精品解析：2022年江苏省南京市第十三中学特长生考试数学试题

2022十三中特长生考试数学真题 1. x，y都是正数，，求最大值． 2. 拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示数小于500的概率． 3. 定义，以下结论正确的有：______． ①该运算符合交换律 ②该运算符合结合律 4. ，，，的半径为1，C为圆D上一动点，且，求a的最大值． 5. 过，，，直线为对称轴，一次函数过A、C． （1）求一次函数与二次函数表达式． （2）点M在直线l上，当最小时，求M坐标． （3）l上有一点P，当为直角三角形求P的坐标． 6. 如图，，，，射线上有一个动点D，以D圆心，作与相切，切点为E，与射线交于F，连接，作，交直线于点M，设半径为r． （1）求证：． （2）当与相切时，求r． （3）当M在内时，求r取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022十三中特长生考试数学真题 1. x，y都是正数，，求的最大值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的完全平方法和十字相乘法以及利用二次函数的性质求最大值．将原式分解为，得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：∵ ∴ 又∵x，y都是正数 ∴ ∴ ∴ ∴当，取得最大值，为4． 2. 拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示的数小于500的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，通过画树状图即可求解． 【详解】解：拨上珠时，若在百位，则表示数大于500； 拨上珠时，若在十位或个位，则表示的数小于500， 共9种等可能的结果，其中表示的数小于500的结果有6个， ∴表示的数小于500的概率． 3. 定义，以下结论正确的有：______． ①该运算符合交换律 ②该运算符合结合律 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，分式的化简，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 按照交换律和结合律的定义去证明即可． 【详解】解：①，∵， ∴， ∴该运算符合交换律 ②，∵， ∴， ∴该运算不符合结合律， 故答案为：①． 4. ，，，的半径为1，C为圆D上一动点，且，求a的最大值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，先求出A、B中点坐标，，得出点M在x轴上，且当点M最靠右时，a的值最大，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据，得出当、C、D在同一直线上时，最大，此时，以点D为圆心，5为半径画圆，此时的圆与x轴靠右侧的交点，即为使a取最大值时，点M的位置，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A、B中点坐标，， ∴点M在x轴上，且当点M最靠右时，a的值最大， ∵， ∴， ∵半径为1，C为圆D上一动点， ∴， ∴当、C、D在同一直线上时，最大，此时， 以点D为圆心，5为半径画圆，此时圆与x轴靠右侧的交点，即为使a取最大值时，点M的位置，过点D作轴于点E，如图所示： 则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴a的最大值为7． 故答案为：7． 5. 过，，，直线为对称轴，一次函数过A、C． （1）求一次函数与二次函数的表达式． （2）点M在直线l上，当最小时，求M坐标． （3）l上有一点P，当为直角三角形求P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交点式即可求出二次函数解析式； (2)利用轴对称性质即可求出直线与直线的交点即为点M，即可求出坐标； (3) 分，，，三种情况，设，由勾股定理及等腰三角形的性质分别求出P点的坐标即可． 【小问1详解】 解：过，，，直线为对称轴， ，， 解得，， 二次函数表达式为：， 一次函数过A、C， ， 解得， 一次函数表达式为：； 小问2详解】 解：点与关于直线对称， 直线与直线的交点即为点M， 时，， ； 【小问3详解】 解：①若， 如图，作轴于点Q， ， ， ， ，得:； ②若， 与x轴所夹锐角为， ，得: ; ③若，设， 则，，， ， 解得: ，， ， 综上或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，勾股定理，直角三角形的存在性问题等知识． 6. 如图，，，，射线上有一个动点D，以D为圆心，作与相切，切点为E，与射线交于F，连接，作，交直线于点M，设半径为r． （1）求证：． （2）当与相切时，求r． （3）当M在内时，求r的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出． （2）解直角三角形求出，分两种情况：当D在线段上时，当D在线段的延长线上时，分别求出结果即可； （3）根据当M在内时，，得出，根据勾股定理得出，整理得出，求出即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵与相切于点E， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 当D在线段上时， ∵，， ∴， ∴； 当D在线段延长线上时， ∵，， ∴， ∴； 综上：或． 【小问3详解】 解：∵当M在内时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$