第一章 集合与常用逻辑用语-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 交集、并集、补集、子集 【解题·小帮手】 ▶交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}. ▶并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}. ▶补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}. ▶子集:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. ▶离散数集:由不连续的实数组成的集合称为 离散数集,如 A={1,2,5}.求离散数集的 交、并、补运算,常用定义法求解. ▶连续数集:由连续的实数组成的集合称为连 续数集,如A={x|1<x<2}.求连续数集 的交、并、补运算,常用数轴法求解. ▶若集合有n 个元素,则其有2n 个子集,2n- 1个非空子集,2n-1个真子集,2n-2个非 空真子集. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024·新高考全国一,1)已知集合A={x| -5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩ B= ( ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 2.(2024·北京,1)已知集合 M={x|-3< x<1},N={-1≤x<4},则M∪N= ( ) A.{-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 3.(2024·新课标全国甲理,2)已知集合A= {1,2,3,4,5,9},B={x| x ∈A},则 ∁A(A∩B)= ( ) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 4.(2024·新课标全国甲文,2)若集合A={1, 2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= ( ) A.{1,3,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9} 5.(2023·新高考全国一,1)已知集合 M = {-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}, 则M∩N= ( ) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 6.(2023·新课标全国甲理,1)设集合A={x| x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈ Z},U 为整数集,则∁U(A∪B)= ( ) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 7.(2023·新课标全国甲文,1)设全集U={1, 2,3,4,5},集合 M={1,4},N={2,5},则 N∪(∁UM)= ( ) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 8.(2023·新课标全国乙理,2)设集合U=R, 集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2}, 则{x|x≥2}= ( ) A.∁U(M∪N) B.N∪(∁UM) C.∁U(M∩N) D.M∪(∁UN) 9.(2022·新 高 考 全 国 一,1)若 集 合 M = {x|x<4},N={x|3x≥1},则M∩N= ( ) A.{x|0≤x<2} B.x 13≤x<2 C.{x|3≤x<16} D.x 13≤x<16 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 高考一线 真题研究 数学 10.(2022·新高考全国二,1)已知集合A= {-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩ B= ( ) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 11.(2022·北京,1)已知全集U={x|-3<x< 3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA=( ) A.(-2,1] B.(-3,-2)∪[1,3) C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3) 12.(2022·新课标全国甲理,3)设全集U= {-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2}, B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)= ( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} 13.(2022·新课标全国乙理,1)设全集U= {1,2,3,4,5},集合 M 满足∁UM={1,3}, 则 ( ) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 14.(2021·新高考全国二,2)设集合U={1, 2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则 A∩(∁UB)= ( ) A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 含参集合、点集、Venn图 【解题·小帮手】 ▶解答含参数的离散型集合问题,要根据题目 的已知条件,列出关于参数的方程求出参数 值,但需注意集合中元素的互异性. ▶解答含参数的连续型集合问题,要根据题目 的已知条件和连续型集合的结构,找出含参 数端点值的位置,列出关于参数的方程求出 参数,但需考虑端点值能否取得. ▶点集中的代表元素是有序实数对(x,y),常 用分类讨论法或数形结合求解. ▶对于离散数集的交、并、补混合运算或集合 的实 际 应 用 问 题 或 抽 象 集 合 问 题,可 用 Venn图法,将集合问题用 Venn图表示出 来,求解更直观简捷. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 15.(2023·新高考全国二,2)设集合A={0, -a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则 a= ( ) A.2 B.1 C. 2 3 D.-1 16.(2020·新课标全国一,2)设 集 合 A= {x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且 A∩B={x|-2≤x≤1},则a= ( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 17.(2020·新课标全国三,1)已知集合A= {(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+ y=8},则A∩B 中的元素个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 18.(2019·新课标全国三,3)《西游记》《三国 演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文 学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某 中学为了解本校学生阅读四大名著的情 况,随机调查了100位学生,其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅 读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过 《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 第一章 集合与常用逻辑用语 A.0.5 B.0.6 C.0.7 B.0.8 19.(2018·新课标全国二,2)已知集合A= {(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为 ( ) A.9 B.8 C.5 D.4 20.(2017·新课标全国二,2)设集合A={1, 2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B= {1},则B= ( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 21.(2017·江苏,1)已知集合A={1,2},B= {a,a2+3},A∩B={1},则实数a 的值为 . 22.(2013·山东,2)已知集合A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)= {4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于 ( ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.⌀ 23.(2010·湖北,2)设集合A= (x,y) x2 4+ y2 16=1 ,B={(x,y)|y= 3x},则A∩B 的子集的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.3 充分条件与必要条件 【解题·小帮手】 ▶判断前提:首先认清谁是p,谁是q. ▶记条件为p,结论为q,则 (1)若p⇒q,则p 是q的充分条件. (2)若q⇒p,则p 是q的必要条件. (3)若p⇒q,q/⇒p,则p 是q 的充分不必要 条件. (4)若p/⇒q,q⇒p,则p 是q 的必要不充分 条件. (5)若p⇔q,则p 是q的充要条件. (6)若p/⇒q,q/⇒p,则p 是q 的既不充分也 不必要条件. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 24.(2024·天津,2)设a,b∈R,则“a3=b3”是 “3a=3b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 25.(2024·北京卷,5)设a,b是向量,则“(a+ b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 26.(2024·新课标全国甲理,9)设向量a= (x+1,x),b=(x,2),则 ( ) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+ 3”是“a∥b”的充分条件 27.(2024·上海,15)定义一个集合Ω,集合中 的元素是空间内的点集,任取P1,P2,P3∈ Ω,存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3,使得 λ1OP1 →+λ2OP2 →+λ3OP3 →=01.已知(1,0, 0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 高考一线 真题研究 数学 A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈Ω C.(0,1,0)∈Ω D.(0,0,-1)∈Ω 28.(2023·天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 29.(2023·新高考全国一,7)记Sn 为数列 {an}的前n 项和,设甲:{an}为等差数列; 乙:Sn n 为等差数列,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 30.(2023· 新 课 标 全 国 甲 理,7)“sin2α+ sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的 ( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 31.(2023·北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是 “y x+ x y =-2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 32.(2022·浙江,4)设x∈R,则“sin x=1”是 “cos x=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 33.(2022·北京,6)设{an}是公差不为0的无 穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在 正整数N0,当n>N0 时,an>0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 34.(2021·天津,2)已知a∈R,则“a>6”是 “a2>36”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 35.(2021·新课标全国甲,7)等比数列{an}的 公比为q,前n 项和为Sn,设甲:q>0,乙: {Sn}是递增数列,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 详解答案 详解答案 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 交集、并集、补集、子集 1.A 解析:因为(-3)3=-27∉(-5,5), (-1)3=-1∈(-5,5),03=0∈(-5,5), 23=8∉(-5,5),33=27∉(-5,5),所以 A∩B={-1,0},故选A. 2.C 解析:因为 M={x|-3<x<1},N= {-1≤x<4},所以 M∪N={x|-3<x< 4},故选C. 3.D 解析:因为 A={1,2,3,4,5,9},B= {x|x∈A},所以B={1,4,9,16,25,81}, 则A∩B={1,4,9},∁A(A∩B)={2,3,5}, 故选D. 4.C 解析:因为A={1,2,3,4,5,9},B={x| x+1∈A}={0,1,2,3,4,8},所以A∩B= {1,2,3,4},故选C. 5.C 解析:因为 N={x|x2-x-6≥0}= {x|x≤-2或x≥3},M={-2,-1,0,1, 2},所以M∩N={-2},故选C. 6.A 解析:因为整数集 Z={x|x=3k,k∈ Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2, k∈Z},U=Z,所以∁U(A∪B)={x|x=3k, k∈Z},故选A. 7.A 解析:因为全集U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},所以∁UM={2,3,5},又N={2, 5},所以N∪(∁UM)={2,3,5},故选A. 8.A 解析:由题意得M∪N={x|x<2},则 ∁U(M∪N)={x|x≥2},A正确;∁UM= {x|x≥1},N∪(∁UM)={x|x>-1},B错 误;M∩N ={x|-1<x<1},∁U(M ∩ N)={x|x≤-1或x≥1},C错误;∁UN= {x|x≤ -1或 x≥2},M ∪(∁UN)= {x|x<1或x≥2},D错误,故选A. 9.D 解析:∵M={x|x<4}={x|0≤x< 16},N={x|3x≥1}=xx≥ 1 3 ,∴M∩N= x 13≤x<16 ,故选D. 10.B 解析:∵A={-1,1,2,4},B={x||x-1 |≤1}={x|-1≤x-1≤1}={x|0≤x≤2}, ∴A∩B={1,2},故选B. 11.D 解析:∵U={x|-3<x<3},A={x|- 2<x≤1},∴∁UA={x|-3<x≤-2或1< x<3}=(-3,-2]∪(1,3),故选D. 12.D 解析:∵A={-1,2},B={x|x2-4x+ 3=0}={1,3},∴A∪B={-1,1,2,3},又∵ U={-2,-1,0,1,2,3},∴∁U(A∪B)={-2, 0},故选D. 13.A 解析:∵U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M,3∉M,4∈M,5∈M, 故选A. 14.B 解析:∵U={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4}, ∴∁UB={1,5,6},又∵A={1,3,6},∴A∩ (∁UB)={1,6},故选B. 1.2 含参集合、点集、Venn图 15.B 解析:若a=2,则A={0,-2},B={1,0, 2},不满足A⊆B;若a=1,则A={0,-1}, B={1,-1,0},满足A⊆B,故选B. 16.B 解析:∵A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤ 2},B={x|2x+a≤0}= xx≤- a 2 ,且 A∩B={x|-2≤x≤1},∴-a2=1 ,∴a= -2,故选B. 17.C 解析:∵x,y∈N*,y≥x,x+y=8,∴y的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 181 高考一线 真题研究 数学 最小值为2,最大值为7,∴A∩B 中的元素为 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故选C. 18.C 解析:∵阅读过《红楼梦》的学生共有80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生 共有60位,∴只读过《红楼梦》的学生有80- 60=20位.设阅读过《红楼梦》的学生为集合 A,阅读过《西游记》的学生为集合B,只阅读 过《西游记》的学生人数为x,则由图可知 (80-60)+60+x=90,解得x=10,所以阅读 过《西游记》的学生总人数为x+60=70,比值 为70 100=0.7 ,故选C. A B x  19.A 解析:∵x∈Z,y∈Z,x2+y2≤3,∴x 可 取-1,0,1;y可取-1,0,1,∴A 中元素的个数 为3×3=9,故选A. 20.C 解析:∵A∩B={1},∴1∈B,∴12-4× 1+m=0,∴m=3,∴B={x|x2-4x+3= 0}={1,3},满足A∩B={1},∴B={1,3},故 选C. 21.1 解析:∵A={1,2},B={a,a2+3},A∩ B={1},∴1∈B,∴a=1或a2+3=1(无解), ∴a=1. 22.A 解析:根据题意,画出相应的Venn图,如 图所示.由图可知A∩(∁UB)={3},故选A. U A B  


  23.A 解析:由题意可知A∩B 表示椭圆x 2 4+ y2 16=1 与指数函数y=3x 图象的交点,如图所 示,有2个交点,则A∩B 的子集的个数为 22=4,故选A. yx      x xO y y 1.3 充分条件与必要条件 24.C 解析:a3=b3⇔a=b⇔3a=3b,故选C. 25.A 解析:(a+b)·(a-b)=0⇔a2-b2=0⇔ a2=b2⇔|a|=|b|.若a=b 或a=-b,则 |a|=|b|,即(a+b)·(a-b)=0,必要性成 立;若(a+b)·(a-b)=0,即|a|=|b|,无法 得出a=b或a=-b,充分性不成立,故选A. 26.C 解析:对于A,当a⊥b时,a·b=0,所以 x(x+1)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性 不成立,A错误;对于C,当x=0时,a=(1, 0),b=(0,2),a·b=0,所以a⊥b,即充分性成 立,C正确;对于B,当a∥b时,则2(x+1)= x2,解得x=1±3,即必要性不成立,B错误; 对于D,当x=-1+3时,不满足2(x+1)= x2,所以a∥b不成立,即充分性不立,D错误, 故选C. 27.C 解析:由题意知向量OP1 →,OP2 →,OP3 → 共面, 即这三个向量不能构成空间的一个基底.对于 A,(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面,则 当(0,0,0)∈Ω,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0, 1)∉Ω,A错误;对于B,(-1,0,0),(1,0,0), (0,0,1)三个向量共面,则当(-1,0,0)∈Ω,(1, 0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω,B错误;对于 C,(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面, 可构成空间的一个基底,则由(0,1,0)∈Ω,(1, 0,0)∈Ω能推出(0,0,1)∉Ω,C 正确;对于D, (1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面,则 当(0,0,-1)∈Ω,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 182 详解答案 1)∉Ω,D错误,故选C. 28.B 解析:由a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0 时,a2+b2=2ab 不成立,充分性不成立;由 a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,即a=b,显然 a2=b2 成立,必要性成立,故选B. 29.C 解析:若{an}为等差数列,则Sn=na1+ n(n-1) 2 d ,Sn n=a1+ n-1 2 d 是关于n的一次 函数或常值函数,所以 Sn n 为等差数列,充分 性成立;若 Sn n 为等差数列,则Snn=a1+(n- 1)d,Sn=na1+n(n-1)d是关于n的常数项 为0的二次函数或一次函数,所以{an}为等差 数列,即必要性成立,故选C. 30.B 解析:当sin2α+sin2β=1时,例如α= π 2 , β=0但sin α+cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推 不出sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0时, sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即 sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1.综 上,sin2α+sin2β=1是sin α+cos β=0成 立的必要不充分条件,故选B. 31.C 解析:(解法一)因为xy≠0,且 x y + y x=-2 ,所以x2+y2=-2xy,即x2+ y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y= 0,所以“x+y=0”是“ x y +yx=-2 ”的充要 条件,故选C. (解法二)充分性:因为xy≠0,且x+y= 0,所以x=-y,所以 x y +yx= -y y + y-y = -1-1=-2,所以充分性成立;必要性:因 为xy≠0,且 x y +yx=-2 ,所以x2+y2= -2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2= 0,所以x+y=0。所以必要性成立,所以 “x+y=0”是“ x y +yx=-2 ”的充要条件, 故选C. (解法三)充分性:因为xy≠0,且x+y=0, 所以x y +yx= x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = (x+y)2-2xy xy = -2xy xy =-2,所以充分性 成立;必要性:因为xy≠0,且 x y +yx=-2 ,所 以x y +yx= x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = (x+y)2-2xy xy = (x+y)2 xy -2=-2,所以 (x+y)2 xy =0,所以(x+y)2=0,所以x+ y=0,所以必要性成立,所以“x+y=0”是 “x y +yx=-2 ”的充要条件,故选C. 32.A 解 析:若 sin x =1,则 cos x = ± 1-sin2x=0,所 以 充 分 性 成 立;若 cos x=0,则sin x=± 1-cos2x=±1, 所以必要性不成立,故选A. 33.C 解析:设等差数列{an}的公差为d,d≠ 0,记[x]为不超过x 的最大整数.若{an}为 递增数列,则d>0.若a1≥0,则当n≥ 2时,an>a1≥0,取 N0=2,则当n>N0 时,an>0;若a<0,则由an=a1+(n- 1)d>0得n>1- a1 d ,取 N0= 1- a1 d 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 1,则当n>N0 时,an>0,所以充分性成 立;若存在正整数 N0,当n>N0 时,an> 0,则d>0.否则,不存在正整数N0,当n> N0 时,an>0,所以必要性成立,故选C. 34.A 解析:若a>6,则a2>36,所以充分性 成立;若a2>36,则a>6或a<-6,所以 必要性不成立,故选A. 35.B 解析:数列-1,-1,-1,…,是等比数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 183 高考一线 真题研究 数学 列,且q=1>0,但{Sn}是递减数列,即充 分性不成立;若{Sn}是递增数列,则必有 an>0,q>0;否则若{Sn}是递减数列,则必 有an<0,q<0,即必要性成立,故选B. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 不等关系与不等式性质 36.C 解析:∵f(x)=x3 在 R上是增函数, 且a>b,∴f(a)>f(b),即 a3 >b3, ∴a3-b3>0,故选C. 37.C 解析:∵f(x)= 1 2 t 在 R上是减函 数,且 x>y>0,∴f(x)<f(y),即 1 2 x < 12 y ,∴ 12 x - 12 y <0,故选C. 38.B 解析:∵x<y<z,a<b<c,x-z<0, a-c<0,b-c<0, ∴(ax+by+cz)-(az+by+cx)=a(x- z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0, ∴ax+by+cz>az+by+cx. ∵(ay+bz+cx)-(ay+bx+cz)=b(z- x)+c(x-z)=(z-x)(b-c)<0, ∴ay+bz+cx<ay+bx+cz. ∵(az+by+cx)-(ay+bz+cx)=a(z- y)+b(y-z)=(z-y)(a-b)<0, ∴az+by+cx<ay+bz+cx,故选B. 39.D 解析:由题意,令a=2,b=1,c=-2, d=-1,则ac=-1 ,b d=-1 ,a d=-2 ,b c= - 1 2 ,∴ a d< b c ,故选D. 40.D 解析:∵a>b>1,∴0<1a< 1 b.∵c< 0,∴ c a> c b ,∴①正确;∵幂函数f(x)= xc(c<0)在 R上是减函数,且a>b>1, ∴f(a)<f(b),即ac<bc,∴②正确; ∵c<0,∴-c>0,∵a>b>1,a-c>b- c>1-c>1.∵ 对 数 函 数 g(x)= logax(a>1)底数越大,图象越低,且a> b>1,∴logb(a-c)>loga(b-c),∴③正 确,故选D. 41.(3,8) 解析:设z=2x-3y=m(x+y)+ n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,则 m+n=2, m-n=-3, 解得 m=- 1 2 , n= 5 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴z=2x- 3y=- 1 2 (x+y)+ 5 2 (x-y).∵-1<x+ y<4,2<x-y<3,∴-2<- 1 2 (x+y)< 1 2 ,5< 5 2 (x-y)< 15 2 ,∴3<- 1 2 (x+y)+ 5 2 (x-y)<8,∴z∈(3,8). 42.27 解析:∵3≤xy2≤8,4≤ x2 y ≤9,∴ 1 8≤ 1 xy2 ≤ 1 3 ,16≤ x 2 y 2 ≤81,∴2≤ x 2 y 2 · 1 xy2 ≤27,∵ x3 y4 = x 2 y 2 · 1 xy2 ,∴2≤ x3 y4 ≤ 27,∴ x3 y4 的最大值是27. 43.C 解析:取a=-2,b=-1,则a2=4, b2=1,a2>b2,排除 A;令a=0,b=1,则 ab2=a2b=0,排除B;令a=1,b=2,则 b a=2> a b= 1 2 ,排除D,故选C. 2.2 一元二次不等式 44.D 解析:∵A={x|x2-3x-4<0}= {x|-1<x<4},B={-4,1,3,5},∴A∩ B={1,3},故选D. 45.A 解析:不等式ax2+bx+c>0的解集 是函数y=ax2+bx+c的图象位于x 轴上 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 184