数：（，）； 正有理数：（，）． 巩固课内例5:在数轴上表示无理数 1．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的应用．根据点在和之间，再对各选项进行估算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知点在和之间， ∵，是有理数， ∴数轴上点P表示的无理数可能是． 故选：B． 2．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    【答案】点/点 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点是Q点． 故答案为：点． 3．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，A，B是正方形网格的格点． (1)过A，B两点画一条数轴，并标出原点O的位置，使点A表示2，点B表示； (2)在所画数轴上画出表示，，的点； (3)借助网格在数轴上画出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数与数轴，绝对值，算术平方根，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点A表示2，点B表示画出数轴即可； （2）首先计算绝对值和算术平方根，然后在所画数轴上画出各点即可； （3）以点O为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴的交点即为所求表示的点． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：，， 如图所示； （3）解：如图所示，点E即为所求； ∵， ∴ ∴ ∴点即为所求表示的点． 巩固课内例6:用计算器计算(比较)无理数 1．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 根据上表，求的值，若结果四舍五入到整数位，则值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，结合表格计算即可得解，理解表格是解此题的关键． 【详解】解：结合表格可得，， 故选：D． 2．用计算器求下列各式的值： （1） ； （2） ．（精确到0.01） 【答案】 185 3.16 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）用计算器求相应数的算术平方根，再相加计算即可． （2）用计算器求相应数的算术平方根，并用四舍五入的方法精确到0.01即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：185； （2）3.16， 故答案为：3.16． 3．利用计算器解方程（近似根保留三位小数）． 【答案】2.830 【分析】本题考查利用立方根解方程，根据立方根的定义结合计算器解方程即可． 【详解】解：， ∴． 巩固课内例7:用计算器计算近似值 1．在计算器上依次按下键，屏幕上显示，在求的近似值（精确到0.001）时，应取值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数近似计算的要求，计算过程比结果的要求多一位小数即可．本题考查近似数，熟悉实数计算过程中近似数的取法是解题的关键． 【详解】解：结果精确到0.001， 应取值为1.4142， 故选：B． 2．用计算器计算： （精确到）． 【答案】9.42 【分析】本题考查了计算器的使用，近似数，有理数的混合运算，用计算器计算，按照题目要求取近似数即可． 【详解】解： ． 故答案为：9.42 3．用计算器计算： (1)； (2)（精确到0.01）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用计算器计算有理数的混合运算的能力． （1）只要按照书写顺序在计算器上输入即可得到精确的结果，然后根据要求取值即可． （2）只要按照书写顺序在计算器上输入即可得到精确的结果，然后根据要求取值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 巩固课内例8:科学记数法表示近似数 1．用科学记数法表示的近似数精确到哪一位？（ ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是科学记数法与有效数字，解题关键是熟练掌握以上知识点． 先化成原数，再进行判断即可． 【详解】解：， 所以精确到万分位． 故选：． 2．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，也考查了近似数． 【详解】解：数731017改写成精确到万位的近似数是万， 万， 故答案为：． 3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值并用科学记数法表示． (1)精确到千位； (2)精确到千万位； (3)精确到亿位． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了求近似数、科学记数法，正确求出近似数是解此题的关键． （1）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可； （2）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可； （3）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：377985654.32米米，即米； （2）解：377985654.32米米，即米； （3）解：377985654.32米米，即米． 类型一、实数的分类 1．实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，根据题意找出分数，即可求解． 【详解】解：、是无理数，是分数、是整数． 故选：C． 2．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的分类，求代数式的值．根据实数的分类，可得x，y，z的值，再代入计算，即可求解． 【详解】解：在，100，，，，中， 无理数有，整数有100，负数有，， ，，． ∴． 故答案为：4 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，3.1415，，0.03003000，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                   …}． (2)无理数集合：{                   …}． (3)正实数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 【答案】(1)有理数集合：． (2)无理数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (3)正实数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (4)负实数集合：． 【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】（1）解：有理数集合： （2）无理数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （3）正实数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （4）负实数集合： 类型二、近似数 1．圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和有效数字，根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为： ． 故选：C． 2．把4.1058精确到0.01是 ． 【答案】4.11 【分析】本题考查了近似数，精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：4.11． 3．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 【答案】(1)无理数 (2)的整数部分是3 (3)将精确到十分位的值是 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解. 【详解】（1）解：依题意， ∴． ∴（负值已舍去）是无理数． （2）解：由题意，得， ∴． ∵， 即 即的整数部分是3． （3）解：∵， ∴． 又∵， ∴， 即将精确到十分位的值是． 类型三、实数中的相反数与绝对值 1．关于2025这个数据下列说法错误的是（   ） A．2025相反数是 B．2025绝对值是2025 C．2025倒数是 D．2025的平方根为45 【答案】D 【分析】本题考查相反数、绝对值、倒数、平方根的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A：2025的相反数是，说法正确，不符合题意； B：2025的绝对值是2025，说法正确，不符合题意； C：2025的倒数是，说法正确，不符合题意； D：2025的平方根为，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 3．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 类型一、利用平方根解方程 1．已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 类型二、利用立方根解方程 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，先化系数为1，然后根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求立方根，解题的关键是通过移项、系数化为1等步骤将方程转化为的形式，再根据立方根的定义求出方程的解． 先将常数项移到等号右边，再把未知数的系数化为1，得到的值，最后根据立方根的定义求出x的值． 【详解】解： 移项得： 系数化为1得： 两边开立方得： 故答案为：． 3．求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根的定义进行求解即可； （2）利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 类型三、平方根与立方根综合应用 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， , 故选：B． 2．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 3．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 类型一、平方根的应用 1．已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的运用，需结合正方体的表面积公式求解，设正方体棱长为，根据正方体的表面积公式可得：，再通过开方求出x的值即可，注意：x要大于0． 【详解】解：设正方体棱长为，则 ， 解得：或， 由于棱长为正数，故舍去负解， ； 故选：B． 2．园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方根的实际应用，根据题意可得，即可得到，即可得到结果． 【详解】解：根据题意得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴或，都符合实际． 故答案为：． 3．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 【答案】这个长方体容器的长与宽至少是 【分析】此题主要考查长方体容积（体积）公式，平方根关键是熟记公式． 设这个长方体容器的长与宽至少为，根据长方体容积（体积）公式列式，再由平方根的定义计算，即可解答． 【详解】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个长方体容器的长与宽至少是． 类型二、立方根的应用 1．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 2．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 【答案】6 【分析】本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 3．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 类型三、规律问题 1．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ∵， ∴， 故选：B． 2．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 3．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 类型四、新定义问题 1．定义一个新运算，已知，，则等于（   ） A．8或 B．8 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】由得，然后利用定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当，时， ， 当，时， ， 综上，的值为2或， 故选：D． 2．已知实数，定义运算：，若，则 ． 【答案】3或1或 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握1的任何次幂都等于1、的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1．根据知，据此可得或或，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或或， 解得或或， 故答案为：3或1或． 3．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 类型五、程序问题 1．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的知识，注意理解程序的内容和熟练应用算术平方根的计算是关键．将已知的值输入程序，取算术平方根后看是否为无理数，如果是无理数则输出该值，如果是有理数则再次输入取算术平方根，直到输入进去的数的算术平方根为无理数为止，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是无理数，则输出，即输入的为． 故选：D ． 2．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 3．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$