专题03轴对称（考题猜想，11种常考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题03轴对称（考题猜想，11种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形 巧用平分线+角平分线构造新等腰三角形 过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形 利用倍角关系构造新等腰三角形 底和腰不确定需分类讨论 底角和顶角不确定需分类讨论 与高有关的分类讨论 与中线有关的分类讨论 与腰的垂直平分线有关的分类讨论 动点问题的分类讨论 与构造等腰三角形有关的分类讨论 1． 巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形（共4小题） 1．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在等腰直角中，，F是边上的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的一半；⑤面积保持不变．其中正确的结论是 ． 4.（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知：在中，，． (1)在线段上找一点D，使得是等腰三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)过点D作于点E，求的度数． 2． 巧用平分线+角平分线构造新等腰三角形（共4小题） 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，平分，平分，且，设，，，则的周长为（    ）    A．34 B．32 C．30 D．28 6．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于点E，交AC于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ． 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 3． 过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形（共4小题） 9.（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　） A． B． C． D．不能确定 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 11.（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    12.（22-23八年级上·福建莆田·期中）已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 4． 利用倍角关系构造新等腰三角形（共4小题） 13.（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接、；下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；其中正确的是（　　）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 14.（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交，于，两点，为的中点，延长交于点．有下列说法：甲：是等边三角形；乙：；丙；．其中说法正确的是（    ）    A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲、乙、丙都不正确 15．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O．过点O作，交于点E，交于点F，过点O作于点D．设线段的长为m，下列结论中：①；②；③点到各边的距离相等；④设的周长为p，则．正确的结论有 ．（填序号） 16．（23-24八年级上·江西上饶·期中）在学习完第十二章后，老师让同学们独立完成课本56页第12题：如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题； (2)第二天，老师又给这道题，添加了一个已知条件，即在中，是它的角平分线，且，如图2，请同学们去探究线段、、三者的数量关系，爱动脑的小李同学，发现：，请你帮他完成证明过程． 5． 底和腰不确定需分类讨论（共4小题） 17.（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 18．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如果一个等腰三角形的两条边长分别为2和6，那么这个等腰三角形的周长是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 19.（23-24八年级上·湖南郴州·期中）在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为 ． 20.（23-24八年级上·河南商丘·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 6． 底角和顶角不确定需分类讨论（共4小题） 21.（22-23八年级上·四川内江·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 23.（22-23八年级上·广西桂林·期中）等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为 ． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 ． 7． 与高有关的分类讨论（共4小题） 25.（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 26.（22-23八年级上·广西来宾·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（    ） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 27．（22-23八年级上·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 28．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    8． 与中线有关的分类讨论（共4小题） 29.（22-23八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 6和 12两部分，则等腰三角形的底边长（   ） A．6 B．10 C．2 D．2或10 30．（22-23八年级上·山东临沂·期中）在中，，中线将这个三角形的周长分成9和12两部分，则的长为（    ） A．7 B．5 C．7或11 D．5或9 31.（21-22八年级上·天津红桥·期中）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 cm． 32.（23-24八年级上·广东珠海·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和18两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9． 与腰的垂直平分线有关的分类讨论（共4小题） 33.（21-22八年级上·黑龙江大庆·期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则顶角的度数（    ） A．50° B．40° C．40°或130° D．40°或140° 34．（23-24八年级上·广西河池·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则的度数是(    ) A． B． C．或 D．或 35.（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点P，已知，则等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 36.（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）等腰中，腰的垂直平分线交于点D，若，则的度数为 ． 10． 动点问题的分类讨论（共3小题） 37.（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，已知点是射线上一动点（即点可在射线上运动）．，当（　　）度时，为等腰三角形． A．120 B．30或75 C．30或75或120 D．120或75或45或30 38．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图所示，在中，，厘米，厘米，点D为的中点.如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 39．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 十一．与构造等腰三角形有关的分类讨论（共1小题） 40.（21-22八年级上·广东珠海·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． (1)如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ； (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数； (3)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程． $$专题03轴对称（考题猜想，11种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形 巧用平分线+角平分线构造新等腰三角形 过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形 利用倍角关系构造新等腰三角形 底和腰不确定需分类讨论 底角和顶角不确定需分类讨论 与高有关的分类讨论 与中线有关的分类讨论 与腰的垂直平分线有关的分类讨论 动点问题的分类讨论 与构造等腰三角形有关的分类讨论 1． 巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形（共4小题） 1．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E，使，由，得出，三角形的外角性质定理得出，进一步得出，，即可求出的值． 【详解】解：在上取一点E，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶B． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 故选C． 3.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在等腰直角中，，F是边上的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的一半；⑤面积保持不变．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，①由“”可证，可得；②由，可得，，从而推出；③根据，即可得出；④根据四边形的面积，，即可判断；⑤根据面积，点在上运动，故面积不确定． 【详解】解：连接； 是等腰直角三角形，是边上的中点， ，； 又， ； ，，，故①正确； ， ， ，故②正确； ， ，故③正确； ， ， 四边形的面积， 四边形的面积，故④正确； 面积，点在上运动， 面积不确定．故⑤错误； 故答案为：①②③④． 4.（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知：在中，，． (1)在线段上找一点D，使得是等腰三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)过点D作于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）作的垂直平分线交于点，则，是等腰三角形，点即为所求作； （2）由（1）可知，的垂直平分线与的交点即为点，根据等边对等角的性质，得到，进而得到，再结合三线合一的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：由（1）可知，的垂直平分线与的交点即为点， ∴ 是等腰三角形，， ， ， ， ． 2． 巧用平分线+角平分线构造新等腰三角形（共4小题） 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，平分，平分，且，设，，，则的周长为（    ）    A．34 B．32 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵设，， ∴的周长为： ． 故选：C． 6．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于点E，交AC于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质与等腰三角形的性质． （1）由平行线的性质及角平分线得到与是等腰三角形可求得①； （2）根据角平分线和，与三角形内角和定理可求得②； （3）由角平分线的性质得出交点到三角形各边距离相等可求得③； （4）由，，以及角平分线的性质，表示出三角形的面积可求得④． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ． 同理可得， ． ∴①正确； ∵和的平分线相交于点O， ， 又， ． ∴②正确； 如图，连接，过点分别作于点； 于点， 和分别为和的角平分线， ；；， ∴点到各边的距离相等． ∴③正确； 若， 则点到的距离， ， ． ∴④正确． 综上，①②③④均正确． 故选：D． 7．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解；②证明为等腰三角形，即可得证；③利用角平分线的性质，即可得证；④证明，即可得证． 【详解】解，①∵与的平分线相交于H， ∴， ∴ ，故①错误； ②∵与的平分线相交于H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过作， ∵与的平分线相交于H，， ∴， ∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确； ④若B，H，D三点共线时，则，且平分， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴一定为等腰三角形，故④正确． 故答案为：②③④； 【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． （1）根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得； （2）同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 平分， ， ， ， ， ， 的周长， ， ， ， ，， 的周长． 3． 过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形（共4小题） 9.（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过P作交于点F，通过求证，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过P作交于点F，如图所示 则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于E，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于点，利用等边三角形的性质和三线合一可得是等边三角形、是的中线，则有、，根据可得，又可判定，则，代入即可求解． 【详解】作交于点， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， 是的中线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是利用辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质判定全等后求的长 11.（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．通过添加辅助线构造全等是解题的关键． 如图，作交于，则是等边三角形，，由，可得，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作交于，    ∵等边，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 12.（22-23八年级上·福建莆田·期中）已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析；①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． （1）过点C作，交的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得，再结合得出，证明，，再证明，从而结合全等三角形的性质使问题得证； （2）①如图，过点B作，交于点N，由（1）已证，，得出，，从而得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，再证出，即可求解； ②取中点H，连接，证明为等边三角形，再证明为等边三角形，从而证出，得出，即可得出，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点； （2）解：①补图如图，过点B作，交于点N， 由（1）已证，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； ②取中点H，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E、H分别为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4． 利用倍角关系构造新等腰三角形（共4小题） 13.（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接、；下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；其中正确的是（　　）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．①证明即可判断．②根据，对应边不相等，即可判断．③先证明，再证明，即可判断．④证明，即可判断． 【详解】解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ，故②正确， 在和中， ， ， ， ， ，故④正确， ， ， 又是钝角， 不是等腰三角形，故③错误． 故选：A． 14.（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交，于，两点，为的中点，延长交于点．有下列说法：甲：是等边三角形；乙：；丙；．其中说法正确的是（    ）    A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质．根据等腰直角三角形的性质、角平分线定义计算得出，，结合等腰三角形的性质可判断甲、乙的说法；利用证明，判断丙的说法；从而得到结论． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故甲说法错误； ∵M为的中点， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，但， ∴，故丙说法错误； 综上所述，只有乙说法正确． 故选：B． 15．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O．过点O作，交于点E，交于点F，过点O作于点D．设线段的长为m，下列结论中：①；②；③点到各边的距离相等；④设的周长为p，则．正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质； 根据角平分线的性质和可得，，即可证明①；由图可得再结合角平分线的性质可证明②；根据点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可证明③④． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵，和的平分线相交于点O ∴，， ∴，， ∴，故②正确； ∵点是角平分线的交点， ∴点到各边的距离相等，故③正确； ∵线段的长为m，，点到各边的距离相等， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 16．（23-24八年级上·江西上饶·期中）在学习完第十二章后，老师让同学们独立完成课本56页第12题：如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题； (2)第二天，老师又给这道题，添加了一个已知条件，即在中，是它的角平分线，且，如图2，请同学们去探究线段、、三者的数量关系，爱动脑的小李同学，发现：，请你帮他完成证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法以及等腰三角形的判定． （1）根据平分，作，，由角平分线性质可知，与等高，面积比即为底边的比． （2）在上截取，证明，得出，由外角性质可得，得出，可得结论． 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， ∵平分， ∴， ∴． （2）在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴ 又， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∴， ∴， ，即 5． 底和腰不确定需分类讨论（共4小题） 17.（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分底为和腰为两种情况分别求出第三边，再结合三角形三边关系判断即可解答． 【详解】解：当底为时，腰为，时三边为：，，符合三角形的三边关系； 当腰为时，底为，此时三边为：，，符合三角形三边关系； 综上，底边为或． 故选：C． 18．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如果一个等腰三角形的两条边长分别为2和6，那么这个等腰三角形的周长是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，分腰长为2和底边长为2两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为2时，则三边长为2，2，6， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当底边长为2时，则三边长为2，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长是， 故选：D． 19.（23-24八年级上·湖南郴州·期中）在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】/20厘米 【分析】本题考查等腰三角形的定义及三角形的构成条件．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等 ①当腰为时：三角形的周长为：； ②当腰为时：因为，此时不存在三角形． 故答案为：． 20.（23-24八年级上·河南商丘·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 【答案】(1)8cm，8cm，4cm (2)能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． （1）设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5cm是底边和腰长两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则 ∴ ∴各边长为：8cm，8cm，4cm． （2）①若为底时，腰长， 三角形的三边分别为，能围成三角形 ②若为腰时，底边， ， 不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形 6． 底角和顶角不确定需分类讨论（共4小题） 21.（22-23八年级上·四川内江·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故选：C． 23.（22-23八年级上·广西桂林·期中）等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为 ． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 依题意，根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 变式：根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角； 故答案为：或； 变式：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角； 故答案为：或． 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、以及三角形的内角和定理，设这个三角形的底角为x，分两种情况：①一个内角是另一个内角的倍，这个内角为底角；②一个内角是另一个内角的倍，这个内角为顶角；再根据三角形的内角和定理即可得，理解题意分两种情况讨论是解题关键． 【详解】解：设这个三角形的底角为x，由题意分以下两种情况： ①一个内角是另一个内角的倍，这个内角为底角， 则这个三角形的三个角分别为：， 由三角形的内角和定理得：， 解得：； ②一个内角是另一个内角的倍，这个内角为顶角， 则这个三角形的三个角分别为：， 由三角形的内角和定理得：， 解得：， 故答案为或． 7． 与高有关的分类讨论（共4小题） 25.（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角形和锐角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 26.（22-23八年级上·广西来宾·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（    ） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 【答案】D 【分析】分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°； ②当为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°， 所以该等腰三角形的顶角为50°或130°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 27．（22-23八年级上·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键． 【详解】当等腰三角形的顶角为锐角时，过作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角为钝角时，过作，交延长线于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 28．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    【答案】图形及度数见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质．由于为腰，则点B可为顶角的顶点，也可为底角的顶点，高可在三角形内部也可在三角形外部，故应分情况分析计算． 【详解】解：由题意得，分三种情况： （1）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形内部，    ； （2）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形外部，    ； （3）如图，当点C为顶角的顶点时（此时，这种情况与小明同学的做法相同，舍去），    ， ． 8． 与中线有关的分类讨论（共4小题） 29.（22-23八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 6和 12两部分，则等腰三角形的底边长（   ） A．6 B．10 C．2 D．2或10 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意列方程，求出解后验证是否满足三角形的三边关系即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 由题意得或， 解得或， ，不能构成三角形， 不合题意，舍去， 等腰三角形的底边长是2， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系等，解题的关键是注意判断求出的解是否满足三角形的三边关系． 30．（22-23八年级上·山东临沂·期中）在中，，中线将这个三角形的周长分成9和12两部分，则的长为（    ） A．7 B．5 C．7或11 D．5或9 【答案】D 【分析】设，，则，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用． 【详解】解：设，， ∵为边上的中线， ∴则， ∵中线将这个三角形的周长分成9和12两部分， ∴当，且时， 则，且， 解得：，， ∴三边长分别为6，6，9（符合题意）， ∴； 当，且时， 则，且， 解得：，， ∴三边长分别为8，8，5（符合题意）， ∴， 综上所述：的长为9或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 31.（21-22八年级上·天津红桥·期中）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 cm． 【答案】6或4/4或6 【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论． 【详解】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得： 或，解得或． 再根据三角形的三边关系，知均可构成等腰三角形， 所以，这个三角形的腰长为6cm或4cm． 故答案为6或4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键 32.（23-24八年级上·广东珠海·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和18两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是12，底边长是3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中线，设，分两种情况进行讨论求解即可．利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成9和18两部分， 有两种情况： ①当，且， 解得， 三边长分别为6，6，15；，不可以构成三角形 ②当，且， 解得， 三边长分别为12，12，3；，可以构成三角形； 综上，腰长是12，底边长是3． 9． 与腰的垂直平分线有关的分类讨论（共4小题） 33.（21-22八年级上·黑龙江大庆·期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则顶角的度数（    ） A．50° B．40° C．40°或130° D．40°或140° 【答案】D 【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图 ∵∠ADE=50°，∠AED=90°， ∴∠A=40° 当为钝角三角形时，如图 ∠ADE=50°，∠DAE=40°， ∴顶角∠BAC=180°-40°=140°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 34．（23-24八年级上·广西河池·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则的度数是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图：    ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； 当是钝角三角形时，如图：    ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 35.（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点P，已知，则等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 【详解】解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接   两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接，    由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键 36.（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）等腰中，腰的垂直平分线交于点D，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出∠DBC的度数． 【详解】解：当是顶角时，如图1， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交边于点D， ∴， ∴， ∴， 当是底角时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交边于点D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用三角形内角和公式计算是解题的关键 10． 动点问题的分类讨论（共3小题） 37.（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，已知点是射线上一动点（即点可在射线上运动）．，当（　　）度时，为等腰三角形． A．120 B．30或75 C．30或75或120 D．120或75或45或30 【答案】C 【分析】分三种情况：①时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得；②时，由等腰三角形的性质得，则；③时，． 【详解】解：分三种情况： ①时， 则； ②时， 则， ； ③时， 则； 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 38．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图所示，在中，，厘米，厘米，点D为的中点.如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， 要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，， 厘米/秒； 时，， 厘米/秒； 即点的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒， 故答案为：4或6． 39．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 十一．与构造等腰三角形有关的分类讨论（共1小题） 40.（21-22八年级上·广东珠海·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． (1)如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ； (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数； (3)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程． 【答案】(1)55° (2)∠CDF=45°； (3)∠B=30°或45° 【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠CFD=70°，再根据折叠的性质可得∠AFE=∠DFE，据此即可求解； （2）连接AD，由等腰三角形的性质可得∠CFD=∠CDF=45°，由等腰三角形的性质可求∠FDA=22.5°=∠FAD，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）解：∵∠C=90°，∠CDF=20°， ∴∠CFD=90°-20°=70°， ∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上， ∴∠AFE=∠DFE==55°， 故答案为：55°； （2）解：连接AD， ∵△CDF为等腰三角形，∠FCD=90°， ∴∠CDF=∠CFD=45°； （3）解：∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上， ∴AF=DF，AE=DE， ∴∠FAD=∠FDA， ∵∠CFD=∠FAD+∠FDA， ∴∠FDA=22.5°=∠FAD， ∴∠ADC=67.5°， ∵∠ADC=∠B+∠DAB， ∴∠DAB=67.5°-∠B， ∵AE=DE， ∴∠DAB=∠ADE=67.5°-∠B， ∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B， 若∠DEB=∠B时， ∴135°-2∠B=∠B， ∴∠B=45°； 若∠DEB=∠EDB时， ∴∠DEB=∠EDB=135°-2∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°， ∴135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°， ∴∠B=30°； 若∠EDB=∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°， ∴135°-2∠B+∠B+∠B=135°≠180°（不合题意舍去）， 综上所述：∠B=30°或45°． 【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． $$