第十二章 全等三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十二章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等图形．版权所有 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断． 【解答】解：各组图形中，属于全等图形的是第三组图形． 故选：C． 【点评】本题考查全等图形，关键是掌握：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，故①正确； ∠EAF＝∠BAC， ∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误； EF＝BC，故③正确； ∠EAB＝∠FAC，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 3．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD， ∴△ABC和△DCB不一定全等， 故A符合题意； B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故B不符合题意； C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故C不符合题意； D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， 故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（　　） A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 5．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（　　） A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】C 【分析】在PA⊥AB于A，QB⊥AB条件下，使△ACM与△BMN全等，需要分类讨论． 【解答】解：设：BM＝3x cm，则BN＝4x cm， ∵∠A＝∠B＝90°， （1）当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM＝3x，BN＝AC， 又AM+BM＝42cm， ∴3x+3x＝42， ∴x＝7． ∴AC＝BN＝4x＝28cm； （2）当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC， 当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC， 又AM+BM＝42cm， ∴3x+3x＝42， ∴x＝7． ∴AC＝BN＝4x＝28cm； 当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN＝4x，BM＝AC＝3x， 又AM+BM＝42cm， ∴4x+3x＝42， ∴x＝6， ∴AC＝BM＝18cm； 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形及分类讨论思想，正确分类才不会漏解． 6．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理． 7．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作PH⊥AB于H，证明△PEC≌△PHA，得到PE＝PH，同理可证PF＝PH即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得∠EPA＝∠HPA，∠FPB＝∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系． 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°﹣， ∴（3）错误； 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】D 【分析】由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，则∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，可判断①正确； 由∠DCB＝∠DBC＝45°，得CD＝BD，而∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM＝DN，可判断②正确； 由∠AMB＝90°，∠DMN＝∠DNM＝45°，得∠AMD＝45°，可判断③正确； 由∠END＝∠AMD＝45°，∠EDN＝∠ADM＝90°﹣∠CDM，DN＝DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN＝S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M， ∴∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A， 故①正确； ∵DN⊥MD，交BM于点N， ∴∠MDN＝90°， ∴∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN， ∵∠BDC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°， ∴CD＝BD， 在△CDM和△BDN中， ， ∴△CDM≌△BDN（ASA）， ∴DM＝DN， 故②正确； ∵DM＝DN，∠MDN＝90°， ∴∠DMN＝∠DNM＝45°， ∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°， 故③正确； ∵∠END＝45°，∠AMD＝45°， ∴∠END＝∠AMD， ∵∠EDN+∠CDM＝90°，ADM+∠CDM＝90°， ∴∠EDN＝∠ADM， 在△EDN和△ADM中， ， ∴△EDN≌△ADM（ASA）， ∴S△EDN＝S△ADM， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键． 9．如图，AB＝AD，DC＝BC，E是AC的中点，则图中全等的三角形有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，一一判断即可． 【解答】解：有三对全等三角形． 理由：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA， 在△ADE和△ABE中， ， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， 同法可证，△DCE≌△BCE（SAS）， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法解决问题． 10．如图，在∠BAC的两边上截取AB＝AC，AD＝AE．连接BD，EC交于点P，则下列结论正确的是（　　） ①△ABD≌△ACE；②△BEP≌△CDP；③△APB≌△APC；④△APE≌△APD． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】A 【分析】根据题目中的条件，可以证明题目中的各个小题中的三角形是否全等，从而可以解答本题． 【解答】解：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故①正确； ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BE＝CD， 在△BEP和△CDP中， ， ∴△BEP≌△CDP（AAS），故②正确； ∴BP＝CP， 在APB和△APC中， ， ∴APB≌△APC（SSS），故③正确； ∴∠BAP＝∠CAP， ∴∠EAP＝∠DAP， 在△APE和△APD中， ， ∴△APE≌△APD（SAS），故④正确； 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，则CD＝　3　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】3． 【分析】根据AAS证明△ABC≌△ADC得出CD＝BC＝3即可． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴∠1+∠ACB＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠ACB＝∠2， 在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CD＝BC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　90　°． 【考点】全等图形．版权所有 【答案】90． 【分析】首先证明△COD≌△AOB，利用全等三角形的性质可得∠1＝∠BAO，进而可得答案． 【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO， 在△COD和△AOB中， ∴△COD≌△AOB（SAS）， ∴∠1＝∠BAO， ∵∠2+∠BAO＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质． 13．如图，在三角形ABC中，∠BAD＝∠CAD，AB＝2AC＝4，若△ABC的面积为6，则D到AB的距离为 　2　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】2． 【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质推出DM＝DN，由三角形面积公式得到AB•DM+AC•DN＝6，即可求出DM＝2，得到D到AB的距离为2． 【解答】解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴DM＝DN， ∵△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积＝6， ∴AB•DM+AC•DN＝6， ∵AB＝2AC＝4， ∴AC＝2， ∴×（4+2）DM＝6，， ∴DM＝2， ∴D到AB的距离为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出DM＝DN，由三角形面积公式得到AB•DM+AC•DN＝6． 14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　30cm　． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【答案】30cm． 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30cm， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故答案为：30cm． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 15．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】64． 【分析】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF＝×20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【答案】（1）AE＝3； （2）∠AED＝80°． 【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝25°+55°＝80°． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析． 17．（8分）如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积， 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠AED，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，即三角形三角形中线的性质即可求解． 【解答】解：（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△ABC和△DAE中， ∴△ABC≌△DAE（SAS）； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴S△ABC＝S△DAE＝20， 点D是AC的中点， ∴S△AEC＝2S△DAE＝2×20＝40 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等分，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 18．（8分）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）6； （2）t＝1.2或2． 【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长； （2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE， ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）， ∴BO＝AC＝6． （2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6，解得t＝2． 综上，t＝1.2或2． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．（8分）已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）证明见解答过程； （2）24． 【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCF，根据“全等三角形的对应角相等”求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出∠CBF＝∠EAF，结合对顶角性质、三角形内角和定理求出∠BCF＝∠AEF＝90°，则BE⊥AD，进而求出DG⊥AB，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBF， 即∠DBF＝∠CAD； （2）解：由（1）知，∠CAD＝∠CBF， 即∠CBF＝∠EAF， ∵∠BFC＝∠AFE，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，∠EAF+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠BCF＝∠AEF＝90°， ∴BE⊥AD， ∵AC⊥BD， ∴DG⊥AB， ∴△ABD的面积＝AB•DG＝×8×6＝24． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 20．（9分）如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． ②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：　SAS　）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． ③由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝　CE　． 又由BD＝DE，得BD＝EC． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 　AB+BD＝AC　． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法： 延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． 请你帮助小明，完成解答过程． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）SAS；CE；AB+BD＝AC； （2）AC＝AB+BD，理由见解答过程． 【分析】（1）利用SAS得△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠AED，BD＝DE．结合三角形外角性质、等腰三角形的判定求出BD＝DE＝EC，再根据线段的和差求解即可； （2）延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE．结合三角形外角性质、等腰三角形的性质求出∠E＝∠C，利用AAS证明△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． 由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：SAS）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． 由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝CE． 又由BD＝DE，得BD＝EC． 根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为AB+BD＝AC， 故答案为：SAS；CE；AB+BD＝AC； （2）AC＝AB+BD，理由如下： 如图3，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠ ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABC＝∠E+∠BDE， ∴∠ABC＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AE＝AB+BE，BE＝BD， ∴AC＝AB+BD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 21．（9分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （1）如图，下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是 　②①③④　（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧．交AB于点M，交BC于点N． ③画射线BP，交AC于点D． ④线段BD即为△ABC的一条角平分线． （2）上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的 　SSS　（判定方法）； （3）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF交于点P，图中与∠A相等的角是 　∠BPF，∠CPE　；请你猜想PE与PF的数量关系，并说明理由． 【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的应用；角平分线的性质．版权所有 【答案】（1）②①③④； （2）SSS； （3）∠BPF，∠CPE；PE＝PF，理由见解析． 【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）连接MP，NP，然后根据全等三角形的判定定理解答即可； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与∠B相等的角；在BC上截取BD＝BF，连接PD；再证明△BFP≌△BDP得到PF＝PD，∠BPF＝∠BPD；再证明△CDP≌△CEP，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③④； 故答案为：②①③④； （2）如图：连接MP，NP， 由作图可知：BM＝BN，PM＝PN， 又BP＝BP， ∴△MBP≌△NBP（SSS） 故答案为SSS； （3）∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠ABC的平分线BE与∠BCA平分线CF交于点P， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣∠EBC﹣∠FCB＝120°， ∴∠BPF＝∠CPE＝60°＝∠A； 故答案为：∠BPF，∠CPE PE＝PF，理由如下： 在BC上截取BD＝BF，连接PD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， 又BP＝BP， ∴△BFP≌△BDP（SAS）， ∴PF＝PD，∠BPF＝∠BPD， ∵∠BPC＝120°， ∴∠BPF＝60°， ∴∠BPD＝60°， ∴∠CPD＝60°， 又∵∠CPE＝∠BPF＝60°， ∴∠CPD＝∠CPE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠DCP＝∠ECP， ∵CP＝CP， ∴△CDP≌△CEP（ASA）， ∴PD＝PE， ∴PE＝PF． 【点评】本题主要考查了角平分线的作法、与角平分线有关的三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 22．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论． 【解答】（1）证明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE； （2）解：成立，证明如下： ∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a， ∴∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键． 23．（13分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　AE＝BF　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论； （2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F， 在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF； 故答案为：AE＝BF； ②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形． 同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF，∴∠E＝∠F． 又∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°， 在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF+CD； （2）如图3，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD， 如图4，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 4．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（　　） A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 5．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（　　） A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm 6．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，AB＝AD，DC＝BC，E是AC的中点，则图中全等的三角形有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 10．如图，在∠BAC的两边上截取AB＝AC，AD＝AE．连接BD，EC交于点P，则下列结论正确的是（　　） ①△ABD≌△ACE；②△BEP≌△CDP；③△APB≌△APC；④△APE≌△APD． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，则CD＝　 　． 12．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　 　°． 13．如图，在三角形ABC中，∠BAD＝∠CAD，AB＝2AC＝4，若△ABC的面积为6，则D到AB的距离为 　 　． 14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　． 15．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 17．（8分）如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积， 18．（8分）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 19．（8分）已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C，BE与AC，AD分别相交于点F，E，射线DF交AB于点G，AC＝BC，CD＝CF． （1）求证：∠DBF＝∠CAD； （2）若AB＝8，DG＝6，求△ABD的面积． 20．（9分）如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE． ②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边， 可得△ABD≌△AED（理由：　 　）， 则∠B＝∠AED，BD＝DE． ③由∠B＝2∠C， 则∠AED＝2∠C． 又因为∠AED＝∠EDC+∠C， 所以∠EDC＝∠C，则DE＝　 　． 又由BD＝DE，得BD＝EC． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 　 　． （1）请你补全小明的解题思路． （2）小明又想尝试其它方法： 延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE． 请你帮助小明，完成解答过程． 21．（9分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （1）如图，下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是 　 　（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧．交AB于点M，交BC于点N． ③画射线BP，交AC于点D． ④线段BD即为△ABC的一条角平分线． （2）上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的 　 　（判定方法）； （3）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF交于点P，图中与∠A相等的角是 　 　；请你猜想PE与PF的数量关系，并说明理由． 22．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 23．（13分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$