第二十二章 二次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【考点】二次函数的定义．版权所有 【答案】B 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【答案】B 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键． 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．版权所有 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可． 【解答】解：A、由函数图象可知，图象关于直线x＝1对称，故本选项正确； B、由函数图象可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，故本选项正确； C、由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增减小，故本选项错误； D、因为抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（﹣1，0），所以与x轴的另一个交点是（3，0），故﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，故本选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合得出抛物线的对称轴及其顶点坐标是解答此题的关键． 4．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】D 【分析】由抛物线满足：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c， ∴由①可知当a＞0时b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点，当a＜0时b2﹣4ac＜0，则抛物线与x轴无交点； 由②可知：当x＝﹣1时，y＜0， 由③可知：﹣b+c＞0， ∵a﹣b+c＜0，∴必须a＜0， ∴符合条件的有C、D， 由C的图象可知，对称轴直线x＝﹣＞0，a＜0，∴b＞0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则b＞c， 由D的图象可知，对称轴直线x＝﹣＜0，a＜0，∴b＜0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则有可能b＜c， 故满足条件的图象可能是D， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 5．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】A 【分析】首先求出对称轴为直线x＝1，则C的对称点为（0，y3），则﹣2＜0＜1，然后根据x≤1时y随x的增大而减小解答． 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的对称轴为直线x＝＝1， ∴C（2，y3）的对称点为C′（0，y3）， ∵a＞0， ∴x≤1时y随x的增大而减小， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C′（0，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的图象上， ∴A（﹣2，y1），B（1，y2），C′（0，y3）位于对称轴的左侧且﹣2＜0＜1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用二次函数图象的对称性是解题的关键． 6．若二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．4 B．﹣1或3 C．3 D．4或﹣1 【考点】二次函数的最值．版权所有 【答案】A 【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3， ∴a＞0， y最小值＝＝3， 整理，得a2﹣3a+4＝0， 解得a＝4或﹣1， ∵a＞0， ∴a＝4． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 7．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．版权所有 【答案】D 【分析】与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同． 【解答】解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同． 即y＝x2+1， 故选：D． 【点评】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向． 8．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（　　） A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（，﹣） 【考点】二次函数综合题；二次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】A 【分析】此题主要考查函数图象与坐标关系，只要求出坐标，再根据坐标关系求出a和b，就解决问题了． 【解答】解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0） 即c＝3， 因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3）， 又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1）， 又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）． 由顶点坐标（﹣，）得（﹣）． 故选：A． 【点评】此题主要考查函数图象与坐标关系，相对来讲此题容易，主要考查学生的计算能力． 9．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．﹣12＜t＜3 B．﹣12＜t≤4 C．3＜t≤4 D．t＞﹣12 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【答案】B 【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，t的范围即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 抛物线的顶点坐标为（2，4）， 当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3； 当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12， 当x＝2时，y＝4， ∴t的取值范围为：﹣12＜t≤4， 故选：B． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 10．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式．版权所有 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质进行解答即可． 【解答】解：根据图象知： 抛物线开口向下，顶点（，3）， ∴答案B、D不符合． 把点（0，1）代入答案A、C检验，该点满足C． 故选：C． 【点评】在明确抛物线顶点的情况下，设抛物线顶点式，用抛物线经过的另外一点检验或者求a值． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知二次函数y＝（m﹣3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是　m＜3　． 【考点】二次函数的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图象的开口方向得到m﹣3＜0，从而确定m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣3）x2的图象开口向下， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3， 故答案为：m＜3． 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下． 12．关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+b中，当1≤x≤4时，﹣3≤y≤5．则b﹣4a的值为 　﹣3或5　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+b＝a（x﹣2）2+b﹣4a， ∴顶点（2，b﹣4a）， 当a＞0时，当1≤x≤4时，﹣3≤y≤5． 函数有最小值， ∴b﹣4a＝﹣3， 当a＜0时，当1≤x≤4时，﹣3≤y≤5， 函数有最大值， ∴b﹣4a＝5， 故答案为：﹣3或5． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 　①②③　（填写序号）． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】①②③． 【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确． 【解答】解：∵a＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上． ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2． ∴﹣＝2． ∴b＝﹣4a． ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0． ∴a﹣（﹣4a）+c＝0． ∴5a+c＝0． ∴c＝﹣5a． ∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a． ∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴它的大致图象如图： 由图象可知：y1＞y2， ∴①的说法正确； ∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a， ∴5a+c＝0． ∴②的说法正确； 令y＝0，则ax2+bx+c＝0． ∵b＝﹣4a，c＝﹣5a， ∴ax2﹣4ax﹣5a＝0． ∵a＞0， 即x2﹣4x﹣5＝0． 解得：x1＝﹣1，x2＝5， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5． ∴③的说法正确； ∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0， ∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a， ∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a． ∴④的说法不正确． 综上，正确结论是：①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键 14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 　1或3　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】1或3． 【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2，则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2），从而可得答案． 【解答】解：由二次函数图象可得， 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2， 则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2）， 当y＝﹣2时，关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2（a≠0）的两个解为：x1＝3，x2＝1． ∴方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝1； 故答案为：1或3． 【点评】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键． 15．已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y＝x+b与图象②恰有三个公共点时，则b的值为 　1或　． 【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．版权所有 【答案】1或． 【分析】先根据图①所对应的解析式求出点A、B的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求出曲线ACB所对应的解析式，再根据直线y＝x+b与图象②恰有三个公共点，结合图象进行计算即可． 【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 令y＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 根据翻折变换，（1，﹣4）关于x轴的对称点为（1，4）， ∴曲线ACB所对应的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）， 当直线y＝x+b与图象②恰有三个公共点时，如图所示： ①当直线y＝x+b过点A时，0＝﹣1+b， 解得：b＝1； ②当直线y＝x+b过与y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）只有一个公共点时，﹣（x﹣1）2+4＝x+b 即x2﹣x﹣（3﹣b）＝0， ∴Δ＝1+4（3﹣b）＝13﹣4b＝0， 则b＝， ∴b的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的图象以及二次函数的图象与几何变换，关键是利用数形结合的思想，对直线y＝x+b与图象②恰有三个公共点时进行求值． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标． 【考点】二次函数的性质；二次函数的定义；二次函数的图象．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列方程求出m即可， （2）将抛物线解析式化为顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）由题意可知：， 解得：m＝﹣1； （2）∵m＝﹣1， ∴y＝﹣3x2+3x+6＝﹣3（x﹣）2+， ∴此抛物线的对称轴是直线x＝，顶点坐标是（，）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 17．（8分）已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式． 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式． （2）代入B（2，﹣2）即可判断；根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0）， ∴m＝1， ∴二次函数y＝a（x+1）2， 把点A（﹣2，﹣）代入得a＝﹣， 则抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2． （2）把x＝2代入y＝﹣（x+1）2得y＝﹣≠﹣2， 所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上； 根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2， 把B（2，﹣2）代入得﹣2＝﹣（2+1+m）2， 解得m＝﹣1或﹣5， 所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位，即可过点B， 平移后抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2或y＝﹣（x﹣4）2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换． 18．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【考点】二次函数的最值；一元二次方程的应用．版权所有 【答案】（1）t＝1或t＝4； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，当时，△PBQ面积最大为，理由见解析． 【分析】（1）设经过t秒以后△PBQ面积为4，根据题意，得×（5﹣t）×2t＝4，求出t即可； （2）由题意得S△PBQ＝﹣（t﹣ ）2+，再求最大值即可． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为4， ∵∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝5﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ＝， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t＝1或t＝4； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴， ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴当时，△PBQ面积最大为． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． 19．（8分）已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2． （1）求证：对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有交点． （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，B（1，0），求点A的坐标． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【答案】（1）见解答； （2）A点坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）． 【分析】（1）先计算判别式的值，然后判断△≥0得到结论； （2）把B点坐标代入y＝2x2﹣mx﹣m2求出m1＝﹣2，m2＝1，从而得到抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4或y＝2x2﹣x﹣1，然后分别解方程2x2+2x﹣4＝0和方程2x2+2x﹣4＝0得对应A点坐标． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣m2） ＝9m2≥0， ∴对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有公共点； （2）解：把B（1，0）代入y＝2x2﹣mx﹣m2得2﹣m﹣m2＝0，解得m1＝﹣2，m2＝1， 当m＝﹣2时，抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4，解方程2x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，此时A点坐标为（﹣2，0）； 当m＝1时，抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1，解方程2x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣，x2＝1，此时A点坐标为（﹣，0）． 综上所述，A点坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 20．（9分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可； （2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可； （3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（30，150）；（80，100）分别代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）设利润为w元， 由题意得： w＝（x﹣30）（﹣x+180） ＝﹣x2+210x﹣5400， ∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）； 令﹣x2+210x﹣5400＝3600， 解得x＝60或x＝150（舍）， ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625， ∵﹣1＜0， ∴当x≤105时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤80， ∴当x＝80时，w最大，最大为5000元． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（9分）阅读理解： 我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．那么我们能否借助二次函数的图象研究一元二次不等式的解集？例如，图1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0）．此时x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于0，此时对应的x的取值范围是x＜﹣1或x＞3；所以不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3；类比上述所了解的内容，相信你一定能够解决如下的问题： （1）x2﹣2x﹣3＜0的解集是：　﹣1＜x＜3　． （2）图2是把y＝x2﹣2x﹣3的图象沿x轴翻折而形成y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，求此二次函数的解析式，顶点坐标，对称轴，并根据图象求出ax2+bx+c＜0的解集． 【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】（1）﹣1＜x＜3； （2）x＜﹣1或x＞3． 【分析】（1）直接利用函数图象得出不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出翻折后的二次函数的解析式，然后利用函数图象得出ax2+bx+c＜0的解集． 【解答】解：（1）如图一：y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0）． 观察图象可以知道：在x轴下方的图象所有点纵坐标小于0，此时对应的x的取值范围是﹣1＜x＜3； 所以不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （2）y＝x2﹣2x﹣3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3． 观察图象二可以知道：在x轴下方的图象所有点纵坐标小于0，此时对应的x的取值范围是x＜﹣1或x＞3； 所以不等式﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3． 【点评】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 22．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水池喷头的安装方案？ 素材1 图1中有一个直径为20m的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为1m的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心4m处到达最高，高度为6m． 素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为m）；相邻两个直线型喷头的间距均为1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式． 任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标． 任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标． 【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣对称．版权所有 【答案】【任务1】建立的坐标系如图所示， 【任务2】点M的纵坐标为． 【任务3】离中心O最远的两个喷头的坐标分别为（7.8，0），（﹣7.8，0）． 【分析】【任务1】以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，设出抛物线的顶点式，再将（10，0）代入即可得出结论； 【任务2】令上述抛物线x＝0，即可得出结论； 【任务3】令上述抛物线y＝0，可求出x的值，再根据对称性可分别求出两端的喷头坐标． 【解答】解：【任务1】以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解， 根据题意，设y＝a（x﹣4）2+6， 将点B（10，0）代入抛物线，解得a＝﹣． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+6． 【任务2】∵y＝﹣（x﹣4）2+6， 将x＝0代入，可得y＝﹣（0﹣4）2+6＝． ∴点M的纵坐标为． 【任务3】如图，令y＝﹣（x﹣4）2+6＝， 解得x＝8.5或x＝﹣0.5（舍）， ∵安装后关于OM成轴对称分布，石柱直径为1，1÷2＝0.5，1.2÷2＝0.6＞0.5， ∴（8.5﹣0.6）÷1.2＝6． ∴OM左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头，0.6+6×1.2＝7.8． ∴离中心O最远的两个喷头的坐标分别为（7.8，0），（﹣7.8，0）． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 23．（13分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）P的坐标是（1，6）或（2，6）； （3）P（3，4）． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； （3）在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，易证△BOC≌△BOE，利用已知条件可求出B（0，4），E（1，0），进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴＝+5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4）， 理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P， ∵C﹣1，0），E（1，0）， ∴OC＝0E＝1， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（SAS）， ∴∠CBO＝EBO， ∵AP∥BE， ∴∠ABE＝∠PAB， ∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠PAB+∠CBO＝45°， 设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4， ∵AP∥BE， ∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f， 将A（4，0）代入得0＝﹣16+f， 解得：f＝16， ∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16， 由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16， 解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴P（3，4）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根 4．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 6．若二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则a的值是（　　） A．4 B．﹣1或3 C．3 D．4或﹣1 7．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1 8．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（　　） A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（，﹣） 9．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．﹣12＜t＜3 B．﹣12＜t≤4 C．3＜t≤4 D．t＞﹣12 10．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知二次函数y＝（m﹣3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是　 　． 12．关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+b中，当1≤x≤4时，﹣3≤y≤5．则b﹣4a的值为 　 　． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 　 　（填写序号）． 14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 　 　． 15．已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y＝x+b与图象②恰有三个公共点时，则b的值为 　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）已知y＝（m﹣2）x+3x+6是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标． 17．（8分）已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式． 18．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 19．（8分）已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2． （1）求证：对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有交点． （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，B（1，0），求点A的坐标． 20．（9分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 21．（9分）阅读理解： 我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．那么我们能否借助二次函数的图象研究一元二次不等式的解集？例如，图1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0）．此时x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于0，此时对应的x的取值范围是x＜﹣1或x＞3；所以不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3；类比上述所了解的内容，相信你一定能够解决如下的问题： （1）x2﹣2x﹣3＜0的解集是：　 　． （2）图2是把y＝x2﹣2x﹣3的图象沿x轴翻折而形成y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，求此二次函数的解析式，顶点坐标，对称轴，并根据图象求出ax2+bx+c＜0的解集． 22．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水池喷头的安装方案？ 素材1 图1中有一个直径为20m的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为1m的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心4m处到达最高，高度为6m． 素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为m）；相邻两个直线型喷头的间距均为1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式． 任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标． 任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标． 23．（13分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$