专题01 四边形小题（七大题型68题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题01 四边形小题 题型一 性质与判定 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在四边形中，对角线与交于点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两对角线相等的四边形是矩形 B．两对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角为直角 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（    ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 5．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．菱形的对角线互相垂直 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(   )    A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以23-24九年级上·辽宁沈阳·期中点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，根据她的作图方法可知．四边形一定是（    ）    A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 题型二 菱形相关计算 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（    ）    A．20 B．16 C．12 D．10 10．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，则菱形的面积为 ． 12．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在菱形中，对角线，则菱形的面积是（    ）． A．24 B．36 C．48 D．96 13．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在菱形中，连接，若，则 ．    14．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD长为 cm． 15．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD的延长线于点E，AB=6，BC=4，则DF= ． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得 ，直线 交两对边于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，则的长是 ．    18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为 ．    19．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是 ． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则，两点的坐标为（    ） A．点），点 B．点，点 C．点，点 D．点，点） 题型三 矩形相关计算 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　）    A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 24．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．不能确定 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，则（    ）    A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，矩形的对角线，，则矩形的面积为（    ） A． B．2 C． D．24 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．    29．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，则的长为（　　）    A． B． C．4 D．5 题型四 矩形折叠问题 30．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若，且，则边的长为 ．      33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上点F处，折痕交于点E，已知，则长为（    ） A．5 B．3 C． D． 34．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，点P在边上，l为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为 ． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接．当时，的长为 ．    题型五 正方形相关计算 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，F为边上一点，与交于点E，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（    ）    A．12 B．13 C．14 D．16 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（    ） A．1 B．4- C． D．-4 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 41．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　　） A．BE=CE B．FM=MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF 42．（辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，正方形的边长为，点，，分别在边，上，，与交于点，点是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D．3 44．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（    ）    A． B． C．4 D．2.5 45．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，正方形的边长为8，E是的中点，分别以点B和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点F，则 ．    46．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）正方形的边长是6，E是的中点，连接，将沿折叠，点B的对应点是F，连接，则的长是 ．    47．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ． 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，以正方形的边作等边，则的度数是 ． 49．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为 ．    50．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，P为正方形内一点，，，，则四边形的面积为 ． 题型六 四边形中的最值问题 51．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ． 52．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 53．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在边长为的正方形中，是边上的点，且，点为对角线上的动点，则的周长的最小值为 ．    54．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（  ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 题型六 四边形压轴多选题 56．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号） 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 58．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知正方形的边长为3，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的周长为6；④的最小值为．其中正确结论的序号为 ． 59．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在正方形中，点E在边上，，将沿折叠至，延长交于点G，连接．下列结论：．其中正确的有 ．（填序号）．    60．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点O，过点O作射线，，分别交，于点E，F，且，连接，给出下列结论：①；②四边形的面积为正方形面积的；③平分，④其中正确的是 ．（填序号）    61．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 62．（辽宁省丹东市凤城市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，正方形的边长为，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 四边形压轴填空题 63．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）矩形ABCD中，AB=10，AD=16，点E是射线AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在处，如果恰在BC的垂直平分线上时，则AE的长为 ． 64．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为    65．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，是边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点三点在一条直线上时，的长为 ． 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 67．（辽宁省沈阳市皇姑区第四十三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ．    68．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 四边形小题 题型一 性质与判定 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在四边形中，对角线与交于点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，解答即可． 【详解】、，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意． 、，，对角线相互平分的四边形是平行四边形，可以判定， 不符合题意． 、，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，符合题意． 、，，两组对边相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意． 故选． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两对角线相等的四边形是矩形 B．两对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意； B、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故不符合题意； C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，故符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角为直角 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据正方形与矩形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：正方形的性质：四条边都相等，对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 矩形的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等； ∴排除选项A、B 、C． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与矩形的性质，此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与矩形的性质定理． 4．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（    ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【答案】B 【分析】根据菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答． 5．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，该项说法错误，故选项符合题意； D、邻边相等的矩形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意． 故选∶C 【点睛】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．菱形的对角线互相垂直 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的性质，即可进行判断. 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，正确； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误； C、平行四边形的对角线互相平分，正确； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； 故选择：B. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握所学的定理. 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(   )    A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD 【答案】D 【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形． 【详解】结合选项可知，添加AC=BD， ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形， 故选D． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，根据她的作图方法可知．四边形一定是（    ）    A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】1、回想利用尺规作线段的垂直平分线以及菱形的判定的知识，要注意两次作弧时的半径是等长的； 2、根据垂直平分线的画法得出四边形四边均为所画弧的半径长； 3、进而由特殊四边形的判定，结合各边关系即可得出结果． 此题主要考查了利用尺规作线段的垂直平分线以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．对于一个四边形是否是菱形的判定方法有：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线相互垂直平分的四边形是菱形；③对角线相互垂直的平行四边形是菱形；④一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 【详解】解：∵分别以点A、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、， ∴， ∴四边形一定是菱形． 故选：B． 题型二 菱形相关计算 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（    ）    A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于O，，， ∴，， ∴， 故菱形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键． 10．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可求得为三角形中位线，则可求得菱形的边长，可求的答案． 【详解】∵四边形为菱形， ∴为的中点，且为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴菱形的周长． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相平分和四边形相等是解题的关键，注意三角形中位线定理的应用． 11．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，作出图形，由菱形对角线相互垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为，从而得到菱形的面积为． 【详解】解：根据题意，作图如下： ， 菱形的边长为10，一条对角线的长为12， ， 在中，，，，则， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． 12．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在菱形中，对角线，则菱形的面积是（    ）． A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】A 【分析】直接由菱形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴菱形的面积． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质．掌握菱形的面积等于其对角线乘积的一半是解题关键． 13．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在菱形中，连接，若，则 ．    【答案】/35度 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质求出的度数，可进而求出的度数． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角． 14．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD长为 cm． 【答案】4 【分析】利用菱形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可. 【详解】解：连接AC与BD相交于O， ∵菱形ABCD的周长为16cm， ∴AB=BC=4cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， ∵BC的垂直平分线EF经过点A， ∴AC=AB=4cm，∴OA=AC=2cm， ∴OB==2cm， ∴BD=2OB=4cm． 故答案为4． 【点睛】本题考查菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键. 15．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD的延长线于点E，AB=6，BC=4，则DF= ． 【答案】2 【分析】由平行四边形的性质和角平分线证出∠CFB=∠EBC，得出CF=CB=4，进而得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，BC=AD=4，CD=AB=6， ∴∠ABE=∠CFB， ∵∠ABC平分线为BE， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠CFB=∠EBC， ∴CF=CB=4， ∴DF=CDCF=64=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关知识是解题的关键． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得 ，直线 交两对边于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， 在中， ∵ ∴，即， ∴ 故选：B． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，则的长是 ．    【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，则，用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的对角巷互相垂直平分． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为 ．    【答案】2 【分析】由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 19．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是 ． 【答案】4 【分析】过C作延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】过C作延长线于M， ∵ ∴设 ∵点E是边的中点 ∴ ∵菱形 ∴， ∵⊥，CM⊥AB ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用． 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在Rt△ABO中，求出OA即可解决问题． 【详解】解：∵B（-6，0），C（4，0）， ∴BC=10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=DC=BC=10， 在Rt△ABO中，OA==8， ∴A（0，8）， ∵AD∥BC， ∴D（10，8）， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则，两点的坐标为（    ） A．点），点 B．点，点 C．点，点 D．点，点） 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 又点为坐标原点， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 点的坐标为，点的坐标为， 点坐标为，点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，掌握菱形的性质是解题的关键． 题型三 矩形相关计算 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 23．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的对边相等可得，，根据矩形的对角线互相平分可得，然后判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设,则, 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 故选：C． 24．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 25．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用矩形的性质求解面积是解本题的关键． 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，以及三角形外角的性质：三角形外角度数等于不相邻两个内角度数之和，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，矩形的对角线，，则矩形的面积为（    ） A． B．2 C． D．24 【答案】A 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形性质得，根据得，则为等边三角形，由此得，据此可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形为矩形，对角线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：A． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．    【答案】4 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案． 【详解】∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解． 29．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，则的长为（　　）    A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，过点B作轴于点D，先求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等的性质． 题型四 矩形折叠问题 30．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，进而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴ ∵将矩形纸片沿折叠，得到，， ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 31．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：四边形是矩形，且， ， ， ， 由折叠的性质得：， ，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 32．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若，且，则边的长为 ．      【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，，再求出，从而求得，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 根据翻折变换的特点可知：，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，正确根据折叠和矩形的性质求出的长是解题的关键． 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上点F处，折痕交于点E，已知，则长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理；解题的关键是先利用勾股定理求出长，然后在中运用勾股定理计算． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得， ， ∴， ∵，且， ∴， ∴解得， 故选：A． 34．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，点P在边上，l为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，，根据勾股定理可得，则，设，则，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴与的交点分别为点， 则，， ∵在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 解得，即； 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后，对应边相等，对应角相等，矩形的性质，以及根据勾股定理建立方程． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接．当时，的长为 ．    【答案】 【分析】设交于点T，设，，根据折叠的性质可得，在中，根据勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点T，    设，， 在矩形中，∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 把代入得： ， 解得：， 即的长为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 题型五 正方形相关计算 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，F为边上一点，与交于点E，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明，得到，在利用三角形内角和得到，在根据三角形外角和的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成． 37．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（    ）    A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】C 【分析】连接，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵H是的中点， ∴． 故选B．    【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键． 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（    ） A．1 B．4- C． D．-4 【答案】B 【分析】在上取，连接，可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后求出，根据等角对等边可得，再根据正方形的对角线平分一组对角求出，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，设，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，在上取，连接， ， 是等腰直角三角形， ，， 由三角形的外角性质得，， ，， ， ， 在正方形中，， 是等腰直角三角形， ， 设，， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长列出方程． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 【答案】B 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 41．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　　） A．BE=CE B．FM=MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF 【答案】C 【详解】∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF. ∴∠BCF+∠BFC=90°.∴∠BFC+∠BAE=90°.∴∠FMA=90°.∴AM⊥FC. 故选C. 42．（辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，正方形的边长为，点，，分别在边，上，，与交于点，点是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据正方形的性质并利用可证明，于是可得，进而可得是直角三角形，再根据点为的中点，可知是的一半，然后根据勾股定理可以求得的长，从而可以得到的长，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 43．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质得出，根据旋转的性质得出，则点在线段上，易证为等腰直角三角形，则，同理可得，即可求出四边形的周长为． 【详解】解：连接，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵正方形绕点A逆时针旋转， ∴， ∴点在线段上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，以及正方形四边相等，对角互相平分． 44．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（    ）    A． B． C．4 D．2.5 【答案】B 【分析】由正方形的性质得，从而得出，所以，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求出是解题的关键． 45．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，正方形的边长为8，E是的中点，分别以点B和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点F，则 ．    【答案】7 【分析】连接，可知为线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可以得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图，    由题意可知，为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，利用勾股定理建立方程是本题的关键． 46．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）正方形的边长是6，E是的中点，连接，将沿折叠，点B的对应点是F，连接，则的长是 ．    【答案】 【分析】延长交于点G，根据正方形的性质和折叠的性质可证得，从而得到，，，再中，根据勾股定理可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G，    ∵正方形的边长是6， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题是解题关键． 47．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键． 利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：∵正六边形的内角度数为：，正方形的内角度数为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，以正方形的边作等边，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，从而得出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，进而得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 49．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为 ．    【答案】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 50．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，P为正方形内一点，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】把绕点B逆时针旋转，得到，连接，则，可得，，从而得到四边形的面积等于，再根据勾股定理逆定理可得，分别求出，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B逆时针旋转，得到，连接，则， ∴，， ∴，四边形的面积等于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的逆定理，图形的旋转，利用旋转图形得到四边形的面积等于是解题的关键． 题型六 四边形中的最值问题 51．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】 设AC与BD的交点为O， ∵点P是BC边上的一动点， ∴AP⊥BC时，AP有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键． 52．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=2，然后证四边形PGCH是矩形，得GH=CP，当A、P、C三点共线时，CP最小=AC-AP=10-2=8，即可求解． 【详解】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°， ∴ ∵P是线段EF的中点， ∴AP=EF=2， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC=∠PHC=90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH=CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小=AC-AP=10-2=8， ∴GH的最小值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键． 53．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在边长为的正方形中，是边上的点，且，点为对角线上的动点，则的周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】先根据题意画出图形，连接，，得出的长即为的最小值，再根据勾股定理求出的长，最后求出的最小周长． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形， 点与点关于直线对称， 的长即为的最小值， 正方形边长为， ， ， ，， ， 的周长为：． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了最短路径的知识、勾股定理的知识、正方形的知识，有一定的难度． 54．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长． 【详解】解：如图，连接， 由，，， 可得， ， ， 当点，，在同一直线上时， 的最小值为长， 此时，由，，， 可得， ， 最小值等于线段的长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点． 55．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则E和关于对称，由得，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过G作于P，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 延长，使得，连接，，则E和关于对称， ∴， ∴，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长， 过G作于P，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得， ∴最小值为， 则四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键． 题型六 四边形压轴多选题 56．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号） 【答案】①②③ 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定②，证明，可判定①，根据勾股定理可以③，判定由平行四边形的面积公式可判定④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， ， ∵， 为等边三角形， ，， ， ， 又， ，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ，故①正确； ，， 是的中位线， ，故②正确； ，，， ， ，故③正确； 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 58．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知正方形的边长为3，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的周长为6；④的最小值为．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】由正方形的对角线平分一组对角可得，，可得和都是等腰直角三角形，于是，，便可得结论①③；只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形，即可判断结论②；连接，四边形中由矩形的判定和性质可得，和中由全等三角形的判定和性质可得，由垂线段的性质可知时最小，当时在等腰直角三角形中求得即可判断结论④； 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，， 又∵于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； 中， 当时（此时点B、P重合），是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， ∵点P从点B移动到点D的过程中，逐渐从90°变化到0°，而只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形， ∴不一定是等腰三角形，即②错误； ∵，于点E， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的周长， 故③正确， 如下图连接， ∵， ∴四边形是矩形， 由矩形的对角线相等可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由垂线段的性质可知当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， ∴的最小值为， 故④错误； 综上所述①③正确， 故答案为：①③； 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质；掌握相关性质和判定方法是解题关键． 59．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在正方形中，点E在边上，，将沿折叠至，延长交于点G，连接．下列结论：．其中正确的有 ．（填序号）．    【答案】①，②，③ 【分析】先设正方形的边长为，则可计算出，再根据折叠的性质，然后根据“”可证明，则；设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则，则点为的中点；则可判断点不是斜边的中点，所以，由此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， ∵把沿折叠使落在的位置， 在和中，， ，所以正确；    ， 设，则， 在中，， ， ，解得， ， ，所以正确； ， ，所以正确； ， 点不是斜边的中点，即不是斜边的中线， , ， ，所以不正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 60．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点O，过点O作射线，，分别交，于点E，F，且，连接，给出下列结论：①；②四边形的面积为正方形面积的；③平分，④其中正确的是 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】证明，，， ， 可得，故①正确； 由①可得，可得，可得四边形的面积与面积相等， 故②正确； 证明， 结合， 可得，故③错误； 证明，， 结合，可得，故④正确． 【详解】解：①在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得 ∴， ∴四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的，故②正确； ③∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用正方形的性质证明出． 61．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明，即可得，故④正确． 【详解】解：平分，，， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则， ，故①正确； 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 由①②知，，， ， ，故③正确； ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键． 62．（辽宁省丹东市凤城市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，正方形的边长为，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理证出和，根据全等三角形的性质证出，即可证出，从而判断①；根据勾股定理求出，利用面积求出，证出，即可求出HF，从而判断②；过点作于，证出垂直平分，即可判断③；证出，列出比例式即可判断④． 【详解】解：∵正方形的边长为6，点是的中点，为正方形的对角线 ∴，，， ∴ ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故①正确； ∵， 根据勾股定理 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②不正确； 如图，作于    ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴垂直平分 ∴ 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即 解得 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质，解题的关键在于掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质． 题型七 四边形压轴填空题 63．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）矩形ABCD中，AB=10，AD=16，点E是射线AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在处，如果恰在BC的垂直平分线上时，则AE的长为 ． 【答案】5或20/20或5 【分析】当点E在AD上时，设AE=x，则EG=8-x，根据，列方程求解；当点E在AD延长线上时，设AE=x，则EG=x-8，根据，列方程计算即可． 【详解】解：当点E在AD上时，如图所示， 因为矩形ABCD中，AB=10，AD=16，GH是线段BC的垂直平分线， 所以AB==GH=10，BH=HC==8，∠BHG=∠HGA=90°， 所以=6， 所以． 设AE=x，则EG=8-x， 在直角三角形中， ， 所以， 解得x=5， 故AE=5； 当点E在AD延长线上时，如图所示， 因为矩形ABCD中，AB=10，AD=16，GH是线段BC的垂直平分线， 所以AB==GH=10，BH=HC==8，∠AHA′=∠A ′GE=90°， 所以=6， 所以． 设AE=x，则EG=x-8， 在直角三角形中， ， 所以， 解得x=20， 故AE=20； 故答案为5或20． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，方程思想，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 64．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为    【答案】或15 【分析】分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】如图，当点在线段上时，设直线交于，交于．    由题意：，， ， ， 设， 在中，则有：， ， ， 当点在的延长线上时，设， 在中，则有：，    解得， ， 故答案为或15． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 65．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，是边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点三点在一条直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，图形的折叠；在旋转过程中有两次和，在一条直线上，第一次在线段上，第二次在线段的延长线上，利用平行的性质证出，即可求解． 【详解】解：如图： 将沿直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ， ， ， ，，， ，，，， ， ， ； 如图： 由折叠， ， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 【答案】5或3/3或5 【分析】本题考查旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，分类画出图形是解题的关键． 分点E在菱形内部和外部两种情况，分别连接，证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：①如图：当点E在菱形内部时，连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图：当点E在菱形外部时，连接， 同理可证：，， ∴， ∴． 故答案为：5或3． 67．（辽宁省沈阳市皇姑区第四十三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ．    【答案】或； 【分析】分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案． 【详解】解：由题意知点F是的三等分点，分两种情况： ①若时，，，如图，    ∵将该矩形沿折叠，点B恰好落在F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由题意可得，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②若时，，，如图，    ∵将该矩形沿折叠，点B恰好落在F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 由题意可得，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 68．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    【答案】 【分析】证明四边形为菱形，得出，同理推出，……总结出变化规律即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形为菱形， 连接，则， ∴， 同理可得：， ， …… ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的中点四边形，解题的关键是掌握矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$