专题04 三角形中的常考模型（考题猜想，8种模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题04 三角形中的常考模型（考题猜想，8种模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 “8”字模型 飞镖模型 “A”字模型 “老鹰捉小鸡”模型 双垂直模型 双内角平分线 双外角平分线 内角平分线+外角平分线 模型一、“8”字模型 ①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证. ②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P= (∠B+∠D) 1．（2022秋•嵊州市校级期中）如图，要测量河两岸相对两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一直线上，可以说明，得，测得的长就是的长．判定的依据是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•乐清市校级期中）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，，测得，，则保温杯的壁厚为 　　． 3．（2023春•蓬莱区期中）如图，的度数是　　． 4．（2022春•彭山区校级期中）如图，则的度数为　 　． 5．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，则的度数为 　 　． 6．（2023秋•阳谷县期中）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　　． 7．（2023秋•朝阳县校级期中）如图，求的度数． 8．（2022秋•天门期中）如图，已知， （1）求度数； （2）求的度数． 9．（2023春•仪陇县期中）已知如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）在图2中，若，，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 模型二、飞镖模型 【条件】四边形ABDC如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明. ①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D ②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C) 10.（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 11.（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，若，则 ． 12．（2021秋•安宁市校级期中）如图，求证：． 13．（2023秋•新建区期中）一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得，你认为这个零件合格吗？为什么？ 14．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 模型三、“A”字模型 【条件】△ADE与△ABC. 【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证. 已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180° 15．（2023秋•衢江区期中）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则的度数为　　 A． B． C． D． 16.（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，已知，则的度数为 ． 17．（2023春•大埔县校级期中）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　 　． 18.（2023春•常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB＝42°． （1）求∠A的度数； （2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由． 模型四、“老鹰捉小鸡”模型 【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示. 【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P. 【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC， ∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证. 如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和 19．（2023秋•咸宁期中）如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为_____度．　　 A． B． C． D． 20.（2023春·重庆渝北·八年级校考期中）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 21．（2024春•天河区校级期中）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是　　 A． B． C． D． 22．（2022秋•巴南区校级期中）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 23．（2023春•二道区校级期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•凉州区校级期中）如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则　　度． 25．（2023秋•裕安区校级期中）如图，三角形纸片中，，将纸片一角折叠，使点落在的内部处，若，则　 　． 26．（2023秋•琼中县校级期中）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，　 　． 27．（2023秋•庄浪县期中）问题1 如图①，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是　 　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想、和的数量关系是　　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 猜想：　　 理由 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形纸片沿折叠，使点、落在四边形的内部时，与、之间的数量关系是　　 ． 28．（2023秋•嘉祥县期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 模型五、双垂直模型 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 29.（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F， 求证：  请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由． 证明：∵平分（已知） ∴（_____________________） ∵（已知） ∴（_____________________） ∵是的高（已知） ∴（三角形高的定义） ∴（直角三角形的两锐角互余） ∴（____________________________） ∵（_____________________） ∴（____________________） 30.（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接交AD于点G． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 31.（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中）如图，中，，点在射线上运动，交射线于点． （1）如图1，若，当平分时，求的度数； （2）如图2，当点在线段上时，①判断与的数量关系并说明理由； ②作于，、的角平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点在的延长线上时，作于，的角平分线和的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由． 模型六、双内角平分线 在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则 【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 【结论】 【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴ 由A→B→I→C→A的飞镖模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 32．（2022秋•金乡县期中）如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 33．（2022秋•江阳区校级期中）如图所示，在中，和的角平分线相交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•东莞市校级期中）如图，中，，的角平分线与的角平分线交于点．则　 　． 35．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，和分别是和的平分线，过点，且，若，，则的长为 　　． 36．（2022秋•瑶海区期中）如图，在中，与的平分线交于点，根据下列条件，求的度数． （1）若，则　 　； （2）从上述计算中，我们能发现：　　 （用含的式子表示），并说明理由． 37．（2020秋•连山区期中）如图，已知、的平分线相交于点，过点且． （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 38．（2022秋•余干县期中）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 模型七、双外角平分线 在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则. 【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴ 由△BCO中内角和定理可知： ∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--=== 39．（2020秋•雷州市校级期中）在中，与的平分线相交于点． （1）如图①，若，则　　；（用的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 模型八、内角平分线+外角平分线 已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则 【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴ 由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……① 对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③ 比较②③式子可知：. 40．（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　 　度． 41．（2021秋•新昌县期中）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 42．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在中，平分，平分，求证：； （2）如图2，在中，平分，平分外角，猜想和有何数量关系，并证明你的结论． 43．（2023秋•端州区校级期中）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． （1）猜想：与、之间有怎样的关系． （2）如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． （3）如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． $$专题04 三角形中的常考模型（考题猜想，8种模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 “8”字模型 飞镖模型 “A”字模型 “老鹰捉小鸡”模型 双垂直模型 双内角平分线 双外角平分线 内角平分线+外角平分线 模型一、“8”字模型 ①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证. ②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P= (∠B+∠D) 1．（2022秋•嵊州市校级期中）如图，要测量河两岸相对两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一直线上，可以说明，得，测得的长就是的长．判定的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：，，， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2022秋•乐清市校级期中）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，，测得，，则保温杯的壁厚为 　　． 【分析】只要证明，可得，即可解决问题． 【解答】解：在和中， ， ， ， ， 圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：0.5． 【点评】本题考查全等三角形的应用，根据全等三角形判定证得是解决问题的关键． 3．（2023春•蓬莱区期中）如图，的度数是　　． 【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解． 【解答】解：如图， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 4．（2022春•彭山区校级期中）如图，则的度数为　 　． 【分析】连接，利用三角形内角和定理可得，然后利用四边形内角和为可得答案． 【解答】解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握四边形内角和为． 5．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，则的度数为 　 　． 【分析】根据三角形的外角性质和四边形内角和等于可得的度数． 【解答】解：如图， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查三角形的外角性质，四边形内角和，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于是解决问题的关键． 6．（2023秋•阳谷县期中）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　　． 【分析】利用全等三角形的性质，对顶角相等，即可作答． 【解答】解：连接，，如图所示： ，， ， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质， 7．（2023秋•朝阳县校级期中）如图，求的度数． 【分析】连接，根据三角形的内角和定理即可证得，则，根据四边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：连接． 在△和△中，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，正确证明是关键． 8．（2022秋•天门期中）如图，已知， （1）求度数； （2）求的度数． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）； （2），，， ． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 9．（2023春•仪陇县期中）已知如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）在图2中，若，，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 【分析】、、、之间的数量关系根据这四个角分别是两个三角形的内角，根据三角形的内角和定理就可以得到．根据以上的结论，以及角平分线的定义就可以求出的度数． 【解答】解：（1）结论：； （2）结论：六个； （3）由①， 由，， （1） 由，② ； （4）由①， 由② ①②得： ． ． 【点评】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义就可以求出角的度数． 模型二、飞镖模型 【条件】四边形ABDC如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明. ①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D ②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C) 10.（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补． 11.（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 12．（2021秋•安宁市校级期中）如图，求证：． 【分析】作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 【解答】证明：作射线，如图， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 13．（2023秋•新建区期中）一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得，你认为这个零件合格吗？为什么？ 【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解． 【解答】解：延长与相交于点． ， 又， 实际量得的， ， 这个零件不合格． 【点评】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 14．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接并延长至点， 由外角定理可得，； 且，； 相加可得； （2）①由（1）的结论易得：， 又，， ； ②由（1）的结论易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 设为， ， ， 为． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 模型三、“A”字模型 【条件】△ADE与△ABC. 【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证. 已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180° 15．（2023秋•衢江区期中）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16.（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】280° 【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果． 【详解】∵∠A=40°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°， 故答案为280°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键． 17．（2023春•大埔县校级期中）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　 　． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出的度数，根据图形翻折变换的性质得出的度数，再由四边形的内角和为即可得出结论． 【解答】解：中，，， ， ， ， 由△翻折而成， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 18.（2023春•常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB＝42°． （1）求∠A的度数； （2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）设∠C的度数为x，根据三角形的内角和列出方程解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：（1）设∠C的度数为x°，则∠A的度数为（x+28）°， △ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°， 可得：x+x+28+68＝180， 解得：x＝42， 所以∠C＝42°，∠A＝70°， （2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°， ∴∠DEB＝∠C， ∴DE∥AC． 模型四、“老鹰捉小鸡”模型 【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示. 【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P. 【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC， ∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证. 如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和 19．（2023秋•咸宁期中）如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为_____度．　　 A． B． C． D． 【分析】如图延长、交于点，连接．首先证明，求出即可解决问题． 【解答】解：如图延长、交于点，连接． 在中，， ，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住基本结论解决问题． 20.（2023春·重庆渝北·八年级校考期中）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数. 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 21．（2024春•天河区校级期中）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是　　 A． B． C． D． 【分析】根据翻折的性质可得，，再利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质分别表示出和，然后整理即可得解． 【解答】解：如图，由翻折的性质得，，， ， 在中，， ， ， ， 整理得，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟记性质并表示出和是解题的关键，也是本题的难点． 22．（2022秋•巴南区校级期中）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】设直线交于点，交于点，利用折叠的性质可得出，，，由邻补角互补及的度数，可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【解答】解：设直线交于点，交于点，如图所示 由折叠可知：，，． ，， ， ． 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及邻补角，利用折叠的性质及邻补角互补，求出的度数是解题的关键． 23．（2023春•二道区校级期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【解答】解：由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 24．（2023秋•凉州区校级期中）如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则　　度． 【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【解答】解：将纸片沿折叠，点落在点处， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：50 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是． 25．（2023秋•裕安区校级期中）如图，三角形纸片中，，将纸片一角折叠，使点落在的内部处，若，则　 　． 【分析】首先证明，利用这个结论解决问题即可． 【解答】解：设折痕为，连接． ，，， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明． 26．（2023秋•琼中县校级期中）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，　 　． 【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为 【点评】本题考查三角形的内角和定理，即三角形的内角和是． 27．（2023秋•庄浪县期中）问题1 如图①，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是　 　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想、和的数量关系是　　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 猜想：　　 理由 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形纸片沿折叠，使点、落在四边形的内部时，与、之间的数量关系是　　 ． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （2）连接，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （3）连接构造等腰三角形，然后结合三角形的外角性质进行探讨证明； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨． 【解答】解：（1）根据折叠的性质可知，，故； （2）由图形折叠的性质可知，①，②， ①②得， 即， 故； （3）． 证明如下： 连接构造等腰三角形， ，， 得， （4）如图④，由图形折叠的性质可知，， 两式相加得， 即， 所以，． 【点评】注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明． 28．（2023秋•嘉祥县期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （3）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． 模型五、双垂直模型 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 29.（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F， 求证：  请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由． 证明：∵平分（已知） ∴（_____________________） ∵（已知） ∴（_____________________） ∵是的高（已知） ∴（三角形高的定义） ∴（直角三角形的两锐角互余） ∴（____________________________） ∵（_____________________） ∴（____________________） 【答案】角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换 【分析】根据角平分线的定义得到，根据直角三角形两锐角互余得到，，再利用等角的余角相等得到，最后利用等量代换可得结果． 【详解】解：证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知） ∴（直角三角形的两锐角互余） ∵是的高（已知） ∴（三角形高的定义） ∴（直角三角形的两锐角互余） ∴（等角的余角相等） ∵（对顶角相等） ∴（等量代换） 故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，熟知三角形内角和是是解答此题的关键，此题难度不大． 30.（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接交AD于点G． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用等腰中，，证明，再利用得到，进一步得，利用证明即可证明是等腰直角三角形； （2）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG＝90°，需证明∠CAG＝∠BCF，只要证明三角形全等，即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：在等腰直角三角形ABC中， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°． 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． ∴∠BDE＝45°． 又∵BF∥AC， ∴∠CBF＝90°． ∴∠BFD＝45°＝∠BDE． ∴BF＝DB． 又∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． ∴BF＝CD． 在△CBF和△ACD中， ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF＝∠CAD． 又∵∠BCF+∠GCA＝90°， ∴∠CAD+∠GCA＝90°． ∴∠AGC=90°， 即AD⊥CF． 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键． 31.（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中）如图，中，，点在射线上运动，交射线于点． （1）如图1，若，当平分时，求的度数； （2）如图2，当点在线段上时，①判断与的数量关系并说明理由； ②作于，、的角平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点在的延长线上时，作于，的角平分线和的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由． 【答案】（1）30°；（2）①∠EDC=∠BAD，理由见解析；②∠G的度数不变， 理由见解析；（3）不变，45°. 【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论； （2）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论； （3）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB=30°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAC=30°， ∴∠ADC=120°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°； （2）①相等， 在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠EDC+∠ADB=90°， ∴∠EDC=∠BAD； ②∠G的度数不变， 理由：∵EF⊥BC， ∴∠EDF+∠DEF=90°， ∵∠ADB+∠EDF=90°， ∴∠ADB=∠DEF， ∵∠BAD+∠ADB=90°， ∴∠BAD+∠DEF=90°， ∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G， ∴∠DAG=∠BAD，∠DEG=∠DEF， ∴∠DAG+∠DEG=（∠BAD+∠DEF）=45°， ∵∠DAE+∠DEA=90°， ∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°， ∴∠G=45°； （3）∠G的度数不变化， 理由：如图3， ∵AD⊥DE， ∴∠ADB+∠BDE=90°， ∵EF⊥BD， ∴∠DEF+∠BDE=90°， ∴∠ADB=∠DEF， ∵EM是∠DEF的角平分线， ∴∠DEM=∠DEF=∠ADB， ∵AG平分∠BAD， ∴∠DAG=∠BAD， 延长DE交AG于N， ∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE， ∴∠ENG=∠AEN+∠EAG =90°+∠DAE+∠EAG =90°+∠DAG =90°+∠BAD， ∴∠G=180°-（∠ENG+∠GEN） =180°-（∠ENG+∠DEM）， =180°-（90°+∠BAD+ ∠ADB）， =90°-（∠BAD+∠ADB） =45°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解（1）的关键是求出∠ADC=120°，解（2）的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的关键是利用三角形的外角的性质． 模型六、双内角平分线 在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则 【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 【结论】 【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴ 由A→B→I→C→A的飞镖模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 32．（2022秋•金乡县期中）如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 的周长为：14， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键． 33．（2022秋•江阳区校级期中）如图所示，在中，和的角平分线相交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理计算出的度数，进而得到，即可算出的度数． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 34．（2023秋•东莞市校级期中）如图，中，，的角平分线与的角平分线交于点．则　 　． 【分析】利用三角形内角和定理先求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解． 【解答】解：， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义求出的度数． 35．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，和分别是和的平分线，过点，且，若，，则的长为 　　． 【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答． 【解答】解：和分别是和的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键． 36．（2022秋•瑶海区期中）如图，在中，与的平分线交于点，根据下列条件，求的度数． （1）若，则　 　； （2）从上述计算中，我们能发现：　　 （用含的式子表示），并说明理由． 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，再由角平分线定义得：，从而得出的度数； （2）与（1）同理可得：． 【解答】解：（1）， ， 与的平分线交于点， ，， ， ， 故答案为：； （2） 由（1）得： 故答案为：． 【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角和外角平角线的夹角与第三个角的关系． 37．（2020秋•连山区期中）如图，已知、的平分线相交于点，过点且． （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义可求解，，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求，的度数，根据平行线的性质即可得，的度数，利用角平分线的定义可求解． 【解答】解：（1）和的平分线与相交于点， 所以，， 又，， ，， ； （2）， ， ， ，， ， ，， 和的平分线与相交于点， ，． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识的综合运用． 38．（2022秋•余干县期中）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由、是的两个外角知、，据此得，继而可得答案； （3）由（1）知，根据平分，平分知．利用可得答案． 【解答】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ，， ，， 在中，， ， 整理得； 故答案为：90； （2）， 理由：、是的两个外角， ，， ， ， 即； （3）由（1），得， ， 平分，平分， ． ， ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键． 模型七、双外角平分线 在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则. 【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴ 由△BCO中内角和定理可知： ∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--=== 39．（2020秋•雷州市校级期中）在中，与的平分线相交于点． （1）如图①，若，则　　；（用的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线定义表示出，即可求解； （2）由角平分线定义表示出，，再由三角形的外角的性质，三角形的内角和定理表示出，可以解决问题． 【解答】（1）解：如图① ，分别平分与， ，， ， ， ， ． 故答案为． （2）． 证明：如图② ，分别平分，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查角平分线的概念，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，关键是掌握并熟练应用以上定理和概念． 模型八、内角平分线+外角平分线 已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则 【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴ 由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……① 对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③ 比较②③式子可知：. 40．（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　 　度． 【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【解答】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律是解题的关键． 41．（2021秋•新昌县期中）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，，即可得出答案； （2）与（1）同理可证． 【解答】解：（1）， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 故答案为：8； （2），理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． 42．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在中，平分，平分，求证：； （2）如图2，在中，平分，平分外角，猜想和有何数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可； （2）根据三角形外角性质得出，，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ； （2）猜想： 证明：， ， ， ， 又平分，平分， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于和角平分线的定义是解此题的关键． 43．（2023秋•端州区校级期中）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． （1）猜想：与、之间有怎样的关系． （2）如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． （3）如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （2）利用（1）的方法解答即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定和为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论． 【解答】解：（1）与、之间的关系为：．理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 同理：． ． （2）第（1）问中与、间的关系还存在，即．理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 同理：． ． 第（1）问中与、间的关系还存在． （3）图中还存在等腰三角形和，此时，理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 是等腰三角形， 同理可证是等腰三角形， ， ， ． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键． $$