专题24 直线和圆的方程（七大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理•高分突破》（新高考专用）

专题24 直线和圆的方程（七大题型+模拟精练） 目录： 01 直线的倾斜角与斜率 02 直线的方程 03 直线的交点与平面上的距离 04 直线的综合应用 05 圆的方程 06 直线与圆的位置关系 07 圆与圆的位置关系 01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 3．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 5．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 02 直线的方程 6．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 8．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 03 直线的交点与平面上的距离 9．已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 10．经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 11．两平行直线与之间的距离为 ． 12．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 . 13．已知点和直线，则点P到直线l的距离为 . 04 直线的综合应用 14．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 15．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 16．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 17．直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．设，，，直线将△ABC面积两等分，则m的值是 . 19．已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 20．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 05 圆的方程 21．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 22．已知点，，，则外接圆的方程是（     ）． A． B． C． D． 23．若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 24．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（     ） A． B． C． D． 06 直线与圆的位置关系 25．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（     ） A．4 B． C． D． 26．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 27．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 29．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 07 圆与圆的位置关系 31．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 32．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 34．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 35．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 8．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 10．（2023·河北·三模）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．过点作圆M的切线有且只有一条 B．若圆和圆恰有3条公切线，则 C．若的最小值为1，则 D．若，则直线的斜率的最大值为 11．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 三、填空题 12．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 14．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点，曲线：. ①曲线经过原点且关于对称； ②当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为； ③当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个 ④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2 以上说法正确的是 四、解答题 15．（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 直线和圆的方程（七大题型+模拟精练） 目录： 01 直线的倾斜角与斜率 02 直线的方程 03 直线的交点与平面上的距离 04 直线的综合应用 05 圆的方程 06 直线与圆的位置关系 07 圆与圆的位置关系 01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解. 【解析】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 2．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【解析】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 3．直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【解析】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【解析】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 02 直线的方程 5．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【解析】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 6．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【解析】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 7．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【解析】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 8．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【解析】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 03 直线的交点与平面上的距离 9．已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【解析】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 10．经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【解析】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 11．两平行直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离. 【解析】由，可得， 所以与之间的距离为. 故答案为：. 12．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 . 【答案】 【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入交点坐标求出的值，即可得解. 【解析】由，解得， 所以直线与的交点为， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 13．已知点和直线，则点P到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式即可求得结果. 【解析】由可得， 则点P到直线l的距离为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关点到直线的距离问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，属于基础题目. 04 直线的综合应用 14．任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【解析】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 15．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 16．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【解析】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 17．直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 18．设，，，直线将△ABC面积两等分，则m的值是 . 【答案】 【分析】先由两直线的交点坐标的求法求得的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可. 【解析】解：设直线与边，分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ， 故答案为： 19．已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 20．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【解析】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 05 圆的方程 21．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【解析】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 22．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【解析】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 23．若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解. 【解析】由题意可得故， 解得， 故选：A 24．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【解析】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 06 直线与圆的位置关系 25．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【解析】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 26．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【解析】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 27．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【解析】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D 28．已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【解析】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 29．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 30．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【解析】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 07 圆与圆的位置关系 31．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【解析】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 32．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 33．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【解析】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    34．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【解析】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 35．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【解析】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【解析】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式. 【解析】的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 所以，即. 故选：A. 4．（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解． 【解析】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解析】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 6．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得. 【解析】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点， 所以，，当直线过时，将代入中， 所以，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 设为，则，所以， 解得，且劣弧对应的圆的半径为， 故劣弧对应的圆方程为， 当直线与劣弧相切时得， 所以， 结合图形可知当时直线与两段弧有个交点. 故选：B. 关键点点睛：本题关键在于求出直线过点以及与劣弧相切时的值. 7．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【解析】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 8．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【解析】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量． 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 【答案】BC 【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断. 【解析】对于AB，圆的方程可化为， 可得圆心的坐标为，半径为，则周长为，可知错误，正确； 对于，由，为两圆半径之和，可知正确； 对于，令，可得，解得或3， 可得圆截轴所得的弦长为4，可知错误. 故选：BC. 10．（2023·河北·三模）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．过点作圆M的切线有且只有一条 B．若圆和圆恰有3条公切线，则 C．若的最小值为1，则 D．若，则直线的斜率的最大值为 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆与原的位置关系，逐项判定，即可求解. 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确； 对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切， 所以，即，解得，所以B正确； 对于C中，当圆和圆外离时，可得的最小值为，此时； 当圆和圆内含时，可得的最小值为，此时，所以C不正确； 对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率， 如图所示，，且，所以， 在直角，可得，所以， 即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确. 故选：BD. 11．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【解析】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，    显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称，    若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 三、填空题 12．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 【答案】或 【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【解析】若直线与相交于两点，且， 则圆心到直线的距离，所以， 解得或． 故答案为：或. 13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的标准方程确定圆心和半径，结合圆的垂径定理、勾股定理可以求出，这样可以确定点的轨迹是圆，最后根据直线与圆的位置关系进行求解即可. 【解析】圆圆心，半径为 设弦中点为，连接，， 由，，可得点在弦上， 且，，， 又圆心到弦所在直线的距离为： ， 则， 则点在以为圆心半径为5的圆上运动， 又点在直线上， 则直线与以为圆心半径为5的圆有公共点， 则，解之得或， 所以的取值范围是． 故答案为： 14．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点，曲线：. ①曲线经过原点且关于对称； ②当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为； ③当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个 ④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2 以上说法正确的是 【答案】①②④ 【分析】将点分别代入曲线的方程即可判断①；将曲线方程转化为两个圆的方程，结合图像利用直线和圆的位置关系逐项分析即可判断②③④. 【解析】对于①，将点分别代入曲线的方程， 得，， 所以曲线关于对称， 将代入曲线的方程得，所以曲线经过原点， 所以曲线经过原点且关于对称，故①正确； 由，得， 即，即， 所以或， 即或， 所以曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，如图所示， 设过点A且与圆N相切的直线方程为， 则点N到该直线的距离，解得，， 即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为，直线AO的斜率为， 直线AC的方程为，点M到直线AC的距离， 则直线AC与圆M相切于点B， 设过点A且与圆M相切的直线方程为， 则点M到该直线的距离，解得，， 由图可知，当直线l与曲线有2个公共点时， 直线l斜率的取值范围为，故②正确； 由图可知，直线AO与曲线的公共点个数为3，直线AD与曲线的公共点个数也为3，直线与曲线的公共点个数为1， 所以当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故③错误； 因为过原点O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3， 所以存在定点Q（Q与O重合）， 使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：将曲线方程转化为两个圆的方程，是解决本题的关键. 四、解答题 15．（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【解析】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 直线和圆的方程 目录 01 思维导图 02 知识清单 03 核心素养分析 04 方法归纳 Ⅰ、直线的方程 1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 温馨提示： 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： 1．“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． Ⅱ、两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2 不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 温馨提示： 1．直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． Ⅲ、圆的方程 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一 般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 温馨提示： 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． Ⅳ、直线与圆，圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 温馨提示： 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 直线方程是解析几何的基础知识，在高考中直线方程与圆的方程常作为圆锥曲线知识点的基础内容出现。 Ⅰ、直线的方程 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1). 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 答案 A 分析 先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解. 详解 设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A (2)．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 根据斜率与倾斜角的变化关系即可求解. 详解 由于，且， 所以或， 故选：D 方法归纳：　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论． 题型二　求直线的方程 例2已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 答案 分析 根据，得出所求直线方程. 详解 因为直线和直线都过点， 所以，. 由上式可得点和点都在直线上， 即过点和点的直线方程为. 故答案为： 方法归纳：　求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 题型三　直线方程的综合应用 例3　已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 答案 (1)； (2). 分析 （1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 详解 （1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 方法归纳：　直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． Ⅱ、两条直线的位置关系 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 答案 (1) (2)或. 分析 （1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 详解 （1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 方法归纳： 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 题型二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 答案 B 分析 根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 详解 已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． (2)．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 答案 D 分析 由两直线平行，求出的值，由平行直线间的距离求出的值，可得. 详解 将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 方法归纳：　利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 题型三　对称问题 命题点1　点关于点中心对称 例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． 答案　x＋4y－4＝0 解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 命题点2　点关于直线对称 例4（多选）　一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 答案 BC 分析 点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 详解 倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 命题点3　线关于线对称 例5　过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 答案 C 分析 利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 详解 设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 方法归纳：　对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． Ⅲ、圆的方程 题型一　圆的方程 例1　圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 答案 分析 直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 详解 圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 方法归纳： (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 题型二　与圆有关的轨迹问题 例2　已知是圆上的动点，，为的中点，则点的轨迹方程为 ． 答案 分析 根据给定条件，利用坐标代换法求出轨迹方程. 详解 设点，由为的中点，得， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 方法归纳：　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 题型三　与圆有关的最值问题 命题点1　利用几何性质求最值 例3.已知是圆上的一点，则的最小值是 答案 分析 即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出. 详解 表示圆上的动点到点的距离， 由可化为，则圆心为，半径为， 点到圆心的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 即的最小值是. 故答案为：. 命题点2　利用函数求最值 例4　设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 答案 C 分析 设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值. 详解 设，则， 由切线长定理可得，，，    ， 圆心的坐标为，则， 由图可得，即，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，当时，取得最小值. 故选：. 【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值. 方法归纳：　与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． Ⅳ、直线与圆，圆与圆的位置关系 题型一　直线与圆的位置关系 命题点1　位置关系的判断 例1　已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 答案 C 分析 由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 详解 由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 方法归纳：　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 命题点2　弦长问题 例2　当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 答案 B 分析 先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 详解 将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 方法归纳：　弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 命题点3　切线问题 例3　过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 答案 B 分析 根据点在直线设为，结合题中条件可求得，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可. 详解 因为点在直线上， 可设， 又是圆的两条切线，且， 所以,,, 所以, 即， 化为， 解得或， 所以点坐标为， 故选：B. 方法归纳：　当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 命题点4　直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 例4 已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 答案 分析 设，，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解. 详解 不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.    故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 方法归纳：　涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(1)已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 答案 C 分析 将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 详解 圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． (2)已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 分析 求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 详解 圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 方法归纳：　(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$