专题03 轴对称（考点串讲，5个常考点+13种重难点题型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

八年级人教版（2012）数学上册期中考点大串讲 专题03 轴对称 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对训练 十三大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点一：轴对称与轴对称图形 例1如图所示，△A'B'C'与△ ABC 关于直线 MN 成轴对称，则 线段AA'与直线 MN 的关系正确的是(　B　) A. 直线 MN 被线段 AA '垂直平分 B. 线段 AA '被直线 MN 垂直平分 C. 直线 MN 经过线段 AA '的中点，但不垂直 D. 直线 MN 与线段 AA '垂直，但不经过线段 AA '的中点 B 【变式1-1】[2024威海荣成三十五中月考] 如图，△ ABC 与△ ADE 关 于直线 l 对称，下列结论中：①△ ABC ≌△ ADE ；② ∠ ABC ＝∠ ADE ；③ l 垂直平分 CE ；④ BC 与 DE 的延 长线的交点不一定在 l 上.其中正确的有(　B　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 【变式1-2】 点 Q 的横坐标为一元一次方程3 x ＋7＝32－2 x 的解，纵坐标为 a ＋ b 的值，其中 a ， b 满足二元一次方程组 则点 Q 关于 y 轴对称的点Q'的坐标为 ⁠. (－5，－4)　 考点二：线段垂直平分线的性质与判定 例2[2024保定期末] 如图，在△ ABC 中，以点 A 为圆心， AC 的长为半径作圆弧交 BC 于点 D ，再分别以点 B 和点 D 为圆心，大于 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 M 和点 N ，连接 MN 交 AB 于点 E . 若△ ADE 的周长为20.5， AC ＝7，则 AB 的长为(　B　) A. 6.5 B. 13.5 C. 15 D. 17 B 【变式2-1】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . (1)若∠ BAC ＝50°，求∠ EDA 的度数； (1)解：∵ AD 平分∠ BAC ，∠ BAC ＝50°， ∴∠ EAD ＝ ∠ BAC ＝25°. ∵ DE ⊥ AB ，∴∠ ADE ＝90°－∠ EAD ＝90°－25°＝65°. (2)求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. (2)证明：∵ DE ⊥ AB ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ AED ＝90°＝∠ ACB . 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAC . 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD . ∴ AE ＝ AC ， DE ＝ DC . ∴点 A ，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， 即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 【变式2-2】【情境题·生活应用】拟在新竣工的长方形广场的内部修 建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A ， B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半， A ， B ， C 的位置如图所示，请在原图上利用尺规作出音乐喷泉 M 的位置. 解：点 M 的位置如图所示. 考点 三： 等腰三角形的性质与判定 例3在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°，点 D 在 BC 边 上，连接 AD ，若△ ABD 为直角三角形，则∠ ADB 的度 数是 ⁠. 90°或50°　 【变式3-1】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，作 AD ⊥ AB 交 BC 的延 长线于点 D ，作 AE ∥ BD ， CE ⊥ AC ，且 AE ， CE 相交 于点 E ，求证： AD ＝ CE . 证明：∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ AE ∥ BD ， ∴∠ EAC ＝∠ ACB . ∴∠ ABC ＝∠ EAC . ∵ AD ⊥ AB ， CE ⊥ AC ，∴∠ BAD ＝∠ ACE ＝90°. ∴△ ABD ≌△ CAE . ∴ AD ＝ CE . 【变式3-2】 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F . (1)若∠ A ＝36°，求∠ FBC 的度数； (1)解：∵ BA ＝ BC ，∠ A ＝36°， ∴∠ C ＝∠ A ＝36°. ∵ BF ⊥ AC ， ∴∠ FBC ＝90°－∠ C ＝54°. (2)若点 D 在边 AB 上， DE ∥ BC 交 BF 的延长线于点 E ， 求证：∠ E ＝∠ ABF . (2)证明：∵ BA ＝ BC ， BF ⊥ AC ， ∴∠ ABF ＝∠ CBF . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ E ＝∠ CBF . ∴∠ E ＝∠ ABF . 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F . 【变式3-3】如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上， D 点在 AB 上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证： △ ABC 是等腰三角形. 证明：过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G ， ∵ DG ∥ AC ，∴∠ GDF ＝∠ CEF ， 又∵ DF ＝ EF ，∠ DFG ＝∠ EFC ， ∴△ GDF ≌△ CEF (ASA)，∴ GD ＝ CE . 又∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ DG ， ∴∠ DBG ＝∠ DGB ， ∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等腰三角形. 考点四：等边三角形的性质与判定及含30 °角的直角三角形的性质 例4 [2023济源梨林三中期末] 在学习完等边三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，有正方形纸片 ABCD ，①先对折使 AB 与 CD 重合，得到折痕 EF ，再展开；②折叠纸片，使得点 A 落在 EF 的点 H 上，沿 BH 和 CH 剪下△ BCH ，小组成员得到了如下结论：①∠ BHF ＝30°；② BF ＝ CH ；③△ BCH 是等边三角形；④∠ ABG ＝15°；⑤四边形 ABHE 和四边形 DCHE 全等.正确的个数是(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D 由折叠可知 AB ＝ BH ，∠ ABG ＝∠ HBG ，∴ BH ＝ BC . ∵ EF 是 BC 的垂直平分线， ∴ BH ＝ CH ，∠ BFH ＝90°， ∴ BH ＝ CH ＝ BC . ∴△ BHC 是等边三角形，故③正确； ∴∠ HBC ＝60°. 点拨：在正方形 ABCD 中， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ， ∠ A ＝∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°， ∴∠ ABG ＝∠ HBG ＝ (90°－∠ HBC )＝15°.故④正确； 易得∠ BHF ＝30°，故①正确； ∴ BF ＝ BH . ∵ BH ＝ CH ，∴ BF ＝ CH . 故②正确； 由折叠可知 AE ＝ DE ， ∵∠ BHF ＝∠ CHF ＝30°， ∠ ABH ＝∠ DCH ＝30°， ∠ A ＝∠ D ＝∠ AEH ＝∠ DEH ＝90°， AB ＝ CD ， BH ＝ CH ， EH ＝ EH . ∴四边形 ABHE 和四边形 DCHE 全等.故⑤正确； ∴正确的有5个.故选D. 【变式4-1】[2024菏泽鲁西新区月考] 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ BAC ＝30°， AD 平分∠ BAC ， MN 是 AD 的垂直平分线，交 AD 于点 M ，交 AB 于点 N ，求证： CD ＝ AN . 证明：过 D 点作 DH ⊥ AB 于 H 点，连接 DN ， ∵∠ BAC ＝30°， AD 平分∠ BAC ， DC ⊥ AC ， DH ⊥ AB ， ∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＝15°， DC ＝ DH . ∵ MN 是 AD 的垂直平分线，∴ NA ＝ ND ， ∴∠ NDA ＝∠ NAD ＝15°， ∴∠ DNH ＝∠ NDA ＋∠ NAD ＝30°， ∴在Rt△ DNH 中， DH ＝ DN ， 又∵ DN ＝ AN ， DC ＝ DH ，∴ CD ＝ AN . 考点五：最短路径问题 例5如图，在锐角三角形 ABC 中， AC ＝10， S△ ABC ＝25， ∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ，点 M ， N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM ＋ MN 的最小值为(　D　) A. B. C. 6 D. 5 D 【变式5-1】[2024常州北郊初级中学期末] 如图，在边长为 a 的等边 三角形 ABC 中， BF 是△ ABC 的中线且 BF ＝ b ，点 D 在 BF 上，连接 AD ，在 AD 的右侧作等边三角形 ADE ，连接 EF ，则△ AEF 周长的最小值是(　B　) A. a ＋ b B. a ＋ b C. a ＋ b D. b B 【变式5-2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用.请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图， C 为 AB 的中点，∠ ACD ＋∠ BCE ＝60°， AD ＝2， BE ＝4.5， AB ＝6，则 DE 的最大值是 ⁠. 9.5　 【变式5-3】如图，在△ ABC 中， AB ＝7 cm， BC ＝5 cm， AC 的垂 直平分线分别交 AB ， AC 于点 D ， E ，点 F 是 DE 上的任意一点，则△ BCF 周长的最小值是 cm. 12　 题型剖析 题型一：巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形 例6如图所示， D 为△ ABC 内一点， CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD ，∠ A ＝∠ ABD ，若 BD ＝1， BC ＝3， 求线段 AC 的长. 解：延长 BD 交 AC 于点 E ， ∵∠ A ＝∠ ABD ， ∴ BE ＝ AE . ∵ BD ⊥ CD ，∴ BE ⊥ CD ， ∴∠ BDC ＝∠ EDC ＝90°， ∴∠ BCD ＋∠ EBC ＝∠ ECD ＋∠ BEC ＝90°. ∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ BCD ＝∠ ECD ， ∴∠ EBC ＝∠ BEC ，∴ BC ＝ CE . ∵ BE ⊥ CD ，∴ BE ＝2 BD . ∵ BD ＝1， BC ＝3，∴ BE ＝2， CE ＝3， ∴ AE ＝ BE ＝2， ∴ AC ＝ AE ＋ EC ＝2＋3＝5. 题型二：巧用平行线＋角平分线构造新等腰三角形 例7已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于 点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F . (1)如图①，若 AB ＝ AC ，图中有 个等腰三角形，且 EF 与 BE ， CF 的数量关系是 ⁠ 5　 EF ＝ BE ＋ CF ＝2 BE ＝2 CF 　 (2)如图②，若 AB ≠ AC ，其他条件不变，(1)问中 EF 与 BE ， CF 间的关系还成立吗？请说明理由. 已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F . 解：(2) EF 与 BE ， CF 的数量关系 EF ＝ BE ＋ CF 成 立， EF ＝2 BE ＝2 CF 不成立. 理由如下：∵ BO 平分∠ ABC ， CO 平分∠ ACB ， ∴∠ CBO ＝∠ ABO ，∠ BCO ＝∠ ACO . ∵ EF ∥ BC ，∴∠ BOE ＝∠ CBO ，∠ COF ＝∠ BCO ， ∴∠ ABO ＝∠ BOE ，∠ ACO ＝∠ COF ， ∴ BE ＝ OE ， CF ＝ OF ， ∴ EF ＝ OE ＋ OF ＝ BE ＋ CF . ∵ AB ≠ AC ，∴易知 OE ≠ OF ， ∴ EF ≠2 BE ≠2 CF . (3)如图③，在△ ABC 中，若 AB ≠ AC ，∠ ABC 的平分线与三角形外角∠ ACD 的平分线 CO 交于点 O ，过点 O 作 OE ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F . 请直接写出 EF 与 BE ， CF 间的数量关系. 解：(3) EF ＝ BE － CF . 题型三：过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形 例8已知：等边三角形 ABC 中. (1)如图①，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AB 边上，满足∠ AMN ＝60°，求 的值； (1)解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ B ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ AC . ∵点 M 是 BC 的中点， ∴∠ MAN ＝30°，∠ AMB ＝90°. ∵∠ AMN ＝60°，∴∠ BMN ＝30°， ∴ BM ＝2 BN ， AB ＝2 BM . 设 BN ＝ x ，∴ BM ＝2 x ，∴ AB ＝4 x ， ∴ AN ＝3 x ，∴ ＝3. (2)如图②，点 I 在 AB 边上( I 为非中点，不与 A ， B 重合)，点 J 在 CB 的延长线上且∠ IJB ＝∠ ICB ，求证： AI ＝ BJ ； 已知：等边三角形 ABC 中. (2)证明：如图②， 过点 I 作 IG ∥ JC 交 AC 于点 G ， 易得∠ A ＝∠ AIG ＝∠ AGI ＝60°， ∴△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ AG ，∴ BI ＝ CG . ∵∠ AGI ＝∠ ABC ＝60°， ∴∠ IGC ＝∠ JBI ＝120°. ∵ IG ∥ BC ，∴∠ GIC ＝∠ ICB . ∵∠ IJB ＝∠ ICB ，∴∠ GIC ＝∠ IJB ， ∴△ IGC ≌△ JBI (AAS)，∴ IG ＝ BJ . ∵△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ IG ，∴ AI ＝ BJ . (3)如图③，点 P 为 AC 边的中点，点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，满足∠ AEP ＝∠ PFC ，求 的值. 已知：等边三角形 ABC 中. (3)如图③， 过点 P 作 PH ∥ BC 交 AB 于点 H ，易得△ AHP 为等边 三角形，∴ AP ＝ HP ＝ AH ，∠ AHP ＝60°. ∵ P 为 AC 的中点，∴ AP ＝ PC ＝ AC ， ∴ HP ＝ PC . ∵∠ ACB ＝60°，∴∠ EHP ＝∠ PCF ＝120°. ∵∠ AEP ＝∠ PFC ，∴△ PCF ≌△ PHE (AAS)， ∴ CF ＝ HE ，∴ BF － BE ＝ BC ＋ CF － HE ＋ HB ＝ BC ＋ HB . ∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ AC ＝ BC . 又∵ AH ＝ AP ， AP ＝ AC ，∴ AH ＝ AB . ∴ HB ＝ AB ＝ BC ，∴ BF － BE ＝ BC ＋ BC ＝ BC ，∴ ＝ . 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 例9如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平 分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC . (1)解决问题：甲同学的证明思路：在 AC 上截取 AE ＝ AB ，连接 DE . (如图②) 乙同学的证明思路：延长 CB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 AE . (如图③) 请你任意选择一种思路完成证明. 解：(1)选择甲的证明思路.证明：∵ AD 是∠ BAC 的平 分线，∴∠ BAD ＝∠ EAD . 又∵ AB ＝ AE ， AD ＝ AD ，∴△ ABD ≌△ AED (SAS)， ∴ BD ＝ DE ，∠ ABD ＝∠ AED . ∵∠ AED ＝∠ EDC ＋∠ C ，∠ ABD ＝2∠ C ， ∴∠ EDC ＝∠ C ，∴ DE ＝ EC ， ∴ AB ＋ BD ＝ AE ＋ DE ＝ AE ＋ CE ＝ AC . (答案不唯一) (2)问题升华：如图④，在△ ABC 中，若∠ ACB ＝2∠ B ， ∠ ACB ≠90°， AD 是△ ABC 外角∠ CAF 的平分线， 交 BC 的延长线于点 D ，则线段 AB ， AC ， CD 之间有 怎样的数量关系？请证明. 如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC . 解：(2) AB ＝ CD － AC . 证明：在 AF 上取一点 E ，使 AE ＝ AC ，连接 DE ， ∵ AD 平分∠ CAF ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ ACD ≌△ AED (SAS)， ∴∠ ACD ＝∠ AED ， CD ＝ DE ， ∴∠ ACB ＝∠ FED . ∵∠ ACB ＝2∠ B ，∴∠ FED ＝2∠ B . ∵∠ FED ＝∠ B ＋∠ EDB ，∴∠ EDB ＝∠ B ， ∴ DE ＝ BE ，∴ BE ＝ CD ， ∴ AB ＝ BE － AE ＝ CD － AC . 题型五：底和腰不确定需分类讨论 例10用一条长20 cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ⁠. 4 cm　 题型六：底角和顶角不确定需分类讨论 例11一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2∶5，则它的三个内角可能是(　C　) A. 30°，30°，120° B. 50°，50°，80° C. 75°，75°，30° D. 80°，80°，20° C 题型七：与高有关的分类讨论 例12等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个 等腰三角形的顶角等于(　D　) A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° D 题型八：与中线有关的分类讨论 例13已知一个等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这个 三角形的周长分为3∶2的两部分，则这个等腰三角形的底边长 为 ⁠. 9 cm或21 cm　 题型九：与腰的垂直平分线有关的分类讨论 例14已知在△ OPQ 中， OP ＝ OQ ， OP 的垂直平分线交 OP 于 点 D ，交直线 OQ 于点 E ，连接 EP ，∠ OEP ＝50°，则 ∠ POQ ＝ ⁠. 点拨：如图①，当△ OPQ 为锐角三角形时， ∵ DE 垂直平分 OP ， ∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ， 65°或115°　 易得∠ OED ＝∠ PED ＝ ∠ OEP ＝ ×50° ＝25°， ∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°； 如图②，当△ OPQ 为钝角三角形时， ∵ DE 垂直平分 OP ，∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ， 易得∠ OED ＝∠ PED ＝ ∠ OEP ＝ ×50°＝25°， ∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°， ∴∠ POQ ＝180°－65°＝115°. 综上，∠ POQ 的度数为65°或115°. 题型十：动点问题的分类讨论 例15如图，△ ABC 的顶点 A ， C 在直线 l 上，∠ B ＝130°， ∠ ACB ＝30°，若点 P 在直线 l 上运动，当△ ABP 是等腰 三角形时，∠ ABP 的度数是 ⁠ 10°，80°，140°或 20°　 点拨：∵∠ ABC ＝130°，∠ ACB ＝30°， ∴∠ BAC ＝180°－130°－30°＝20°. 分四种情况： 当 AP ＝ AB ，点 P 在 CA 的延长线上时，如图①， ∵∠ BAC 是△ ABP 的一个外角， ∴∠ BAC ＝∠ APB ＋∠ ABP ， ∵ AB ＝ AP ，∠ BAC ＝20°， ∴∠ APB ＝∠ ABP ＝ ∠ BAC ＝10°； 当 AP ＝ AB ，点 P 在 AC 上时，如图②， ∵ AB ＝ AP ，∠ BAP ＝20°，∴∠ ABP ＝∠ APB ＝ ＝80°； 当 BA ＝ BP 时，如图③， ∵ BA ＝ BP ，∴∠ BAP ＝∠ BPA ＝20°， ∴∠ ABP ＝180°－∠ BAP －∠ BPA ＝180°－20°－20°＝140°； 当 PA ＝ PB 时，如图④， ∵ PA ＝ PB ，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝20°. 综上所述：当△ ABP 是等腰三角形时，∠ ABP 的度数是 10°，80°，140°或20°. 【变式15-1】【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . (1)当∠ BDA ＝115°时，∠ BAD ＝ ；点 D 从点 B 向点 C 运动时，∠ BDA 逐渐变 (填“大”或 “小”). 25°　 小　 (2)当 DC 的长为多少时，△ ABD 与△ DCE 全等？请说明理由. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . 解：(2)当 DC ＝2时，△ ABD ≌△ DCE . 理由：∵ AB ＝2， ∴ AB ＝ DC ， ∵ AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ B ＝40°， ∴∠ DEC ＋∠ EDC ＝140°. ∵∠ ADE ＝40°，∴∠ ADB ＋∠ EDC ＝140°， ∴∠ ADB ＝∠ DEC . 在△ ABD 和△ DCE 中， ∴△ ABD ≌△ DCE (AAS). (3)在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状也在改变，请判断当∠ BDA 等于多少度时，△ ADE 是等腰三角形.(直接写出结论，不用说明理由) 解：(3)当∠ BDA 的度数为110°或 80°时，△ ADE 是等腰三角形. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . 题型十一：与构造等腰三角形有关的分类讨论 例16在平面直角坐标系中， A (2，3)， O 为原点，若点 B 为坐标轴上一点，且△ AOB 为等腰三角形，则这样的 B 点有(　C　) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 C 点方法：分别以点 O ， A 为圆心，以 OA 长为半径作圆， 与坐标轴的交点即为所求(不包含点 O )，再作线段 OA 的 垂直平分线，与坐标轴的交点也为所求，作出图形，利用 数形结合求解即可. 【变式16-1】【新视角·新定义题】定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线. (1)如图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) 解：(1)如图②. (2)图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数. 解：(2)如图③.(答案不唯一) (3)在△ ABC 中，∠ B ＝30°， AD 和 DE 是△ ABC 的三分线，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 AD ＝ BD ， DE ＝ CE ，设∠ C ＝ x ，求出 x 所有可能的值. 解：(3)如图④，当 AD ＝ AE 时，∵2 x ＋ x ＝30°＋30°， ∴ x ＝20°. 如图⑤，当 AD ＝ DE 时， ∵2 x ＋ x ＋30°＋30°＝180°，∴ x ＝40°. ∴ x 的所有可能的值为20°或40°. 【变式16-2】【新考法·方程建模法】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ≤ BC ，将△ ABC 沿 EF 折叠，使点 A 落在直角边 BC 上的 D 点处，设 EF 与 AB ， AC 边分别交于点 E 、点 F ，如果折叠后△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角形，求∠ B 的度数. 解：∵在△ CDF 中，∠ C ＝90°，且△ CDF 是等腰三 角形， ∴ CF ＝ CD ，∴∠ CFD ＝∠ CDF ＝45°， 连接 AD ，设∠ DAE ＝ x °， 由折叠的性质可知， AF ＝ FD ， AE ＝ DE ， ∴∠ FDA ＝ ∠ CFD ＝22.5°，∠ DEB ＝2 x °. ①如图①，当 DE ＝ DB 时，∠ B ＝∠ DEB ＝2 x °， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝4 x °， 解得 x ＝22.5.此时∠ B ＝2 x °＝45°； ②如图②，当 BD ＝ BE 时，则∠ B ＝(180－4 x )°， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝2 x °＋180°－4 x °， 解得 x ＝37.5， 此时∠ B ＝(180－4 x )°＝30°. ③当 DE ＝ BE 时，则∠ B ＝ (180－2 x )°， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝2 x °＋ (180－2 x )°， 此方程无解.∴ DE ＝ BE 不成立. 综上所述，∠ B 的度数为45°或30°. 题型十二：转化思想 类型 1　借助轴对称进行等量转化 例17[2024西安高新一中月考] 如图，以等边三角形 ABC 的边 AC 为边作△ ACE ，使 AE ＝ AC ，连接 BE ，过点 A 作 AD ⊥ BE ，交 BC 于点 D ，交 EC 的延长线于点 F ，设 ∠ FAC ＝α. (1)∠ ACE ＝ (用含α的式子表示)， ∠ F ＝ ⁠； 60°＋α　 60°　 (2)当 CF ＝2， CE ＝3时，求 AF 的长. 解：如图所示，在 FA 上截取 FG ＝ FC ，连接 BF ， CG . ∵ FG ＝ FC ，∠ CFG ＝60°，∴△ CFG 是等边三角形， ∴ CG ＝ CF ，∠ GCF ＝60°. ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ BC ＝ AC ，∠ ACB ＝60°， ∴∠ ACB －∠ BCG ＝∠ GCF －∠ BCG ， 即∠ ACG ＝∠ BCF ， ∴△ ACG ≌△ BCF (SAS)，∴ AG ＝ BF . ∵ AE ＝ AB ， AF ⊥ BE ， ∴ AF 是 BE 的垂直平分线， ∴ BF ＝ EF ＝ CE ＋ CF ＝5， ∴ AF ＝ AG ＋ FG ＝ BF ＋ CF ＝7. 类型 2　化折为直 例18如图，点 P 是∠ AOB 内任意一点， OP ＝3 cm，点 M 和 点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，∠ AOB ＝30°，则△ PMN 周长的最小值是 ⁠. 3 cm　 类型 3　集中转化 例19在长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，点 P ， Q 为 BC 边上的两个动点(点 P 位于点 Q 的左侧， P ， Q 均不与顶 点重合)， PQ ＝2. (1)如图①，若点 E 为 CD 边上的中点，当点 Q 移动到 BC 边上的中点时，求证： AP ＝ QE ； (1)证明：∵四边形 ABCD 是长方形， ∴∠ B ＝∠ C ＝90°， CD ＝ AB ＝4. ∵点 E 是 CD 的中点，点 Q 是 BC 的中点， BC ＝8， ∴ BQ ＝ CQ ＝4， CE ＝2，∴ AB ＝ CQ . ∵ PQ ＝2，∴ BP ＝ BQ － PQ ＝2，∴ BP ＝ CE . ∴△ ABP ≌△ QCE (SAS)，∴ AP ＝ QE . (2)如图②，若点 E 为 CD 边上的中点，在 PQ 的移动过程中，当四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长； 在长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，点 P ， Q 为 BC 边上的两个动点(点 P 位于点 Q 的左侧， P ， Q 均不与顶点重合)， PQ ＝2. (2)解：如图①，在 AD 上截取线段 AF ＝ PQ ＝2，作点 F 关于 BC 的对称点 G ， 连接 EG 与 BC 交于一点，即为点 Q ， 连接 QF ，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于 一点，即为点 P ，此时四边形 APQE 的周 长最小，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 H . 易知 GH ＝ DF ＝6， EH ＝2＋4＝6，∠ H ＝90°， ∴∠ GEH ＝45°，即∠ CEQ ＝45°.设 BP ＝ x ， 则 CQ ＝ BC － BP － PQ ＝8－ x －2＝6－ x . ∵∠ QCE ＝90°，∠ CEQ ＝45°，∴ CQ ＝ EC ， ∴6－ x ＝2，解得 x ＝4，∴ BP ＝4. (3)如图③，若 M ， N 分别为 AD 边和 CD 边上的两个动点( M ， N 均不与顶点重合)，当 BP ＝3，且四边形 PQNM 的周长最小时，求此时四边形 PQNM 的面积. 在长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，点 P ， Q 为 BC 边上的两个动点(点 P 位于点 Q 的左侧， P ， Q 均不与顶点重合)， PQ ＝2. (3)解：如图②，作点 P 关于 AD 的对称点 F ，作点 Q 关于 CD 的对称点 H ，连接 FH ， 交 AD 于点 M ，交 CD 于点 N ，连接 PM ， QN ，此时四边形 PQNM 的周长最小， FP 交 AD 于点 T . 易知 PT ＝ FT ＝4， CH ＝ QC ＝ BC － BP － PQ ＝8－3－2＝3， ∴ PF ＝8， PH ＝8，∴ PF ＝ PH . 又∵∠ FPH ＝90°，∴∠ F ＝∠ H ＝45°. ∵ PF ⊥ AD ， CD ⊥ QH ，∴∠ TMF ＝ ∠ F ＝45°，∠ CNH ＝∠ H ＝45°， ∴ TM ＝ FT ＝4， CN ＝ CH ＝3， ∴四边形 PQNM 的面积＝ PF · PH － PF · TM － QH · CN ＝ ×8×8－ ×8×4－ ×6×3＝7. 题型十三：分类讨论思想 例20如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝12 cm， AC ＝20 cm， P ， Q 是△ ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A → B 方向运动，且速度为1 cm/s，点 Q 从点 B 开始沿 BC → CA 方向运动，且速度为2 cm/s， P ， Q 两点同时出发，当点 P 运动到点 B 时两点停止运动，设运动时间为 t s. (1) BP ＝ cm(用含 t 的 式子表示)； (16－ t )　 (2)当点 Q 在边 BC 上运动时.①出发几秒后，△ PQB 是等 腰三角形？ 解：(2)①当点 Q 在边 BC 上运动，△ PQB 为等腰三角形时， BP ＝ BQ ，即16－ t ＝2 t ，解得 t ＝ . ∴出发 s后，△ PQB 是等腰三角形. ②通过计算说明 PQ 能否把△ ABC 的周长平分. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝12 cm， AC ＝20 cm， P ， Q 是△ ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A → B 方向运动，且速度为1 cm/s，点 Q 从点 B 开始沿 BC → CA 方向运 动，且速度为2 cm/s， P ， Q 两点同时出发，当点 P 运动到点 B 时两点停 止运动，设运动时间为 t s. (2)当点 Q 在边 BC 上运动时. ②当点 Q 在 BC 上运动，即 t ≤12÷2＝6时， AP ＝ t ， BQ ＝2 t ，∴ CQ ＝12－2 t ， BP ＝16－ t ，令 BQ ＋ BP ＝ CQ ＋ CA ＋ AP ，则2 t ＋16－ t ＝12－2 t ＋20＋ t ，解得 t ＝8.∵8＞6， ∴当点 Q 在 BC 上运动， PQ 不能把△ ABC 的周长平分. (3)当点 Q 在边 CA 上运动时， 若△ BCQ 是以 BC 或 BQ 为 底边的等腰三角形，直接写 出此时 t 的值. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝12 cm， AC ＝20 cm， P ， Q 是△ ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始 沿 A → B 方向运动，且速度为1 cm/s，点 Q 从点 B 开始沿 BC → CA 方向 运动，且速度为2 cm/s， P ， Q 两点同时出发，当点 P 运动到点 B 时两点 停止运动，设运动时间为 t s. 解：(3) t 的值为11或12. 点拨：①当△ BCQ 是以 BC 为底边的等腰三角形时， CQ ＝ BQ ，如图①所示. 则∠ C ＝∠ CBQ . ∵∠ ABC ＝90°， ∴∠ CBQ ＋∠ ABQ ＝90°，∠ A ＋∠ C ＝90°， ∴∠ A ＝∠ ABQ ，∴ BQ ＝ AQ . ∴ CQ ＝ AQ ＝10 cm，∴ BC ＋ CQ ＝22 cm， ∴ t ＝22÷2＝11(s). ②当△ BCQ 是以 BQ 为底边的等腰三角形时， CQ ＝ BC ＝12 cm，如图②所示，则 BC ＋ CQ ＝24 cm，∴ t ＝24÷212(s). 综上所述：当 t 的值为11或12时， △ BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角形. 易错易混 易错点一：判断轴对称图形对称轴的条数时出错 1.下列图形中,只有三条对称轴的图形有( ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 正解:图I③有4条对称轴,不符合题意:图2有3条对称轴，符合题意:图4有6条对称轴，不符合题意.故只有三条对称轴的图形有1个.故选A. A 易错点二：当等腰三角形的底角和顶角不确定时,易漏解 2.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 20°则这个等腰三角形顶角的度数是( ） A.44°或 80°或 140° B.20°或 80° C.44°或 80° D.140° 正解: 设另一个角是x°,则前一个角是(2x-20)°①当 x°是顶角,(2x-20)°是底角时,x+2(2x-20)= 180解得x=44,所以顶角的度数是 44°②当x°是底角,(2x-20)°是顶角时,2x+(2x-20)= 180,解得x=50,所以顶角的度数是 2x50°-20°=80° A ③当x与(2x-20)°都是底角时,x=2x-20,解得x=20,所以顶角是1800-20°x2=140°综上所述,这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°.故选 A. 易错点三：当三角形的形状不确定时,易漏解 3.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC 相交所成锐角的度数为40°则此等腰三角形的顶角为 。 50°或130° 易错点四：对线段的垂直平分线进行判定时出错 4.如图,在△ABC中,AF 平分∠BAC交 BC 于点 F,FD ⊥AB 于点 D,FE ⊥ AC 于点E.求证:AF 垂直平分 DE. 正解:.点F在线段 DE 的垂直平分线上. 在Rt△ADF和Rt△AEF中， AF=AF. FD=FE. Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) ∴AD=AE. ∴点A在线段 DE 的垂直平分线上.AF 垂直平分 DE 易错点五：误用等腰三角形“三线合一”的性质 5.如图,在△ABC中,AB=AC BD⊥AC.若∠BAC=36°则ㄥCBD 的度数为( ） A.54° B.36. C.18 D.8° 正解: ∵AB=AC,∠BAC=36°. ∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72° 又∵BD ⊥AC, ∴∠BDC=90° ∴∠CBD=90°-∠C=18° 故选 C. C 易错点六：易误认为有一个角是 60°的任意三角形是等边三角形 6.如图,E为等边三角形 ABC 的边AC 上一点,且∠1=∠2.CD=BE.试说明△ADE 的形状 正解: ∵E 为等边三角形 ABC 的边 AC 上一点, ∴△ABE≌ △ACD(SAS) ∴AB=AC,∠BAE=60°.在△ABE和△ACD中 AB=AC,，∠1=∠2，BE=CD, ∴∠BAE=∠CAD=60° AE =AD. ∴△ADE 是等边三角形 1.（2023秋•聊城期中）第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是( ____ ) A.____ B.__ C.__ D.___ D 押题预测 【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 87 2.（2023秋•光明区校级期中）在直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是( ____ ) A.(2，1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(-2，-1) 【解析】解：点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是(2，-1)，故选：C． C 3.（2023秋•凤山县期中）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( ____ ) A.___ B.__ _C._ D DD_ A 【解析】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置． 符合题意的画法是A．故选：A． 88 4.（2023秋•北京期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC的长 ____ ． 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EB=AE=4， ∴BC=BE+EC=4+2=6， 故答案为：6． 6 89 5.（2023秋•海兴县期中）如图，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE=AB=12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE． (1)证明：∠BAC=∠BDC； (2)若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值． 【解析】(1)证明：连接AD，如图， ∵点A关于射线BN对称点为D， ∴BN垂直平分AD， ∴BA=BD，CA=CD， 在△BAC和△BDC中， ， ∴△BAC≌△BDC(SSS)， ∴∠BAC=∠BDC； 90 (2)解：∵△BAC≌△BDC，∴∠DBN=∠ABN=60°， ∵BE=BA，BA=BD，∴BE=BD，∴∠E=∠BDE， ∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠E=∠BDE=60°， ∴△BDE为等边三角形，∴DE=BE=12， ∵BN垂直平分AD，∴PA=PD，∴PE+PD=PE+PA， ∵PE+PA≥AE(当且仅当P、A、E共线时取等号)， 即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36． 5.（2023秋•海兴县期中）如图，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE=AB=12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE． (1)证明：∠BAC=∠BDC； (2)若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值． 91 6.（2024春•信宜市期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ____ DB(填“＞”、“＜”或“=”)． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ____ DB(填“＞”、“＜”或“=”)；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．(请你完成以下解答过程)． = = 92 【解析】解：(1)当E为AB的中点时，AE=DB； (2)AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形， ∴AE=EF，BE=CF， ∵ED=EC，∴∠D=∠ECD， ∵∠DEB=60°-∠D，∠ECF=60°-∠ECD，∴∠DEB=∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC(SAS)， ∴DB=EF， 则AE=DB； (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)． ______ (3)点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB=1，AE=2， ∴BE=1， ∵DB=FC=FB+BC=2， 则CD=BC+DB=3． ____ 94 $$