第二章 有理数的运算（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第2章 有理数的运算（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，掌握相反数和倒数的定义是解答本题的关键． 根据题意利用相反数和倒数的定义计算即可． 【详解】解：， 的倒数为， 故选：D． 2．一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（　　） A．294999 B．295786 C．305997 D．309111 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】省略“万”后面的尾数求它的近似数，要把万位的下一位千位上的数进行四舍五入，再在数的后面带上“万”字，把各数保留用“万”作单位的数，再进行选择． 本题考查的是近似数和有效数字，用“四舍五入”法改写成用“万”作单位的数，万的下一位（千位）是小于5的数舍去，大于或等于5的向前进一位． 【详解】解：； ； ； ． 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【答案】D 【知识点】正负数的意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】解：A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数，说法错误，如，故本选项不合题意； B．两个有理数的差一定小于它们的和，说法错误，如，，故本选项不合题意； C．减去一个负数，差大于被减数，故本选项不合题意； D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置，判定式子的正，负，根据根据数轴可知：，，，据此一一判断即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴①，不成立， ②，成立， ③，不成立， ④，成立， ⑤，不成立， 式子成立的有②④， 故选：C． 5．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简． 【详解】解：根据题意得到， ， ， ， 故选：D． 7．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 8．一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的；第二次后剩下原长的；第三次后剩下原长的；……；第2023次后剩下原长的，这个数乘以绳子的原长即可． 【详解】解：第一次后剩下原长的； 第二次后剩下原长的； 第三次后剩下原长的； …… 第2023次后剩下原长的． ∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为． 故选：C． 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数的除法运算 【分析】根据有理数的混合运算法则以及乘法运算律简便计算即可． 【详解】、， ， ， ， 此选项计算错误，不符合题意； 、 ， ， ， 此选项计算错误，不符合题意； 、 ， ， ， 此选项计算正确，符合题意； 、， ， ， ， 此选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘方运算律，解题的关键是熟练掌握乘法运算律及其应用． 10．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【详解】计算的末两位数字是05， 的末两位数字是55， 的末两位数字是15， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．月球表面温度中午是，半夜是，中午的温度比半夜高 ． 【答案】240 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意列出算式是解题的关键．用最高问题减去最低问题即可． 【详解】解：． 故答案为：240 12．用简便方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．规定“*”是一种新的运算符号，对任意自然数a，b，有，则 ． 【答案】1013 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：1013． 14．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ∴最后输出的结果是． 故答案为：． 15．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    【答案】 【知识点】图形类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】首先根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 三、解答题：共8题，共75分， 16．（12分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)－19 (2) (3)8 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）先算乘方和括号，再算除法和乘法，后算加减； （3）利用乘法分配率计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解： ． 17．（8分）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，乘积最大，最大是 (2)其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大是625 (3)（答案不唯一） 【知识点】有理数的乘方运算、算“24”点、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 19．（7分）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 20．（9分）如表记录的是泗河今年某一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示高于标准水位，负号表示低于标准水位） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？最高水位和最低水位分别是多少？ (2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？ (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.6米时，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【答案】(1)周五水位最高是，周一水位最低是； (2)上升了； (3)24个小时． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法的实际应用，利用有理数的运算是解题关键． （1）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据水位差除以上升的速度，可得答案． 【详解】（1）解：周一为， 周二为， 周三为， 周四为， 周五为， 周六为， 周日为， 周五水位最高是， 周一水位最低是． （2）， 和上周末相比水位上升了； （3）小时， 答：再经过24个小时工作人员就需要开闸泄洪． 21．（7分）阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出______（用表示）． (2)依规律，直接求出的值为______． (3)依规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类以及有理数得混合运算， （1）根据题意可推测出； （2）根据规律将其转化为有理数的乘方运算即可； （3）计算即可； 掌握已知规律并进行恒等变形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 22．（12分）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段    问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段______________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为______________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或7或3或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】（1）根据题意得出计算即可； （2）根据数轴上点代表的数为，且线段，得出点表示的数为或即可； （3）根据题意列出或，计算即可． 【详解】（1）解： 数轴上点、代表的数分别为和1， 线段， 故答案为：10； （2）解： 数轴上点代表的数为，且线段， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解： 其中一个点表示绝对值为2的数， 这个点表示的数是， 由题意，得或， 解得或7或3或． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的减法，理解题意是解题的关键． 23．（12分）从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)用1单位长度表示，请你画在数轴并在其上表示出A、B、C三点的位置； (2)把这条数轴在数m处对折，使表示和2011两数的点恰好互相重合，则______． (3)把点C到点A的距离记为，点B到点A的距离记为， ①______；______； ②若点B以每秒的速度向左移动，同时A、C以每秒、的速度向右移动，设移动时间为2秒，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)①，；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算、数轴上的动点问题 【分析】本题考查数轴上点表示的数，数轴上的动点问题，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式． （1）根据题意画图即可； （2）利用对称的性质列式解答即可； （3）①先求解数轴上，之间的距离，再进一步解答即得答案；②先求解数轴上对应的数，再求解，之间的距离，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：如图示， ． （2）解：数轴在数处对折，表示和2011两数的点恰好互相重合， ∴； （3）解：①，； ②∵点B以每秒的速度向左移动， ∴点B以每秒1个单位长度的速度向左移动， ∴点B对应的数为， ∵A、C以每秒、的速度向右移动， ∴A、C以每秒、个单位长度的速度向右移动， ∴点A、C对应的数分别为，， 如图， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（　　） A．294999 B．295786 C．305997 D．309111 3．下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 7．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 8．一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．月球表面温度中午是，半夜是，中午的温度比半夜高 ． 12．用简便方法计算： ． 13．规定“*”是一种新的运算符号，对任意自然数a，b，有，则 ． 14．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ． 15．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    三、解答题：共8题，共75分， 16．（12分）计算： (1)； (2)； (3)． 17．（8分）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 18．（8分）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 19．（7分）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 20．（9分）如表记录的是泗河今年某一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示高于标准水位，负号表示低于标准水位） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？最高水位和最低水位分别是多少？ (2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？ (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.6米时，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 21．（7分）阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出______（用表示）． (2)依规律，直接求出的值为______． (3)依规律，求的值． 22．（12分）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段    问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段______________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为______________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求． 23．（12分）从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)用1单位长度表示，请你画在数轴并在其上表示出A、B、C三点的位置； (2)把这条数轴在数m处对折，使表示和2011两数的点恰好互相重合，则______． (3)把点C到点A的距离记为，点B到点A的距离记为， ①______；______； ②若点B以每秒的速度向左移动，同时A、C以每秒、的速度向右移动，设移动时间为2秒，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$