第十二章 全等三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十二章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，若两个三角形全等，则长为6的边是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等的性质解答即可． 【详解】解：第二个三角形中没标注的角度数为：， 两个三角形全等， b所对应的边为：6， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 2．嘉嘉、淇淇和笑笑在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法． 嘉嘉说：形状、大小相同的图形是全等形． 淇淇说：能够完全重合的图形是全等形． 笑笑说：各边都相等的图形是全等形． 他们的说法中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的定义和判定方法逐项分析即可． 【详解】嘉嘉说：形状、大小相同的图形是全等形，正确，符合题意． 淇淇说：能够完全重合的图形是全等形，正确，符合题意． 笑笑说：各边都相等的图形是全等形，不一定正确，因为相等两边的夹角不一定相等，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形，全等形的形状相同、大小相等． 3．如图，，是四边形的对角线，，，点E在上，连接，若与全等，下列线段长度等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目给的条件求出是解题的关键． 根据题目给的条件推出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵与全等，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可． 【详解】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有C选项正确， 故选：C． 6．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 7．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C．琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 9．如图，在中，，点D是底边BC上异于AC中点的一个点，，．运用以上条件（不添加辅助线）可以说明下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据SAS可证明，得出，，再根据，得出，根据AAS再证明，从而得出，． 【详解】解：在和 中， ， （SAS），故A正确，不符合题意； ， ，故B正确，不符合题意， 在， ， （AAS）， ，故C错误，符合题意； ， ，， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、以及直角三角形的判定HL是解题的关键． 10．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据SAS可证明，根据AAS可证明；通过证明可证明，即平分；根据AF⊥CE，AG⊥BD，四边形内角和以及平角的性质可求得；根据是中AB边上的中线，BD是中AC边上的中线，可判断BD与CE的交点M为重心，即可知，进一步判断即可；若,在中，和的高相等，即可得． 【详解】解：， ， ， , , , , 故①正确； , ， ， , 在和中， ， ， ， 平分， 故③正确； , ， 在四边形中， ， ， 又， ， 故②正确； 若点E是AB的中点，则D是AC的中点， 是中AB边上的中线， BD是中AC边上的中线， 则BD与CE的交点M为重心， (重心到顶点距离是到边距离的2倍)， , ， 在中，是锐角，是钝角， , ， , , , ， ， 故④正确； , , 若, 则， 在中，和的高相等， ， 为AB的中点， 故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，三角形的重心的性质，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    【答案】21cm/21厘米 【分析】根据题意，画出图形，找出相应的规律进行计算即可． 【详解】解：如图，    ∵后面画出的图形与第一个图形完全一样 ∴画第二个图形的时候，需往右走1cm，画第三个图的时候，需要再往右走3cm，画第四个图的时候，需要再往右走1cm…， ∴画第10个图时，网格的长至少为（cm）． 故答案为：21cm 【点睛】本题考查数字类规律探究，全等形的概念．解题的关键是得到从第二个图形开始，按照右1右3的规律画图． 12．如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    【答案】或 【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， ， ， ①当时，，， ，解得：， ②当时，，， ，解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 13．如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 15．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论： ①； ②； ③射线是的角平分线； ④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点M作于点F，于点G，于点H， ∵为的平分线，为的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴，即射线是的角平分线，故③正确； 假设， ∴． ∵为的平分线，是的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴，即． ∵， ∴， ∴假设不成立，故②错误； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴④正确． 综上可知所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在一次演出中，位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角的边所在的直线向右推动，使之平移到位置．    (1)若，，求的长． (2)除了，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数． (3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明． 【答案】(1)5 (2) (3)，证明见解析（答案不唯一） 【分析】（1）首先根据平移的性质得到，然后得到，进而求解即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可； （3）根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】（1）∵平移到， ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴； （3）． 证明：∵ ∴．（答案不唯一） 【点睛】此题考查了平移的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．（8分）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【详解】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以， 所以， 在与中 所以； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 18．（8分）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 19．（6分）如图是一座斜拉桥的示意图，斜拉桥的拉杆的两端点分别是A，C，支柱，垂足为O，．说明两条拉杆与的长度相等的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线定义，利用证明，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ． 20．（9分）在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中结论不成立，结论应该是，理由见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （1）证明，得，，根据线段的和差即可解决问题； （2）根据题意画出图形，同（1）的方法证明，得，，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论不成立，结论应该是，理由如下： 如图所示，当点，在直线的异侧时， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 21．（9分）【阅读理解】在解决几何问题时，我们时常需要构造全等三角形，比如：如图，在中，点D是BC的中点，延长AD到点Q，使得，连接QC，就可构造出，请说明理由． 【问题探究】请利用上面构造方法解决下面问题： 如图，，点M是BC的中点． 探究一：当时，试说明：． 探究二：当和满足_________时，结论“”依然成立． 【答案】阅读理解：证明见解析；问题探究：探究一：证明见解析；探究二： 【分析】阅读理解： 延长AD到点Q，使得，连接QC，利用SAS即可证明； 问题探究： 探究一：延长OM到点F，使，连接BF，利用SAS证明，根据全等三角形得性质，，进而得到，根据平行线的性质及周角的定义得出，利用SAS证明，根据全等三角形的性质即可求解； 探究二：延长OM到点F，使，连接BF，利用SAS证明，根据全等三角形得性质，，进而得到，根据平行线的性质及周角的定义得出，利用SAS证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】阅读理解： 延长AD到点Q，使得，连接QC， ∵D是BC的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 问题探究： 探究一：延长OM到点F，使，连接BF， ∴， ∵M是BC的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 探究二：当和满足时，结论“”依然成立，理由如下： 延长OM到点F，使，连接BF， ∴， ∵M是BC的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质和周角的定义，解决本题的关键是作出合理的辅助线构造全等三角形．周角：一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解； （2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可； （3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（13分）中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】（1），， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： ，， ， ， ， 又， ， ，， ； （3）如图，当点在线段上时，   ，， ， 将沿翻折得到， ， 又， ， 当时，则， ， 当时，则， ， 当时，则， 不合题意舍去； 当点在的延长线上时，   ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，若两个三角形全等，则长为6的边是（    ） A． B． C． D． 2．嘉嘉、淇淇和笑笑在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法． 嘉嘉说：形状、大小相同的图形是全等形． 淇淇说：能够完全重合的图形是全等形． 笑笑说：各边都相等的图形是全等形． 他们的说法中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，，是四边形的对角线，，，点E在上，连接，若与全等，下列线段长度等于的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 6．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 7．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C．琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 9．如图，在中，，点D是底边BC上异于AC中点的一个点，，．运用以上条件（不添加辅助线）可以说明下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    12．如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    【答案】或 13．如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    14．如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是 15．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论： ①； ②； ③射线是的角平分线； ④． 所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在一次演出中，位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角的边所在的直线向右推动，使之平移到位置．    (1)若，，求的长． (2)除了，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数． (3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明． 17．（8分）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 18．（8分）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 19．（6分）如图是一座斜拉桥的示意图，斜拉桥的拉杆的两端点分别是A，C，支柱，垂足为O，．说明两条拉杆与的长度相等的理由． 20．（9分）在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 21．（9分）【阅读理解】在解决几何问题时，我们时常需要构造全等三角形，比如：如图，在中，点D是BC的中点，延长AD到点Q，使得，连接QC，就可构造出，请说明理由． 【问题探究】请利用上面构造方法解决下面问题： 如图，，点M是BC的中点． 探究一：当时，试说明：． 探究二：当和满足_________时，结论“”依然成立． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 23．（13分）中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$