精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级上学期数学定时试题

初2025届九上数学定时练习1 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确； B、=，不是最简二次根式，故选项错误； C、，不是最简二次根式，故选项错误； D、，不是最简二次根式，故选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1，2，3 B. 1，， C. 2，2，4 D. 10，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； B、，能构成直角三角形，符合题意，选项正确； C、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； D、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理得逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 3. 一次函数的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据k、b的取值即可进行判断. 【详解】解：因为k=－3<0，所以直线经过第二、四象限，又因为b=4>0，所以直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 故选C. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键. 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 5. 下列各命题中真命题的是（ ） A. 有一个角为直角的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的判定定理分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误，是假命题，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误，是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记正方形的判定方法． 6. 《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元，问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有个人，这个物品价格是元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系：每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元即可列出方程组． 【详解】根据题意有 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据平行公理推论可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15 【答案】D 【解析】 【分析】将五个答题数，从小到大排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数. 【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15， 故选D. 【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答. 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 10. 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据相应法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 若是方程的根，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，得出，再代入代数式，即可计算求值． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 13. 若点和点在一次函数的图象上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象得到，当，直线都在直线的下方，于是可得到关于x的不等式的解集． 【详解】解：当，直线都在直线的下方，于是可得到关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=36． 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=36． 故答案为：x（x﹣1）=36． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 16. 如图，正方形的边长为，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理列方程是解题关键．由折叠的性质可知，，，由正方形的性质可知，，进而得到，设，，利用勾股定理分别列方程，求出、的值，从而得到，，，最后利用四边形的面积，即可求出面积． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 正方形的边长为， ，， ， ， 设，则， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ， 设，则，， 在中， ， 解得：，即， ， 四边形的面积 ， 故答案为：． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得m的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得m的范围；综上所述，求得m的范围．根据m为整数，求出m的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴； 分式方程两边都乘以得：， 解得：， ∵分式方程的解是整数， ∴或或或， ∵， ∴的值为，3，0，，，， a为偶数， ∵分式要有意义， ∴，即， ∴，即， ∴符合条件的所有整数m的数有3，0，，， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验． 18. 材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“完全上升数”．例如：，满足，且，所以123是“完全上升数”；，满足，且，所以346不是“完全上升数”． 材料二：对于一个“完全上升数”（，b，且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数，规定： ．例如：为“完全上升数”，， ． 若m是“完全上升数”，且m与的和能被7整除，的值为_____________________． 【答案】12或15 【解析】 【分析】表示出m与，再根据能被7整除，求出的值即可． 【详解】解：设“完全上升数”m的百位、十位、数字为，则个位数字为， ∵， ∴，， 则， ， ∴，， ∵，， ∴当能被整除时，能被整除， ∴时，；时，， ∴或满足题意， 当时，=， 当时，=， 综上，F（m）的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了用定义解决问题，理解“上升数”和“完全上升数”的定义是解本题的关键． 三、解答题：本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19. 计算： （1）（a﹣b）2+b（2a﹣b） （2）÷（a+） 【答案】（1）a2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简． 【详解】解：（1）(a﹣b)2+b(2a﹣b) ＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣b2 ＝a2； （2）÷（a+） ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了整式和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 20. 如图，平分，且交于点． （1）作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明： __________ 平分 __________ __________ 同理可证 又 __________ 又 四边形是菱形（_______） 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，菱形的判定： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质和平行线的性质，推出，，进而得到，推出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明： 平分 同理可证 又 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 21. 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82． 九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 b c 52 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a、b、c的值：______，______，______； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）40，94，96 （2） 选派九年级（2）班，理由如下： ∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，九年级（2）班的方差为， ∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定， ∴学校会选派九年级（2）班． （3）78 【解析】 【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1-其它各组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴． ∵成绩为96分的学生有2名，最多， ∴． 九年级（2）班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， ∴． 故答案为：40，94，96； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：九年级（2）班D组的人数为人， ∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有人． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人． 【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为 （2）这种玩具应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 23. 如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接、、，记运动时间为秒，（当时，），（当点与点重合时，）． （1）直接写出、与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】（1），； （2） 、的函数图象如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）秒或秒 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，再利用，即可得到与之间的函数表达式；由题意可知，当时，；当时，，再利用，即可得到与之间的函数表达式； （2）利用列表、描点、连线即可画出函数图象，再利用函数图象得到函数的性质即可； （3）根据函数图象可知和有两个交点，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：矩形， ，， 点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，运动时间为秒， ， 当点与点重合时同时停止运动， ， ， 点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动， ， 当时，此时点在上， ， 当时，此时点在的延长线上，， ， ； 【小问2详解】 解：与的对应数据如下： 与的对应数据如下， 【小问3详解】解：由图象可知，和有两个交点， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，点的运动时间为秒或秒． 【点睛】本题是一次函数与几何综合问题。考查了矩形的性质，三角形的面积公式，描点法画函数图象，一元一次方程的应用等知识，根据三角形面积公式正确列出、与之间的函数表达式，并画出函数图象是解题关键． 24. 无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同一平面内）． （1）填空： ， ； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1），； （2）米； （3）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，，，，利用平角的定义和三角形内角和定理，即可得到答案； （2）由题意可知，四边形是矩形，进而得到，，再利用特殊角的正切值，求得，即可求出楼的高度； （3）过点作，交于点，此时，根据平行线的性质，得到，进而得到，再由三角形内角和定理，得出，从的得到，然后证明，得到，即可求出无人机距离地面的高度． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可知，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 楼的高度为米； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点，此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即无人机距离地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形——仰角俯角问题，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）或； 【解析】 【分析】（1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标； （3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴令，则， ∴点A为， ∴， ∵， ∴点C为，点D为， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴点B为， ∵，解得， ∴点P的坐标为； ∴； ∵点Q在直线上，则设点Q为，则 当点Q在点B的下方时，如下图： ∵，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点Q在点P的上方时，如上图： ， ∴， ∴ 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 综合上述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线， ∴直线为， 令，则， ∴点E的坐标为， 即； 当作为矩形的边时，如图： ∴点N的坐标为， ∴点M的坐标为； 当作为矩形的对角线时，如图： ∴点F的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 综合上述，则点M的坐标为或； 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题． 26. 在中，，，，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，若，以为边在下方作等腰，，连接，若点是线段中点，过作于点的延长线交于点，求证：； （3）如图3将沿翻折．连接，是线段上一点，且，直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）作交于点，由三角形内角和定理可得，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的判定与性质可得，最后由面积公式进行计算即可； （2）取的中点，连接、，由（1）可得：，从而证得是等腰直角三角形，通过证明得到，进而得到，由直角三角形的性质可得，从而得到在的垂直平分线上，再证明点在的垂直平分线上，得到点和重合，即可得证； （3）在的下方作，截取，连接、、交于，作关于对称的，连接，证明得到，从而得到，进而得到当三点共线时，最小此时点在处，点在处，由（1）知，，则，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，通过证明四边形是等腰梯形，得到，则， 由折叠的性质可得：，，连接，过点作，交的延长线于点，由平角的定义可得，由直角三角形的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，作交于点， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：取的中点，连接、， ， 由（1）可得：， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， 为的中点， ， 在的垂直平分线上， ，， ， ， 点是线段中点， 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 点和重合， ， ； 【小问3详解】 解：如图， ， 在的下方作，截取，连接、、交于，作关于对称的，连接， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，最小此时点在处，点在处， 由（1）知，， ， ，，， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 由折叠的性质可得：，， 连接，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形全等的判定与性质、折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形全等的判定与性质、折叠的性质、直角三角形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届九上数学定时练习1 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1，2，3 B. 1，， C. 2，2，4 D. 10，24，25 3. 一次函数的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各命题中真命题的是（ ） A. 有一个角为直角的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 6. 《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元，问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有个人，这个物品价格是元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 75° 8. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：_________． 12. 若是方程的根，则的值为_____． 13. 若点和点在一次函数的图象上，则_________． 14. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 _________． 15. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 16. 如图，正方形的边长为，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为______． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为_____． 18. 材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“完全上升数”．例如：，满足，且，所以123是“完全上升数”；，满足，且，所以346不是“完全上升数”． 材料二：对于一个“完全上升数”（，b，且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数，规定： ．例如：为“完全上升数”，， ． 若m是“完全上升数”，且m与的和能被7整除，的值为_____________________． 三、解答题：本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19. 计算： （1）（a﹣b）2+b（2a﹣b） （2）÷（a+） 20. 如图，平分，且交于点． （1）作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明： __________ 平分 __________ __________ 同理可证 又 __________ 又 四边形是菱形（_______） 21. 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82． 九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 b c 52 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a、b、c的值：______，______，______； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 22. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 23. 如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接、、，记运动时间为秒，（当时，），（当点与点重合时，）． （1）直接写出、与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过） 24. 无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同一平面内）． （1）填空： ， ； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，若，以为边在下方作等腰，，连接，若点是线段中点，过作于点的延长线交于点，求证：； （3）如图3将沿翻折．连接，是线段上一点，且，直接写出当取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $